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日照2024年二模数学试卷及参考答案
一、单选题（每题2分，共20分）
1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=2x+1B.y=-3x+2C.y=x^2D.y=1/x【答案】A【解析】一次函数y=2x+1的斜率为正，故为增函数
2.若集合A={x|x1}，B={x|x≤3}，则A∩B=（）（2分）A.{x|x1}B.{x|x≤3}C.{x|1x≤3}D.{x|x1}【答案】C【解析】A和B的交集为1x≤
33.函数fx=sinx+π/2的图像关于哪个点中心对称？（）（2分）A.0,0B.π/2,0C.π,0D.π/2,1【答案】D【解析】fx=sinx+π/2=cosx关于π/2,1中心对称
4.已知点P在圆x^2+y^2=1上运动，则点P到直线x+y=1的距离的最小值为（）（2分）A.0B.1C.√2/2D.√3/2【答案】C【解析】圆心0,0到直线x+y=1的距离为|0+0-1|/√2=√2/2，减去半径1得到√2/2-1=-√2/2，故最小值为√2/
25.下列命题中，为真命题的是（）（2分）A.空集是任何集合的子集B.存在一个实数x，使x^20C.所有奇数都是质数D.对任意实数x，x^2+x+10【答案】A【解析】空集是任何集合的子集是真命题
6.等差数列{a_n}中，a_1=2，d=3，则a_5+a_10=（）（2分）A.21B.24C.27D.30【答案】B【解析】a_5+a_10=2+5-1×3+2+10-1×3=
247.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则角C的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】由勾股定理可知△ABC为直角三角形，直角在C处
8.函数y=|x-1|在区间[0,2]上的最小值为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】当x=1时，y=|x-1|=
09.下列不等式中，正确的是（）（2分）A.-2^3-1^2B.2√33√2C.log_28log_39D.2^-33^-2【答案】B【解析】2√3≈
3.46，3√2≈
4.24，故2√33√
210.若复数z=1+i，则z^2=（）（2分）A.2B.0C.2iD.2-2i【答案】A【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=2i
二、多选题（每题4分，共20分）
1.以下哪些是命题？（）A.今天天气很好B.x+y=5C.32D.这个正方形是红的E.请开门【答案】C、D【解析】命题是能够判断真假的陈述句，C和D符合要求
2.以下哪些是偶函数？（）A.y=x^2B.y=1/xC.y=sinxD.y=cosxE.y=lnx【答案】A、D【解析】y=x^2和y=cosx关于y轴对称，是偶函数
3.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则公比q=（）（4分）A.3B.±3C.2D.±2【答案】A、B【解析】a_4=a_2q^2，54=6q^2，q^2=9，q=±
34.以下哪些情况下，直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切？（）A.k=rB.b=rC.k^2+b^2=r^2D.k=r^2E.b=-r^2【答案】C【解析】直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于半径，即|b|/√k^2+1=r，化简得k^2+b^2=r^
25.以下哪些是三角函数的周期函数？（）A.y=tanxB.y=cosxC.y=1/sinxD.y=lnsinxE.y=e^x【答案】A、B、C【解析】tanx、cosx和1/sinx都有周期性，tanx周期为π，cosx周期为2π，1/sinx周期为2π
三、填空题（每题4分，共32分）
1.若fx=x^2-4x+3，则f2=______（4分）【答案】-1【解析】f2=2^2-4×2+3=-
12.在直角坐标系中，点A1,2关于y轴的对称点为______（4分）【答案】-1,2【解析】关于y轴对称，x坐标变号
3.函数y=2^x在区间-∞,1上的值域为______（4分）【答案】0,2【解析】当x=1时，y=2；当x→-∞时，y→
04.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_5=13，则公差d=______（4分）【答案】2【解析】a_5=a_1+4d，13=5+4d，d=
25.若sinα=1/2，且α在第二象限，则cosα=______（4分）【答案】-√3/2【解析】sin^2α+cos^2α=1，cosα=-√1-sin^2α=-√3/
26.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标为______，半径为______（8分）【答案】2,-3，4【解析】配方得x-2^2+y+3^2=16，圆心2,-3，半径
47.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则cosA=______（4分）【答案】4/5【解析】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA，代入a:b:c比例关系解得cosA=4/
58.函数y=√x^2-4x+3的定义域为______（4分）【答案】-∞,1]∪[3,+∞【解析】x^2-4x+3≥0，解得x≤1或x≥3
四、判断题（每题2分，共10分）
1.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（×）【解析】如√2+1-√2=1，是有理数
2.若直线l1∥直线l2，直线l3⊥l1，则l3⊥l2（）（2分）【答案】（√）【解析】平行线的垂直关系传递
3.所有连续函数都是可导函数（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=|x|在x=0处连续但不可导
4.若fx是奇函数，则f0=0（）（2分）【答案】（×）【解析】f0可能不为0，如fx=x^3+
15.若数列{a_n}是递增数列，则对任意n，都有a_n+1a_n（）（2分）【答案】（√）【解析】递增数列的定义
五、简答题（每题5分，共15分）
1.求函数y=2sin3x+π/4的最小正周期（5分）【答案】2π/3【解析】周期T=2π/|ω|=2π/
32.已知点A1,2，B3,0，求直线AB的斜率和方程（5分）【答案】斜率k=-1，方程x+y-3=0【解析】k=0-2/3-1=-1，过点1,2，代入点斜式方程
3.证明等差数列的前n项和S_n=na_1+a_n/2（5分）【答案】证明S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+...+a_1+n-1d倒序相加得2S_n=a_1+a_n+a_1+n-1d+a_1+n-2d+...+a_1+d+a_1共n项，每项为a_1+a_n，故2S_n=na_1+a_n，得S_n=na_1+a_n/2
六、分析题（每题10分，共20分）
1.已知函数fx=x^3-3x^2+2（10分）
（1）求函数的极值点；（5分）
（2）判断函数的单调区间（5分）【答案】
（1）fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，f0=2，f2=-2，故x=0处极大值2，x=2处极小值-2
（2）当x0时，fx0，增；当0x2时，fx0，减；当x2时，fx0，增单调增区间-∞,0∪2,+∞，单调减区间0,
22.在△ABC中，若a:b:c=5:7:8，且面积S=84cm^2，求各边的长（10分）【答案】设a=5k，b=7k，c=8k，由余弦定理cosC=a^2+b^2-c^2/2abcosC=25k^2+49k^2-64k^2/2×5k×7k=3k^2/35k^2=3/35，sinC=√1-cos^2C=√1-9/1225=√1216/1225=4√19/35，S=1/2absinC=1/2×5k×7k×4√19/35=84，解得k=2√7，故a=10√7，b=14√7，c=16√7
七、综合应用题（每题25分，共50分）
1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每生产一件产品，可变成本增加5元，售价为每件10元（25分）
（1）求该工厂的利润函数Px（x为产量）；（10分）
（2）求该工厂的盈亏平衡点；（10分）
（3）若工厂要实现利润最大化，应生产多少件产品？（5分）【答案】
（1）收入Rx=10x，成本Cx=10+5x，利润Px=Rx-Cx=10x-10+5x=5x-10
（2）盈亏平衡点Px=0，即5x-10=0，x=2，故盈亏平衡点为生产2件产品
（3）Px=5x-10是线性函数，斜率为正，故在盈亏平衡点右侧单调递增，故生产越多利润越高，理论上无限生产，但实际受资源限制，应生产尽可能多
2.已知函数fx=|x-1|+|x+2|（25分）
（1）求函数的图像和性质；（10分）
（2）解不等式fx≤3；（10分）
（3）求函数的最小值及取值范围（5分）【答案】
（1）图像由三段组成当x-2时，fx=-x-1-x+2=-2x-1；当-2≤x≤1时，fx=-x-1+x+2=3；当x1时，fx=x-1+x+2=2x+1性质偶函数，关于x=-2/3对称，在-∞,-2和1,+∞单调递增，-2,1单调递减
（2）fx≤3即当x-2时，-2x-1≤3，x≥-2；当-2≤x≤1时，3≤3，恒成立；当x1时，2x+1≤3，x≤1故解集为[-2,1]
（3）最小值为3，取值范围[3,+∞---标准答案
一、单选题
1.A
2.C
3.D
4.C
5.A
6.B
7.D
8.A
9.B
10.A
二、多选题
1.C、D
2.A、D
3.A、B
4.C
5.A、B、C
三、填空题
1.-
12.-1,
23.0,
24.
25.-√3/
26.2,-3，
47.4/
58.-∞,1]∪[3,+∞
四、判断题
1.×
2.√
3.×
4.×
5.√
五、简答题
1.2π/
32.斜率-1，方程x+y-3=
03.见解析
六、分析题
1.见解析
2.见解析
七、综合应用题
1.见解析
2.见解析。
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