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文本内容:
概率论经典考试题目及答案
一、单选题
1.设事件A的概率PA=
0.6，事件B的概率PB=
0.7，且PAB=
0.3，则事件A和事件B的和的概率PA∪B等于（）（2分）A.
0.6B.
0.7C.
0.9D.
0.1【答案】C【解析】根据概率加法公式，PA∪B=PA+PB-PAB=
0.6+
0.7-
0.3=
0.
92.从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是（）（2分）A.1/4B.1/2C.1/13D.12/52【答案】A【解析】一副扑克牌中有13张红桃，所以抽到红桃的概率是13/52=1/
43.设随机变量X的分布列为X012P
0.
20.
50.3则EX（期望）等于（）（2分）A.
0.5B.1C.
1.5D.2【答案】B【解析】EX=0×
0.2+1×
0.5+2×
0.3=0+
0.5+
0.6=
1.
14.设随机变量X服从正态分布Nμ,σ^2，则PXμ等于（）（2分）A.
0.5B.
0.683C.
0.841D.1【答案】A【解析】对于正态分布，分布曲线关于均值μ对称，所以PXμ=
0.
55.设事件A和事件B相互独立，且PA=
0.4，PB=
0.5，则PAB等于（）（2分）A.
0.4B.
0.5C.
0.2D.
0.9【答案】C【解析】对于独立事件，PAB=PA×PB=
0.4×
0.5=
0.
26.设随机变量X的方差DX=4，则随机变量Y=3X+5的方差DY等于（）（2分）A.4B.9C.12D.16【答案】B【解析】对于线性变换，若Y=aX+b，则DY=a^2DX，所以DY=3^2×4=
97.设事件A的概率PA=
0.7，事件B的概率PB=
0.5，且PAB=
0.3，则事件A和事件B的条件概率PB|A等于（）（2分）A.
0.4B.
0.5C.
0.6D.
0.7【答案】A【解析】根据条件概率公式，PB|A=PAB/PA=
0.3/
0.7=
0.4286≈
0.
438.设随机变量X服从二项分布Bn,p，则EX和DX分别等于（）（2分）A.np,np1-pB.n1-p,npC.p,np1-pD.p1-p,np【答案】A【解析】对于二项分布，EX=np，DX=np1-p
9.设随机变量X和Y相互独立且同分布，X~N0,1，则PX0,Y0等于（）（2分）A.
0.25B.
0.5C.
0.75D.1【答案】B【解析】由于X和Y相互独立且同分布，PX0,Y0=PX0×PY0=
0.5×
0.5=
0.
2510.设事件A的概率PA=
0.6，事件B的概率PB=
0.4，且PAB=
0.2，则事件A和事件B是否独立？（）（2分）A.是B.否【答案】B【解析】若A和B独立，则PAB=PA×PB，即
0.2=
0.6×
0.4=
0.24，所以不独立
二、多选题（每题4分，共20分）
1.以下哪些是概率论中的基本概念？（）A.样本空间B.事件C.随机变量D.分布函数E.期望【答案】A、B、C、D、E【解析】样本空间、事件、随机变量、分布函数和期望都是概率论中的基本概念
2.设随机变量X的分布列为X-101P
0.
20.
50.3则以下说法正确的有？（）A.EX=-
0.1B.DX=
0.49C.PX≤0=
0.7D.PX=0=
0.5E.PX0=
0.2【答案】A、C、D、E【解析】EX=-1×
0.2+0×
0.5+1×
0.3=-
0.2+0+
0.3=
0.1；DX=EX^2-[EX]^2=1+0+1×
0.2-
0.1^2=
0.4-
0.01=
0.39；PX≤0=PX=-1+PX=0=
0.2+
0.5=
0.7；PX=0=
0.5；PX0=PX=-1=
0.
23.设随机变量X和Y相互独立，且X~Nμ1,σ1^2，Y~Nμ2,σ2^2，则以下说法正确的有？（）A.EX+Y=μ1+μ2B.DX+Y=σ1^2+σ2^2C.EXY=EXEYD.PXμ1=
0.5E.DXY=σ1σ2【答案】A、B、C、D【解析】对于独立正态分布随机变量，EX+Y=EX+EY=μ1+μ2；DX+Y=DX+DY=σ1^2+σ2^2；EXY=EXEY；PXμ1=
0.5；DXY=DXDY=σ1^2σ2^
24.设事件A和事件B的概率分别为PA=
0.6，PB=
0.7，且PAB=
0.4，则以下说法正确的有？（）A.PA|B=
0.5714B.PB|A=
0.6667C.PA∪B=
0.8D.PA-B=
0.2E.PA∪B^c=
0.9【答案】A、B、C、D【解析】PA|B=PAB/PB=
0.4/
0.7≈
0.5714；PB|A=PAB/PA=
0.4/
0.6≈
0.6667；PA∪B=PA+PB-PAB=
0.6+
0.7-
0.4=
0.9；PA-B=PA-PAB=
0.6-
0.4=
0.2；PA∪B^c=PA+PB^c-PAB=
0.6+
0.3-
0.4=
0.
55.设随机变量X和Y相互独立，且X~N0,1，Y~N0,1，则以下说法正确的有？（）A.PX^2+Y^21=
0.3173B.PX0,Y0=
0.25C.EX^2=1D.DX^2=2E.P|X|1=
0.3413【答案】A、C、E【解析】PX^2+Y^21=PX^2+Y^21=1-PX^2+Y^2≤1=1-
0.6827=
0.3173；PX0,Y0=PX0PY0=
0.5×
0.5=
0.25；EX^2=1；DX^2=2；P|X|1=2PX1=2×
0.3413=
0.6826
三、填空题
1.设随机变量X的分布列为X-101P
0.
20.
50.3则EX^2等于______（4分）【答案】
0.65【解析】EX^2=-1^2×
0.2+0^2×
0.5+1^2×
0.3=
0.2+0+
0.3=
0.
52.设随机变量X和Y相互独立，且X~N2,4，Y~N3,9，则E2X-3Y+5等于______（4分）【答案】1【解析】E2X-3Y+5=2EX-3EY+5=2×2-3×3+5=4-9+5=
13.设事件A和事件B的概率分别为PA=
0.6，PB=
0.7，且PAB=
0.4，则PA|B等于______（4分）【答案】
0.5714【解析】PA|B=PAB/PB=
0.4/
0.7≈
0.
57144.设随机变量X的分布列为X-101P
0.
20.
50.3则PX≤0等于______（4分）【答案】
0.7【解析】PX≤0=PX=-1+PX=0=
0.2+
0.5=
0.
75.设随机变量X和Y相互独立，且X~N0,1，Y~N0,1，则PX^2+Y^2≤1等于______（4分）【答案】
0.6827【解析】PX^2+Y^2≤1=PX^2+Y^2≤1=
0.6827
四、判断题
1.设事件A和事件B相互独立，则事件A和事件B的对立事件也相互独立（）（2分）【答案】（√）【解析】若A和B独立，则PA^c∩B^c=PA∪B^c=1-PA∪B=1-PA+PB-PAB=1-PA-PB+PAPB=PA^cPB^c，所以A^c和B^c独立
2.设随机变量X和Y相互独立，且X~Nμ1,σ1^2，Y~Nμ2,σ2^2，则X+Y也服从正态分布（）（2分）【答案】（√）【解析】独立正态分布随机变量的线性组合仍然服从正态分布，即X+Y~Nμ1+μ2,σ1^2+σ2^
23.设随机变量X的期望EX存在，则EX^2也一定存在（）（2分）【答案】（√）【解析】若EX存在，则X的分布是有界的，所以EX^2也一定存在
4.设事件A和事件B的概率分别为PA=
0.6，PB=
0.4，且PAB=
0.2，则事件A和事件B是否独立？（）（2分）【答案】（×）【解析】若A和B独立，则PAB=PA×PB，即
0.2=
0.6×
0.4=
0.24，所以不独立
5.设随机变量X和Y相互独立，且X~N0,1，Y~N0,1，则PX0,Y0等于PX0,Y0（）（2分）【答案】（√）【解析】由于X和Y相互独立且同分布，PX0,Y0=PX0×PY0=
0.5×
0.5=
0.25；同理，PX0,Y0=PX0×PY0=
0.5×
0.5=
0.25
五、简答题
1.简述概率论中的条件概率的定义及其计算公式（5分）【答案】条件概率是指事件A在事件B发生的条件下发生的概率，记作PA|B其计算公式为PA|B=PAB/PB，其中PB
02.解释什么是随机变量的期望和方差，并给出它们的计算公式（5分）【答案】随机变量的期望（或数学期望）是指随机变量取值的平均值，记作EX对于离散型随机变量，EX=ΣxPX=x；对于连续型随机变量，EX=∫xfxdx随机变量的方差是指随机变量取值与期望之差的平方的期望，记作DX对于离散型随机变量，DX=Σx-EX^2PX=x；对于连续型随机变量，DX=∫x-EX^2fxdx
3.设随机变量X的分布列为X-101P
0.
20.
50.3求X的期望EX和方差DX（5分）【答案】EX=-1×
0.2+0×
0.5+1×
0.3=
0.1；DX=EX^2-[EX]^2=1+0+1×
0.2-
0.1^2=
0.4-
0.01=
0.39
六、分析题
1.设随机变量X和Y相互独立，且X~N0,1，Y~N0,1，求随机变量Z=X^2+Y^2的分布（10分）【答案】由于X和Y相互独立且同分布，且X~N0,1，Y~N0,1，根据卡方分布的定义，Z=X^2+Y^2服从自由度为2的卡方分布，即Z~χ^
222.设事件A和事件B的概率分别为PA=
0.6，PB=
0.7，且PAB=
0.4，求事件A和事件B的联合概率PAB和边际概率PA、PB（10分）【答案】PAB=
0.4；PA=
0.6；PB=
0.7
七、综合应用题
1.设随机变量X和Y相互独立，且X~N2,4，Y~N3,9，求随机变量Z=2X-3Y+5的分布（20分）【答案】由于X和Y相互独立且同分布，且X~N2,4，Y~N3,9，根据正态分布的性质，Z=2X-3Y+5也服从正态分布EZ=2EX-3EY+5=2×2-3×3+5=1；DZ=4DX+9DY=4×4+9×9=16+81=97所以Z~N1,97完整标准答案
一、单选题
1.C
2.A
3.B
4.A
5.C
6.B
7.A
8.A
9.B
10.B
二、多选题
1.A、B、C、D、E
2.A、C、D、E
3.A、B、C、D
4.A、B、C、D
5.A、C、E
三、填空题
1.
0.
652.
13.
0.
57144.
0.
75.
0.6827
四、判断题
1.（√）
2.（√）
3.（√）
4.（×）
5.（√）
五、简答题
1.条件概率是指事件A在事件B发生的条件下发生的概率，记作PA|B其计算公式为PA|B=PAB/PB，其中PB
02.随机变量的期望（或数学期望）是指随机变量取值的平均值，记作EX对于离散型随机变量，EX=ΣxPX=x；对于连续型随机变量，EX=∫xfxdx随机变量的方差是指随机变量取值与期望之差的平方的期望，记作DX对于离散型随机变量，DX=Σx-EX^2PX=x；对于连续型随机变量，DX=∫x-EX^2fxdx
3.EX=
0.1；DX=
0.39
六、分析题
1.Z=X^2+Y^2~χ^
222.PAB=
0.4；PA=
0.6；PB=
0.7
七、综合应用题
1.Z~N1,97。
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