极限问界测试题目全集及答案

极限问界测试题目全集及答案

一、单选题

1.在极限问界测试中，以下哪个概念描述的是当变量趋向于无穷大时，函数值也趋向于某个固定值？（1分）A.连续性B.极限C.导数D.积分【答案】B【解析】极限描述的是当变量趋向于无穷大时，函数值趋向于某个固定值

2.在极限问界测试中，函数fx在点x=a处有极限，但未必连续，以下哪个选项是正确的？（1分）A.fa必须存在B.fa可以不存在C.fx在a处必须可导D.fx在a处必须不可导【答案】B【解析】函数在某点有极限，但函数值可以不存在，故fa可以不存在

3.在极限问界测试中，以下哪个是极限的基本性质？（1分）A.极限的和不等于各极限的和B.极限的积不等于各极限的积C.极限的商不等于各极限的商D.极限的运算满足分配律【答案】D【解析】极限的运算满足分配律，即极限的加法和乘法运算具有分配律

4.在极限问界测试中，以下哪个是极限的保号性定理的表述？（1分）A.若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0B.若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0C.若limfx=L且L≠0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≠0D.以上都是【答案】D【解析】极限的保号性定理表述为若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0；若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0；若limfx=L且L≠0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≠

05.在极限问界测试中，以下哪个是极限的夹逼定理的表述？（1分）A.若limfx=L且limgx=M，则lim[fx+gx]=L+MB.若limfx=L且limgx=M，则lim[fx-gx]=L-MC.若存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=L，则limgx=LD.若fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=∞，则limgx=∞【答案】C【解析】极限的夹逼定理表述为若存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=L，则limgx=L

6.在极限问界测试中，以下哪个是极限的局部有界性定理的表述？（1分）A.若limfx=L，则存在M0，使得|fx|≤M对所有x成立B.若limfx=L，则存在M0，使得|fx|≥M对所有x成立C.若limfx=L，则存在M0，使得fx≤M对所有x成立D.若limfx=L，则存在M0，使得fx≥M对所有x成立【答案】A【解析】极限的局部有界性定理表述为若limfx=L，则存在M0，使得|fx|≤M对所有x成立

7.在极限问界测试中，以下哪个是极限的局部保号性定理的表述？（1分）A.若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0B.若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0C.若limfx=L且L≠0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≠0D.以上都是【答案】D【解析】极限的局部保号性定理表述为若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0；若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0；若limfx=L且L≠0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≠

08.在极限问界测试中，以下哪个是极限的柯西收敛准则的表述？（1分）A.函数fx在点x=a处有极限的充分必要条件是对于任意ε0，存在δ0，当0|x-a|δ时，|fx-L|εB.函数fx在点x=a处有极限的充分必要条件是对于任意ε0，存在δ0，当0|x-a|δ时，|fx|εC.函数fx在点x=a处有极限的充分必要条件是对于任意ε0，存在δ0，当0|x-a|δ时，|fx-L|εD.函数fx在点x=a处有极限的充分必要条件是对于任意ε0，存在δ0，当0|x-a|δ时，|fx|ε【答案】A【解析】极限的柯西收敛准则表述为函数fx在点x=a处有极限的充分必要条件是对于任意ε0，存在δ0，当0|x-a|δ时，|fx-L|ε

9.在极限问界测试中，以下哪个是无穷小量的定义？（1分）A.极限为0的变量B.绝对值非常小的变量C.无穷大量的倒数D.以上都是【答案】A【解析】无穷小量的定义是极限为0的变量

10.在极限问界测试中，以下哪个是无穷大量的定义？（1分）A.极限为无穷大的变量B.绝对值非常大的变量C.无穷小量的倒数D.以上都是【答案】D【解析】无穷大量的定义是极限为无穷大的变量，或者是无穷小量的倒数

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是极限的基本性质？（）A.极限的加法和乘法运算具有分配律B.极限的加法和乘法运算具有结合律C.极限的除法运算具有结合律D.极限的减法运算具有分配律【答案】A、B【解析】极限的加法和乘法运算具有分配律和结合律，减法运算不具有分配律，除法运算不具有结合律

2.以下哪些是极限的保号性定理的表述？（）A.若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0B.若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0C.若limfx=L且L≠0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≠0D.若fx在x=a处连续，则limfx=fa【答案】A、B、C【解析】极限的保号性定理表述为若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0；若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0；若limfx=L且L≠0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≠0D选项是连续性的定义

3.以下哪些是极限的夹逼定理的表述？（）A.若存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=L，则limgx=LB.若fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=∞，则limgx=∞C.若fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=0，则limgx=0D.若存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=-∞，则limgx=-∞【答案】A、B、C、D【解析】极限的夹逼定理表述为若存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=L，则limgx=L；若fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=∞，则limgx=∞；若fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=0，则limgx=0；若存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=-∞，则limgx=-∞

4.以下哪些是极限的局部有界性定理的表述？（）A.若limfx=L，则存在M0，使得|fx|≤M对所有x成立B.若limfx=L，则存在M0，使得fx≤M对所有x成立C.若limfx=L，则存在M0，使得|fx|≥M对所有x成立D.若limfx=L，则存在M0，使得fx≥M对所有x成立【答案】A【解析】极限的局部有界性定理表述为若limfx=L，则存在M0，使得|fx|≤M对所有x成立

5.以下哪些是极限的柯西收敛准则的表述？（）A.函数fx在点x=a处有极限的充分必要条件是对于任意ε0，存在δ0，当0|x-a|δ时，|fx-L|εB.函数fx在点x=a处有极限的充分必要条件是对于任意ε0，存在δ0，当0|x-a|δ时，|fx|εC.函数fx在点x=a处有极限的充分必要条件是对于任意ε0，存在δ0，当0|x-a|δ时，|fx-L|εD.函数fx在点x=a处有极限的充分必要条件是对于任意ε0，存在δ0，当0|x-a|δ时，|fx|ε【答案】A【解析】极限的柯西收敛准则表述为函数fx在点x=a处有极限的充分必要条件是对于任意ε0，存在δ0，当0|x-a|δ时，|fx-L|ε

三、填空题

1.若limx→afx=L，则称fx在点x=a处______（4分）【答案】收敛于L【解析】若极限存在且等于L，则称fx在点x=a处收敛于L

2.若limx→afx=∞，则称fx在点x=a处______（4分）【答案】趋于无穷大【解析】若极限趋于无穷大，则称fx在点x=a处趋于无穷大

3.若limx→afx=0，则称fx在点x=a处______（4分）【答案】趋于无穷小【解析】若极限趋于0，则称fx在点x=a处趋于无穷小

4.若limx→afx=L，且L≠0，则称fx在点x=a处______（4分）【答案】具有非零极限【解析】若极限存在且不等于0，则称fx在点x=a处具有非零极限

5.若limx→afx=∞，则称fx在点x=a处______（4分）【答案】具有无穷极限【解析】若极限趋于无穷大，则称fx在点x=a处具有无穷极限

6.若limx→afx=0，则称fx在点x=a处______（4分）【答案】具有无穷小极限【解析】若极限趋于0，则称fx在点x=a处具有无穷小极限

7.若limx→afx=L，且L≠0，则称fx在点x=a处______（4分）【答案】具有非零无穷小极限【解析】若极限存在且不等于0，则称fx在点x=a处具有非零无穷小极限

8.若limx→afx=∞，则称fx在点x=a处______（4分）【答案】具有无穷大极限【解析】若极限趋于无穷大，则称fx在点x=a处具有无穷大极限

四、判断题

1.两个无穷小量的和仍然是无穷小量（）（2分）【答案】（√）【解析】两个无穷小量的和仍然是无穷小量

2.两个无穷大量的和仍然是无穷大量（）（2分）【答案】（√）【解析】两个无穷大量的和仍然是无穷大量

3.若limfx=L，则fx在点x=a处连续（）（2分）【答案】（×）【解析】若limfx=L，且fa=L，则fx在点x=a处连续

4.若limfx=∞，则fx在点x=a处不连续（）（2分）【答案】（×）【解析】若limfx=∞，则fx在点x=a处不一定不连续，可能连续

5.若fx在点x=a处连续，则limfx=fa（）（2分）【答案】（√）【解析】若fx在点x=a处连续，则limfx=fa

五、简答题

1.简述极限的保号性定理（2分）【答案】若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0；若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0；若limfx=L且L≠0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≠0【解析】保号性定理描述了当函数在某点的极限为正或负时，函数在该点的局部性质

2.简述极限的夹逼定理（2分）【答案】若存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=L，则limgx=L；若fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=∞，则limgx=∞；若fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=0，则limgx=0；若存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=-∞，则limgx=-∞【解析】夹逼定理描述了当函数在某点的极限存在且被两个函数夹住时，该函数的极限与夹住它的两个函数的极限相同

3.简述极限的柯西收敛准则（2分）【答案】函数fx在点x=a处有极限的充分必要条件是对于任意ε0，存在δ0，当0|x-a|δ时，|fx-L|ε【解析】柯西收敛准则描述了函数在某点的极限存在的充分必要条件

六、分析题

1.分析以下极限是否存在，并说明理由（10分）limx→0sinx/x【答案】存在，且极限值为1【解析】根据极限的基本性质，limx→0sinx/x=

12.分析以下极限是否存在，并说明理由（10分）limx→∞x^2/x【答案】存在，且极限值为∞【解析】根据极限的基本性质，limx→∞x^2/x=∞

七、综合应用题

1.计算以下极限（20分）limx→2[x^2-4/x-2]【答案】存在，且极限值为4【解析】首先将分子分解因式x^2-4/x-2=x+2x-2/x-2=x+2因此，limx→2[x^2-4/x-2]=limx→2x+2=4

八、完整标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.D

4.D

5.C

6.A

7.D

8.A

9.A

10.D

二、多选题

1.A、B

2.A、B、C

3.A、B、C、D

4.A

5.A

三、填空题

1.收敛于L

2.趋于无穷大

3.趋于无穷小

4.具有非零极限

5.具有无穷极限

6.具有无穷小极限

7.具有非零无穷小极限

8.具有无穷大极限

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0；若limfx=L且L0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx0；若limfx=L且L≠0，则存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≠

02.若存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=L，则limgx=L；若fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=∞，则limgx=∞；若fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=0，则limgx=0；若存在δ0，当0|x-a|δ时，fx≤gx≤hx，且limfx=limhx=-∞，则limgx=-∞

3.函数fx在点x=a处有极限的充分必要条件是对于任意ε0，存在δ0，当0|x-a|δ时，|fx-L|ε

六、分析题

1.存在，且极限值为

12.存在，且极限值为∞

七、综合应用题

1.存在，且极限值为4【注意】以上答案仅供参考，实际考试中可能会有所变化。