概率论综合考试题及答案梳理

概率论综合考试题及答案梳理

一、单选题（每题2分，共20分）

1.某随机事件A的概率为PA=

0.6，则事件A的补事件A的概率为（）（2分）A.

0.4B.

0.6C.1D.0【答案】A【解析】事件A和其补事件A的概率和为1，故PA=1-PA=

0.

42.设随机变量X的分布列为X012P

0.

20.

50.3则EX等于（）（2分）A.

0.5B.1C.

1.5D.2【答案】C【解析】EX=0×

0.2+1×

0.5+2×

0.3=

1.

13.两个相互独立的事件A和B，若PA=

0.3，PB=

0.4，则PA∪B等于（）（2分）A.

0.12B.

0.58C.

0.68D.

0.88【答案】B【解析】PA∪B=PA+PB-PAPB=

0.3+

0.4-

0.3×

0.4=

0.

584.设随机变量X服从正态分布Nμ,σ²，则PXμ等于（）（2分）A.

0.5B.

0.68C.

0.84D.1【答案】A【解析】正态分布中，PXμ=

0.

55.设事件A的概率为PA=

0.7，事件B的概率为PB=

0.5，且PA∪B=

0.9，则PA|B等于（）（2分）A.

0.4B.

0.6C.

0.8D.1【答案】C【解析】PA|B=PA∪B-PB/PB=

0.9-

0.5/

0.5=

0.

86.设随机变量X的方差为VarX=4，则X的标准化随机变量Z=X-μ/σ的方差为（）（2分）A.4B.1C.0D.2【答案】B【解析】标准化随机变量的方差为

17.设随机变量X和Y相互独立，且X~N1,2²，Y~N2,3²，则Z=2X-Y的期望EZ等于（）（2分）A.0B.2C.4D.6【答案】A【解析】EZ=2EX-EY=2×1-2=

08.设事件A的概率为PA=

0.6，事件B的概率为PB=

0.4，且PA|B=

0.5，则PB|A等于（）（2分）A.

0.4B.

0.5C.

0.6D.

0.7【答案】B【解析】PB|A=PA|BPB/PA=

0.5×

0.4/

0.6=

0.

59.设随机变量X服从二项分布Bn,p，则EX等于（）（2分）A.pB.npC.p²D.n²p【答案】B【解析】二项分布的期望为EX=np

10.设随机变量X和Y相互独立，且X~N0,1，Y~N0,1，则PX²+Y²1等于（）（2分）A.

0.5B.

0.68C.

0.92D.1【答案】C【解析】PX²+Y²1=1-PX²+Y²≤1=1-

0.8=

0.2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是随机事件？（）A.掷一枚硬币，出现正面B.掷一颗骰子，出现数字7C.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃D.太阳从西边升起E.袋中有3个红球，2个白球，随机抽取一个球，抽到红球【答案】A、C、E【解析】随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，B和D是不可能事件

2.设随机变量X的分布列为X-101P

0.

20.

50.3则以下说法正确的有？（）A.EX=0B.VarX=

0.5C.PX≥0=

0.8D.PX0=

0.2E.PX=0=

0.5【答案】A、C、D、E【解析】EX=-1×

0.2+0×

0.5+1×

0.3=0；VarX=-1-0²×

0.2+0-0²×

0.5+1-0²×

0.3=

0.5；PX≥0=

0.5+

0.3=

0.8；PX0=

0.2；PX=0=

0.

53.设随机变量X和Y相互独立，且X~Nμ₁,σ₁²，Y~Nμ₂,σ₂²，则以下说法正确的有？（）A.EX+Y=μ₁+μ₂B.VarX+Y=σ₁²+σ₂²C.EXY=EXEYD.PXμ₁=

0.5E.PYμ₂=

0.5【答案】A、B、C、D、E【解析】相互独立的正态分布随机变量的线性组合仍然是正态分布，期望和方差有相应的性质

4.设事件A和事件B相互独立，且PA=

0.6，PB=

0.7，则以下说法正确的有？（）A.PA∩B=

0.42B.PA|B=

0.6C.PA∪B=

0.94D.PAUB=

0.88E.PA∩B=

0.28【答案】A、B、C、D、E【解析】相互独立的事件有相应的概率性质

5.设随机变量X服从泊松分布Poissonλ，则以下说法正确的有？（）A.EX=λB.VarX=λC.PX=k=λ^k/e^λ/k!D.PX=k=1-λE.PX0=1-PX=0【答案】A、B、C、E【解析】泊松分布的期望和方差均为λ，概率质量函数为PX=k=λ^k/e^λ/k!，PX0=1-PX=0=1-e^-λ

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设随机变量X和Y相互独立，且X~N0,1，Y~N0,1，则Z=X²+Y²服从______分布，其概率密度函数为______【答案】卡方分布（χ²分布）；fz=√2/πz^1/2e^-z/2，z0【解析】Z=X²+Y²服从自由度为2的卡方分布

2.设事件A的概率为PA=

0.7，事件B的概率为PB=

0.5，且PA∪B=

0.9，则PA∩B等于______【答案】

0.2【解析】PA∩B=PA+PB-PA∪B=

0.7+

0.5-

0.9=

0.

33.设随机变量X的期望EX=2，方差VarX=4，则X的标准化随机变量Z=X-2/2的期望EZ等于______，方差VarZ等于______【答案】0；1【解析】标准化随机变量的期望为0，方差为

14.设随机变量X服从二项分布B10,

0.3，则PX=3等于______【答案】

0.0574【解析】PX=3=C10,3×

0.3^3×

0.7^7≈

0.

05745.设随机变量X服从泊松分布Poisson2，则PX≤1等于______【答案】

0.406【解析】PX≤1=PX=0+PX=1=e^-2+2e^-2≈

0.406

四、判断题（每题2分，共10分）

1.设随机变量X和Y相互独立，且X~Nμ₁,σ₁²，Y~Nμ₂,σ₂²，则X+Y也服从正态分布（）（2分）【答案】（√）【解析】相互独立的正态分布随机变量的线性组合仍然是正态分布

2.设事件A和事件B相互独立，且PA0，PB0，则PA|B=PA（）（2分）【答案】（√）【解析】相互独立的事件有PA|B=PA

3.设随机变量X的分布列为X01P

0.

20.8则X的期望EX等于

0.6（）（2分）【答案】（×）【解析】EX=0×

0.2+1×

0.8=

0.

84.设随机变量X服从均匀分布U0,1，则EX=1/2，VarX=1/12（）（2分）【答案】（√）【解析】均匀分布Ua,b的期望为EX=a+b/2，方差为VarX=b-a²/

125.设事件A的概率为PA=

0.6，事件B的概率为PB=

0.4，且PA∪B=

0.8，则PA|B=

0.75（）（2分）【答案】（×）【解析】PA|B=PA∪B-PB/PB=

0.8-

0.4/

0.4=1

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述随机变量的期望和方差的定义及其性质【答案】期望EX是随机变量X取值的平均水平，定义为EX=∑xPX=x方差VarX是随机变量X取值与其期望的偏离程度的度量，定义为VarX=E[X-EX²]性质

（1）线性性质EaX+b=aEX+b；

（2）独立性质若X和Y相互独立，则EXY=EXEY；

（3）非负性VarX≥

02.简述事件独立性的定义及其性质【答案】事件独立性是指一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率定义若PA∩B=PAPB，则称事件A和事件B相互独立性质

（1）传递性若A和B相互独立，B和C相互独立，则A和C相互独立；

（2）与补事件的关系若A和B相互独立，则A和A、B和B也相互独立

3.简述正态分布的定义及其主要性质【答案】正态分布是概率论与数理统计中最重要的分布之一，其概率密度函数为fx=1/σ√2πe^-x-μ²/2σ²主要性质

（1）对称性关于x=μ对称；

（2）钟形曲线在μ处达到最大值，左右对称；

（3）3σ原则约68%的数据在μ-σ,μ+σ之间，约95%的数据在μ-2σ,μ+2σ之间，约

99.7%的数据在μ-3σ,μ+3σ之间

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设随机变量X和Y相互独立，且X~N1,2²，Y~N0,1，求Z=3X-2Y的分布及其期望和方差【答案】由于X和Y相互独立，且X~N1,2²，Y~N0,1，根据正态分布的性质，Z=3X-2Y也服从正态分布期望EZ=3EX-2EY=3×1-2×0=3；方差VarZ=3²VarX+-2²VarY=9×4+4×1=40故Z~N3,

402.设事件A和事件B的概率分别为PA=

0.6，PB=

0.4，且PA∪B=

0.8，求

（1）PA∩B

（2）PA|B

（3）PB|A【答案】

（1）PA∩B=PA+PB-PA∪B=

0.6+

0.4-

0.8=

0.2；

（2）PA|B=PA∩B/PB=

0.2/

0.4=

0.5；

（3）PB|A=PA∩B/PA=

0.2/

0.6≈

0.333

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设随机变量X的分布列为X-101P

0.

20.

50.3求

（1）X的期望EX和方差VarX

（2）X的标准化随机变量Z=X/

0.5的期望EZ和方差VarZ

（3）计算PX≥0【答案】

（1）EX=-1×

0.2+0×

0.5+1×

0.3=

0.1；VarX=-1-

0.1²×

0.2+0-

0.1²×

0.5+1-

0.1²×

0.3=

0.49；

（2）EZ=EX/

0.5=

0.1/

0.5=

0.2；VarZ=VarX/

0.5²=

0.49/

0.25=

1.96；

（3）PX≥0=PX=0+PX=1=

0.5+

0.3=

0.

82.设事件A和事件B相互独立，且PA=

0.7，PB=

0.5，求

（1）PA∪B

（2）PA∩B

（3）若PA∪B=

0.9，求PA∩B【答案】

（1）PA∪B=PA+PB-PAPB=

0.7+

0.5-

0.7×

0.5=

0.85；

（2）PA∩B=PB-PA∩B=PB-PAPB=

0.5-

0.7×

0.5=

0.15；

（3）若PA∪B=

0.9，则PA∩B=PA+PB-PA∪B=

0.7+

0.5-

0.9=

0.3---标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.B

4.A

5.C

6.B

7.A

8.B

9.B

10.C

二、多选题

1.A、C、E

2.A、C、D、E

3.A、B、C、D、E

4.A、B、C、D、E

5.A、B、C、E

三、填空题

1.卡方分布（χ²分布）；fz=√2/πz^1/2e^-z/2，z

02.

0.

33.0；

14.

0.

05745.

0.406

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.简述随机变量的期望和方差的定义及其性质【答案】期望EX是随机变量X取值的平均水平，定义为EX=∑xPX=x方差VarX是随机变量X取值与其期望的偏离程度的度量，定义为VarX=E[X-EX²]性质

（1）线性性质EaX+b=aEX+b；

（2）独立性质若X和Y相互独立，则EXY=EXEY；

（3）非负性VarX≥

02.简述事件独立性的定义及其性质【答案】事件独立性是指一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率定义若PA∩B=PAPB，则称事件A和事件B相互独立性质

（1）传递性若A和B相互独立，B和C相互独立，则A和C相互独立；

（2）与补事件的关系若A和B相互独立，则A和A、B和B也相互独立

3.简述正态分布的定义及其主要性质【答案】正态分布是概率论与数理统计中最重要的分布之一，其概率密度函数为fx=1/σ√2πe^-x-μ²/2σ²主要性质

（1）对称性关于x=μ对称；

（2）钟形曲线在μ处达到最大值，左右对称；

（3）3σ原则约68%的数据在μ-σ,μ+σ之间，约95%的数据在μ-2σ,μ+2σ之间，约

99.7%的数据在μ-3σ,μ+3σ之间

六、分析题

1.设随机变量X和Y相互独立，且X~N1,2²，Y~N0,1，求Z=3X-2Y的分布及其期望和方差【答案】由于X和Y相互独立，且X~N1,2²，Y~N0,1，根据正态分布的性质，Z=3X-2Y也服从正态分布期望EZ=3EX-2EY=3×1-2×0=3；方差VarZ=3²VarX+-2²VarY=9×4+4×1=40故Z~N3,

402.设事件A和事件B的概率分别为PA=

0.6，PB=

0.4，且PA∪B=

0.8，求

（1）PA∩B

（2）PA|B

（3）PB|A【答案】

（1）PA∩B=PA+PB-PA∪B=

0.6+

0.4-

0.8=

0.2；

（2）PA|B=PA∩B/PB=

0.2/

0.4=

0.5；

（3）PB|A=PA∩B/PA=

0.2/

0.6≈

0.333

七、综合应用题

1.设随机变量X的分布列为X-101P

0.

20.

50.3求

（1）X的期望EX和方差VarX

（2）X的标准化随机变量Z=X/

0.5的期望EZ和方差VarZ

（3）计算PX≥0【答案】

（1）EX=-1×

0.2+0×

0.5+1×

0.3=

0.1；VarX=-1-

0.1²×

0.2+0-

0.1²×

0.5+1-

0.1²×

0.3=

0.49；

（2）EZ=EX/

0.5=

0.1/

0.5=

0.2；VarZ=VarX/

0.5²=

0.49/

0.25=

1.96；

（3）PX≥0=PX=0+PX=1=

0.5+

0.3=

0.

82.设事件A和事件B相互独立，且PA=

0.7，PB=

0.5，求

（1）PA∪B

（2）PA∩B

（3）若PA∪B=

0.9，求PA∩B【答案】

（1）PA∪B=PA+PB-PAPB=

0.7+

0.5-

0.7×

0.5=

0.85；

（2）PA∩B=PB-PA∩B=PB-PAPB=

0.5-

0.7×

0.5=

0.15；

（3）若PA∪B=

0.9，则PA∩B=PA+PB-PA∪B=

0.7+

0.5-

0.9=

0.3。