浙江大学数学保送考试题目及答案详解

浙江大学数学保送考试题目及答案详解

一、单选题（每题1分，共10分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，且f1=2，则a的取值范围是（）A.a0B.a0C.a≥0D.a≤0【答案】A【解析】函数fx在x=1处取得极小值，则f1=0，即2ax+b|_{x=1}=0，得2a+b=0又f1=a+b+c=2，代入2a+b=0得c=2-a由于是极小值，a必须大于0，否则无法满足极值条件

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）A.{1,2}B.{1,1/2}C.{1}D.{1/2}【答案】B【解析】集合A={1,2}当B=∅时，a=0，满足B⊆A；当B≠∅时，a≠0，B={1/a}，要使B⊆A，则1/a=1或1/a=2，解得a=1或a=1/

23.在等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_5=5，则a_10的值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】设公差为d，由a_5=a_1+4d=5，得4d=4，d=1则a_10=a_1+9d=1+9=

104.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点间的距离，即|1--2|=

35.若复数z满足z^2=i，则z的模长为（）A.1B.√2C.√3D.2【答案】A【解析】设z=a+bi，则a+bi^2=a^2-b^2+2abi=i，得a^2-b^2=0，2ab=1解得a=b=±1/√2，z的模长为|z|=√a^2+b^2=√1/2+1/2=

16.不等式|3x-2|5的解集为（）A.-1,3B.-3,1C.-3/2,7/2D.-1/2,3/2【答案】C【解析】|3x-2|5即-53x-25，解得-33x7，即-1x7/3，解集为-1,7/

37.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标为（）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆方程可化为x-2^2+y+3^2=16，圆心为2,-

38.抛掷一枚质地均匀的骰子，出现点数大于3的概率为（）A.1/6B.1/3C.1/2D.2/3【答案】B【解析】点数大于3的结果有

4、

5、6三种，共3种，概率为3/6=1/

29.已知向量a=1,2，b=3,-4，则向量a与b的夹角θ的余弦值为（）A.-7/25B.7/25C.-24/25D.24/25【答案】A【解析】cosθ=a·b/|a||b|=1×3+2×-4/√1^2+2^2√3^2+-4^2=-5/5√9+16=-5/5√25=-5/25=-1/

510.若函数fx=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1处都取得极值，则a、b的取值分别为（）A.a=3,b=-1B.a=3,b=1C.a=-3,b=-1D.a=-3,b=1【答案】A【解析】fx=3x^2-2ax+b，由f1=0和f-1=0，得3-2a+b=0和3+2a+b=0，解得a=3，b=-9又需验证f1和f-1的符号，fx=6x-2a，f1=6-2×3=0，f-1=-6-2×3=-12，不满足极值条件，需重新计算由f1=0和f-1=0，得3-2a+b=0和3+2a+b=0，解得a=3，b=-9又需验证f1和f-1的符号，fx=6x-2a，f1=6-2×3=0，f-1=-6-2×3=-12，不满足极值条件，需重新计算正确答案为a=3，b=-1

二、多选题（每题2分，共10分）

1.下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的是（）A.y=x^2B.y=e^xC.y=lnxD.y=1/x【答案】A、B、C【解析】y=x^2在0,+∞上单调递增；y=e^x在0,+∞上单调递增；y=lnx在0,+∞上单调递增；y=1/x在0,+∞上单调递减考查函数单调性

2.已知直线l1:ax+by+c=0与直线l2:mx+ny+p=0平行，则下列关系成立的是（）A.a/m=b/nB.a/m=-b/nC.c=pD.c≠p【答案】A、D【解析】直线l1与l2平行，则斜率相等，即a/m=b/n且a·n≠b·m若a·n=b·m，则直线重合，c=p故a/m=b/n且c≠p

3.在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，则三角形ABC可能是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】A、C【解析】由a^2+b^2=c^2，根据勾股定理，三角形ABC为直角三角形若为等边三角形，则a=b=c，a^2+b^2=2a^2≠c^2锐角三角形和钝角三角形不满足勾股定理

4.下列命题中，正确的是（）A.若x^2=1，则x=1B.若x^21，则x1C.若x^2≥1，则x≥1D.若x^21，则-1x1【答案】D【解析】若x^21，则-1x1若x^2=1，则x=±1若x^21，则x1或x-1若x^2≥1，则x≥1或x≤-

15.已知函数fx=sinx+cosx，则fx的最小正周期为（）A.2πB.πC.2D.4【答案】A【解析】fx=sinx+cosx=√2sinx+π/4，最小正周期为2π

三、填空题（每题2分，共20分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，则fx的极值点为________和________【答案】1,0【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0，得3xx-2=0，x=0或x=2fx=6x-6，f0=-6，f2=6，故x=0为极大值点，x=2为极小值点

2.抛掷两枚质地均匀的骰子，点数之和为7的概率为________【答案】1/6【解析】点数之和为7的组合有1,

6、2,

5、3,

4、4,

3、5,

2、6,1，共6种，概率为6/36=1/

63.已知圆O的方程为x^2+y^2=4，则圆O的面积与周长之比为________【答案】π【解析】圆的半径r=2，面积S=πr^2=4π，周长C=2πr=4π，故比值为4π/4π=

14.函数fx=|x-1|+|x+2|的值域为________【答案】[3,+∞【解析】fx表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为3，无最大值，值域为[3,+∞

5.设复数z=1+i，则z^2的实部为________【答案】0【解析】z^2=1+i^2=1+2i-1=2i，实部为

06.不等式2x-15的解集为________【答案】-∞,3【解析】2x-15，得2x6，x3，解集为-∞,

37.已知向量a=1,2，b=3,-4，则向量a与b的夹角θ的余弦值为________【答案】-7/25【解析】cosθ=a·b/|a||b|=1×3+2×-4/√1^2+2^2√3^2+-4^2=-5/5√25=-5/25=-1/

58.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，则a_7的值为________【答案】256【解析】设公比为q，由a_4=a_1q^3=16，得q^3=16，q=2则a_7=a_1q^6=1×2^6=

649.已知直线l:y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若AB=5，则k^2+b^2的取值范围是________【答案】[25/4,+∞【解析】A-b/k,0，B0,b，AB=√-b/k^2+b^2=5，得b^21+k^2=25k^2，k^2+b^2=25故k^2+b^2的最小值为25/4，无最大值

10.若函数fx=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，则a、b的关系为________【答案】a=3b【解析】fx=3x^2-2ax+b，由f1=0，得3-2a+b=0，即a=3-b/2

四、判断题（每题1分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上连续（）【答案】（×）【解析】单调递增不一定连续，如分段函数

2.若复数z满足z^2=-1，则z为纯虚数（）【答案】（×）【解析】z=±i，纯虚数不包含实部为0的情况

3.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=0，a^2=1，b^2=0，a^2b^

24.若直线l1与直线l2平行，则它们的斜率相等（）【答案】（×）【解析】斜率相等，但若斜率不存在（垂直于x轴），则平行

5.若三角形ABC的三边长分别为

3、

4、5，则三角形ABC为直角三角形（）【答案】（√）【解析】3^2+4^2=5^2，满足勾股定理

6.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0（）【答案】（√）【解析】极值点的必要条件是导数为

07.若向量a与向量b垂直，则a·b=0（）【答案】（√）【解析】向量垂直的充要条件是数量积为

08.若集合A包含于集合B，则集合A的元素个数小于等于集合B的元素个数（）【答案】（√）【解析】包含关系的定义

9.若复数z=a+bi，则z的模长为|z|=√a^2+b^2（）【答案】（√）【解析】复数模长的定义

10.若函数fx在区间I上连续，则fx在该区间上必有界（）【答案】（×）【解析】如fx=x在-∞,+∞上连续，但无界。