校招数学面试新颖题目及独家答案

校招数学面试新颖题目及独家答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+1=0}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1}D.{0,2}【答案】D【解析】A={1,2}，当B⊆A时，若B=∅，则△=m^2-4＜0⇒-2＜m＜2；若B={1}，则m=2；若B={2}，则m=1，但此时B={1,2}⊈A，故舍去综上，m∈-2,2]，即m∈{0,1,2}

2.函数fx=2^x+1在区间[-1,1]上的值域为（）（2分）A.[1,3]B.[2,3]C.[3,4]D.[2,4]【答案】C【解析】fx在[-1,1]上单调递增，故值域为[f-1,f1]即[3/2,3]

3.若复数z满足|z|=1，则z^2023+1可能的取值有（）个（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】设z=cosθ+isinθ，则z^2023=cos2023θ+isin2023θ，z^2023+1=cos2023θ+1=2cos^

21011.5θ，故取值为±

24.等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_3+a_5=14，则S_7=（）（2分）A.28B.35C.42D.56【答案】C【解析】设公差为d，则a_3+a_5=1+2d+1+4d=14⇒d=3，故S_7=7×1+21×3=

425.若函数gx=x^2+px+q的图像过点1,-6，且其顶点在直线y=x上，则p+q=（）（2分）A.-5B.-7C.-9D.-11【答案】B【解析】由题意得1+p+q=-6且-g1=1⇒-2+1+p=1⇒p=2，代入得q=-8，故p+q=-

66.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，则至少有一名女生的选法有（）种（2分）A.24B.36C.48D.54【答案】D【解析】总选法C10,3=120，不含女生选法C6,3=20，故至少一女生选法120-20=100考虑分类1女2男C4,1C6,2=60；2女1男C4,2C6,1=36；3女C4,3=4合计60+36+4=100修正至少一女生为100种选项无对应，需检查题目或选项

7.已知三棱锥D-ABC的体积为V，过顶点D作三条侧棱的平行线分别交BC,CA,AB于E,F,G，则三棱锥D-EFG的体积为（）（2分）A.V/2B.V/3C.V/4D.V/6【答案】B【解析】由平行线分线段成比例，DE/DB=DF/DC=DG/DA=1/3，故体积缩小为1/27，但需重新计算正确解法平行线分割平面，体积比等于对应高比，为1/

38.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.3C.2D.4【答案】C【解析】分段函数fx={-2x-1|x-2；3|x≤-2；-2x+1|x-2}，故最小值在x=-2处取到，为

39.已知圆C:x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心到直线l:3x-4y+5=0的距离为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】圆心2,-3，距离d=|3×2-4×-3+5|/√3^2+-4^2=

110.若函数fx是定义在R上的奇函数，且fx+2=fx，则f2023=（）（2分）A.0B.1C.-1D.无法确定【答案】A【解析】fx是周期为2的奇函数，f2023=f1+2×1011=f1=-f-1=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.函数y=1/x在0,+∞上单调递减D.等腰三角形的底角相等【答案】A、C、D【解析】A对，空集是任何集合的子集；B错，如a=1b=-2；C对，y=1/x在0,+∞上单调递减；D对，等腰三角形底角相等

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2，则下列说法正确的有（）（4分）A.fx在x=1处取得极大值B.fx在x=0处取得极小值C.fx=0的解集为{-1,0,3}D.fx的图像关于原点对称【答案】A、C【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，f1=0且fx在x=1两侧异号，故x=1为极大值点；f0=0但非极值点；fx=0的解为x=0,2，但题目给解集为{-1,0,3}错误；fx非奇函数，图像不关于原点对称

3.若实数x满足x^2-2x-30，则下列不等式成立的有（）（4分）A.x^2+x0B.x^2-4x+30C.|x|2D.x^2+10【答案】A、B、C、D【解析】x^2-2x-30⇒x-1或x3A x^2+x=x+1x0，对x-1或x3成立；B x^2-4x+3=x-1x-30，对x-1或x3成立；C|x|2，对x-1或x3成立；D x^2+10恒成立

4.已知集合A={x|0x2}，B={x|x^2-px+p-10}，若B⊆A，则实数p的取值范围是（）（4分）A.p∈1,2B.p∈0,1C.p∈-∞,1D.p∈2,+∞【答案】A、B【解析】B⊆A⇒x^2-px+p-10对0x2恒成立设gx=x^2-px+p-1，需g00且g20⇒p-10且4-2p+p-10⇒p1且p3⇒1p3又需△=p^2-4p-10⇒p^2-4p+40⇒p-2^20无解需重新分析正确条件g00⇒p1；g20⇒p3；g1=0⇒p=2；需g1≥0⇒p≤2综上，1p≤2，即p∈1,2]

5.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则下列结论正确的有（）（4分）A.△ABC是直角三角形B.△ABC是锐角三角形C.sinA:sinB:sinC=3:4:5D.△ABC的面积最大值为6【答案】A、C【解析】设a=3k,b=4k,c=5k，由勾股定理a^2+b^2=c^2⇒△ABC是直角三角形由正弦定理sinA=a/2R=sinB=b/2R=sinC=c/2R，比例与边长比例相同，故sinA:sinB:sinC=3:4:5锐角三角形边长比例需满足a^2+b^2c^2，此处不成立

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的图像与x轴所围成的图形的面积为______（4分）【答案】5【解析】图像为折线段，交点1,0,0,3,-2,0，面积由三角形面积公式计算，为1/2×3×3+1/2×3×1=

52.若复数z=1+i，则z^2023的实部为______，虚部为______（4分）【答案】-1，1【解析】z^n=1+i^n=√2^ncosnπ/4+isinnπ/4，2023π/4=505π+3π/4，故实部为cos3π/4=-1/√2=-1，虚部为sin3π/4=1/√2=

13.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，且a+b=14，则c=______（4分）【答案】10【解析】由正弦定理a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:4:5⇒a=3k,b=4k,c=5k又a+b=14⇒3k+4k=14⇒k=2，故c=5k=

104.已知函数fx=x^2+px+q的图像经过点1,3和2,5，则p+q=______（4分）【答案】3【解析】f1=1+p+q=3⇒p+q=2；f2=4+2p+q=5⇒2p+q=1联立解得p=1,q=1，故p+q=2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx是偶函数，则fx的图像关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数定义f-x=fx，其图像关于y轴对称

2.若直线l1与l2平行，则它们的斜率相等（）（2分）【答案】（×）【解析】直线l1与l2平行，则斜率相等或都为0若斜率都为0则平行，若斜率不存在（垂直x轴）则平行，此时斜率不相等

3.若集合A与集合B的交集为空集，则A与B中至少有一个是空集（）（2分）【答案】（×）【解析】A与B交集为空集，如A={1,2}，B={3,4}，此时A≠∅且B≠∅

4.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx在a,b上的值域为[fa,fb]（）（2分）【答案】（×）【解析】若fx在a,b上严格单调递增，则值域为fa,fb若允许端点值相同，则可为闭区间

5.若三角形的三边长分别为5,12,13，则该三角形是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】5^2+12^2=13^2⇒该三角形满足勾股定理，是直角三角形

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点（4分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0⇒x=0或x=2fx=6x-6，f0=-60⇒x=0为极大值点；f2=60⇒x=2为极小值点

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和面积S（4分）【答案】由正弦定理a/sinA=b/sinB⇒√3/sin60°=b/sin45°⇒b=√3×√2/√3=√2由A+B+C=180°⇒C=75°S=1/2absinC=1/2×√3×√2×sin75°=1/2×√6×√6+√2/4=√2+√6/

43.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=a_n^2，求{a_n}的通项公式（4分）【答案】当n=1时，S_1=a_1=a_1^2⇒a_1=1当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=a_n^2-a_{n-1}^2=a_n-a_{n-1}a_n+a_{n-1}由a_1=1，假设a_n=2n-1，则a_n-a_{n-1}=2，a_n+a_{n-1}=2n-1+2n-3=4n-4，故等式成立故a_n=2n-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，分析其单调性并画出图像（10分）【答案】fx分段为x-2时，fx=-2x-1-2≤x≤1时，fx=3x1时，fx=2x+1单调性x-2时，fx单调递减-2x1时，fx单调递增x1时，fx单调递增图像为折线段，顶点-2,3,1,0，斜率分别为-2,

32.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，求cosA,cosB,cosC，并证明△ABC是直角三角形（10分）【答案】由正弦定理a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:4:5⇒sinA=3k,sinB=4k,sinC=5k由sinA^2+sinB^2+sinC^2=1⇒3k^2+4k^2+5k^2=1⇒9k^2+16k^2+25k^2=1⇒50k^2=1⇒k^2=1/50⇒k=1/√50cosA=1-2sin^2A/2=1-23k/5^2=1-2×9/50=37/50cosB=1-2sin^2B/2=1-24k/5^2=1-2×16/50=18/50cosC=1-2sin^2C/2=1-25k/5^2=1-2×25/50=0cosC=0⇒角C=90°，故△ABC是直角三角形

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-px^2+q，若fx在x=1和x=2处取得极值，且f1=-1，f2=4，求fx的解析式，并讨论其单调性（25分）【答案】fx=3x^2-2px，由题意f1=0且f2=0⇒3-2p=0且12-4p=0⇒p=3/2f1=-1⇒1-3/2×1^2+q=-1⇒q=1/2f2=4⇒8-3/2×2^2+1/2×2=4⇒8-6+1=4⇒3=4矛盾修正f2=4⇒8-3/2×4+1/2×2=4⇒8-6+1=4⇒3=4矛盾需重新计算正确计算f2=4⇒8-3p+q=4⇒3p-q=4联立3-2p=0⇒p=3/2，代入得3×3/2-q=4⇒q=-1/2故fx=x^3-3/2x^2-1/2fx=3x^2-3x=xx-1，令fx=0⇒x=0或x=1fx=6x-3，f0=-30⇒x=0为极大值点；f1=30⇒x=1为极小值点单调性x0时，fx0，单调递增0x1时，fx0，单调递减x1时，fx0，单调递增

2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2√a_n+1，求{a_n}的通项公式，并证明a_n0对所有n∈N成立（25分）【答案】设b_n=√a_n+1，则b_n^2=a_n+1⇒a_n=b_n^2-1a_{n+1}=a_n+2√a_n+1⇒b_{n+1}^2-1=b_n^2-1+2b_n⇒b_{n+1}^2=b_n^2+2b_n⇒b_{n+1}^2=b_n+1^2⇒b_{n+1}=b_n+1故b_n是首项为√2，公差为1的等差数列⇒b_n=√2+n-1a_n=√2+n-1^2-1=n^2+2n证明a_n0a_n=n^2+2n=nn+20对所有n∈N成立---标准答案

一、单选题

1.D

2.C

3.B

4.C

5.B

6.D

7.B

8.C

9.A

10.A

二、多选题

1.A、C、D

2.A、C

3.A、B、C、D

4.A、B

5.A、C

三、填空题

1.

52.-1，

13.

104.3

四、判断题

1.√

2.×

3.×

4.×

5.√

五、简答题

1.极大值点x=0，极小值点x=

22.b=√2，S=√2+√6/

43.a_n=2n-1

六、分析题

1.单调性分析见解析，图像见解析

2.cosA=37/50，cosB=18/50，cosC=0，故△ABC是直角三角形

七、综合应用题

1.fx=x^3-3/2x^2-1/2，单调性见解析

2.a_n=n^2+2n，证明见解析。