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文本内容:
日照2024年二模数学试卷及参考答案
一、单选题(每题2分,共20分)
1.下列函数中,在其定义域内是增函数的是()(2分)A.y=2x+1B.y=-3x+2C.y=x^2D.y=1/x【答案】A【解析】一次函数y=2x+1的斜率为正,故为增函数
2.若集合A={x|x1},B={x|x≤3},则A∩B=()(2分)A.{x|x1}B.{x|x≤3}C.{x|1x≤3}D.{x|x1}【答案】C【解析】A和B的交集为1x≤
33.函数fx=sinx+π/2的图像关于哪个点中心对称?()(2分)A.0,0B.π/2,0C.π,0D.π/2,1【答案】D【解析】fx=sinx+π/2=cosx关于π/2,1中心对称
4.已知点P在圆x^2+y^2=1上运动,则点P到直线x+y=1的距离的最小值为()(2分)A.0B.1C.√2/2D.√3/2【答案】C【解析】圆心0,0到直线x+y=1的距离为|0+0-1|/√2=√2/2,减去半径1得到√2/2-1=-√2/2,故最小值为√2/
25.下列命题中,为真命题的是()(2分)A.空集是任何集合的子集B.存在一个实数x,使x^20C.所有奇数都是质数D.对任意实数x,x^2+x+10【答案】A【解析】空集是任何集合的子集是真命题
6.等差数列{a_n}中,a_1=2,d=3,则a_5+a_10=()(2分)A.21B.24C.27D.30【答案】B【解析】a_5+a_10=2+5-1×3+2+10-1×3=
247.在△ABC中,若角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=3,b=4,c=5,则角C的大小为()(2分)A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】由勾股定理可知△ABC为直角三角形,直角在C处
8.函数y=|x-1|在区间[0,2]上的最小值为()(2分)A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】当x=1时,y=|x-1|=
09.下列不等式中,正确的是()(2分)A.-2^3-1^2B.2√33√2C.log_28log_39D.2^-33^-2【答案】B【解析】2√3≈
3.46,3√2≈
4.24,故2√33√
210.若复数z=1+i,则z^2=()(2分)A.2B.0C.2iD.2-2i【答案】A【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=2i
二、多选题(每题4分,共20分)
1.以下哪些是命题?()A.今天天气很好B.x+y=5C.32D.这个正方形是红的E.请开门【答案】C、D【解析】命题是能够判断真假的陈述句,C和D符合要求
2.以下哪些是偶函数?()A.y=x^2B.y=1/xC.y=sinxD.y=cosxE.y=lnx【答案】A、D【解析】y=x^2和y=cosx关于y轴对称,是偶函数
3.在等比数列{a_n}中,若a_2=6,a_4=54,则公比q=()(4分)A.3B.±3C.2D.±2【答案】A、B【解析】a_4=a_2q^2,54=6q^2,q^2=9,q=±
34.以下哪些情况下,直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切?()A.k=rB.b=rC.k^2+b^2=r^2D.k=r^2E.b=-r^2【答案】C【解析】直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于半径,即|b|/√k^2+1=r,化简得k^2+b^2=r^
25.以下哪些是三角函数的周期函数?()A.y=tanxB.y=cosxC.y=1/sinxD.y=lnsinxE.y=e^x【答案】A、B、C【解析】tanx、cosx和1/sinx都有周期性,tanx周期为π,cosx周期为2π,1/sinx周期为2π
三、填空题(每题4分,共32分)
1.若fx=x^2-4x+3,则f2=______(4分)【答案】-1【解析】f2=2^2-4×2+3=-
12.在直角坐标系中,点A1,2关于y轴的对称点为______(4分)【答案】-1,2【解析】关于y轴对称,x坐标变号
3.函数y=2^x在区间-∞,1上的值域为______(4分)【答案】0,2【解析】当x=1时,y=2;当x→-∞时,y→
04.已知等差数列{a_n}中,a_1=5,a_5=13,则公差d=______(4分)【答案】2【解析】a_5=a_1+4d,13=5+4d,d=
25.若sinα=1/2,且α在第二象限,则cosα=______(4分)【答案】-√3/2【解析】sin^2α+cos^2α=1,cosα=-√1-sin^2α=-√3/
26.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标为______,半径为______(8分)【答案】2,-3,4【解析】配方得x-2^2+y+3^2=16,圆心2,-3,半径
47.在△ABC中,若a:b:c=3:4:5,则cosA=______(4分)【答案】4/5【解析】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA,代入a:b:c比例关系解得cosA=4/
58.函数y=√x^2-4x+3的定义域为______(4分)【答案】-∞,1]∪[3,+∞【解析】x^2-4x+3≥0,解得x≤1或x≥3
四、判断题(每题2分,共10分)
1.两个无理数的和一定是无理数()(2分)【答案】(×)【解析】如√2+1-√2=1,是有理数
2.若直线l1∥直线l2,直线l3⊥l1,则l3⊥l2()(2分)【答案】(√)【解析】平行线的垂直关系传递
3.所有连续函数都是可导函数()(2分)【答案】(×)【解析】如fx=|x|在x=0处连续但不可导
4.若fx是奇函数,则f0=0()(2分)【答案】(×)【解析】f0可能不为0,如fx=x^3+
15.若数列{a_n}是递增数列,则对任意n,都有a_n+1a_n()(2分)【答案】(√)【解析】递增数列的定义
五、简答题(每题5分,共15分)
1.求函数y=2sin3x+π/4的最小正周期(5分)【答案】2π/3【解析】周期T=2π/|ω|=2π/
32.已知点A1,2,B3,0,求直线AB的斜率和方程(5分)【答案】斜率k=-1,方程x+y-3=0【解析】k=0-2/3-1=-1,过点1,2,代入点斜式方程
3.证明等差数列的前n项和S_n=na_1+a_n/2(5分)【答案】证明S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+...+a_1+n-1d倒序相加得2S_n=a_1+a_n+a_1+n-1d+a_1+n-2d+...+a_1+d+a_1共n项,每项为a_1+a_n,故2S_n=na_1+a_n,得S_n=na_1+a_n/2
六、分析题(每题10分,共20分)
1.已知函数fx=x^3-3x^2+2(10分)
(1)求函数的极值点;(5分)
(2)判断函数的单调区间(5分)【答案】
(1)fx=3x^2-6x=3xx-2,令fx=0得x=0或x=2,f0=2,f2=-2,故x=0处极大值2,x=2处极小值-2
(2)当x0时,fx0,增;当0x2时,fx0,减;当x2时,fx0,增单调增区间-∞,0∪2,+∞,单调减区间0,
22.在△ABC中,若a:b:c=5:7:8,且面积S=84cm^2,求各边的长(10分)【答案】设a=5k,b=7k,c=8k,由余弦定理cosC=a^2+b^2-c^2/2abcosC=25k^2+49k^2-64k^2/2×5k×7k=3k^2/35k^2=3/35,sinC=√1-cos^2C=√1-9/1225=√1216/1225=4√19/35,S=1/2absinC=1/2×5k×7k×4√19/35=84,解得k=2√7,故a=10√7,b=14√7,c=16√7
七、综合应用题(每题25分,共50分)
1.某工厂生产某种产品,固定成本为10万元,每生产一件产品,可变成本增加5元,售价为每件10元(25分)
(1)求该工厂的利润函数Px(x为产量);(10分)
(2)求该工厂的盈亏平衡点;(10分)
(3)若工厂要实现利润最大化,应生产多少件产品?(5分)【答案】
(1)收入Rx=10x,成本Cx=10+5x,利润Px=Rx-Cx=10x-10+5x=5x-10
(2)盈亏平衡点Px=0,即5x-10=0,x=2,故盈亏平衡点为生产2件产品
(3)Px=5x-10是线性函数,斜率为正,故在盈亏平衡点右侧单调递增,故生产越多利润越高,理论上无限生产,但实际受资源限制,应生产尽可能多
2.已知函数fx=|x-1|+|x+2|(25分)
(1)求函数的图像和性质;(10分)
(2)解不等式fx≤3;(10分)
(3)求函数的最小值及取值范围(5分)【答案】
(1)图像由三段组成当x-2时,fx=-x-1-x+2=-2x-1;当-2≤x≤1时,fx=-x-1+x+2=3;当x1时,fx=x-1+x+2=2x+1性质偶函数,关于x=-2/3对称,在-∞,-2和1,+∞单调递增,-2,1单调递减
(2)fx≤3即当x-2时,-2x-1≤3,x≥-2;当-2≤x≤1时,3≤3,恒成立;当x1时,2x+1≤3,x≤1故解集为[-2,1]
(3)最小值为3,取值范围[3,+∞---标准答案
一、单选题
1.A
2.C
3.D
4.C
5.A
6.B
7.D
8.A
9.B
10.A
二、多选题
1.C、D
2.A、D
3.A、B
4.C
5.A、B、C
三、填空题
1.-
12.-1,
23.0,
24.
25.-√3/
26.2,-3,
47.4/
58.-∞,1]∪[3,+∞
四、判断题
1.×
2.√
3.×
4.×
5.√
五、简答题
1.2π/
32.斜率-1,方程x+y-3=
03.见解析
六、分析题
1.见解析
2.见解析
七、综合应用题
1.见解析
2.见解析。
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