深入了解尖子班考试题型与答案

深入了解尖子班考试题型与答案

一、单选题

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则下列说法正确的是（）（2分）A.a0,b^2-4ac0B.a0,b^2-4ac0C.a0,b^2-4ac=0D.a0,b^2-4ac=0【答案】C【解析】函数开口向上说明a0，顶点在x轴上说明判别式b^2-4ac=0故选C

2.已知集合A={x|x^2-3x+20},B={x|ax=1},若B⊆A,则a的取值范围是（）（2分）A.a0B.a0C.a∈-∞,0∪0,+∞D.a∈-∞,1∪1,+∞【答案】C【解析】A={x|x2或x1},B={x|x≠0}，要使B⊆A，a≠0且ax=1的解不在-1,2区间内，故a∈-∞,0∪0,+∞

3.函数fx=2sinωx+φ的图像关于y轴对称，且周期为π，则（）（2分）A.ω=2,φ=πB.ω=2,φ=-π/2C.ω=1,φ=π/2D.ω=1,φ=0【答案】D【解析】图像关于y轴对称说明φ=kπ+π/2，周期为π说明ω=2，故φ=π/2，即ω=1,φ=

04.已知点A1,2,B3,0,C2,m，若∠ABC=45°，则m的值为（）（2分）A.1B.-1C.1或-1D.2【答案】C【解析】向量AB=2,-2,向量BC=-1,m，由cos45°=|AB·BC|/|AB||BC|，解得m=1或-

15.不等式|3x-2|x+4的解集为（）（2分）A.-∞,-1B.2,+∞C.-1,2D.-∞,-1∪2,+∞【答案】C【解析】由-1x2且x-2且x6，解得-1x

26.已知fx是定义在R上的奇函数，且f1=1,fx+2=fx+f2，则f5的值为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】f3=f1+f2=1+f2，f5=f3+f2=1+2f2，由f0=0得f2=f0+f2=2f2，解得f2=0,f5=

37.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标为（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】配方得x-2^2+y+3^2=16，圆心为2,-

38.若复数z满足|z|=1,z^2+z+1=0，则z的值为（）（2分）A.1B.-1C.ωD.ω^2【答案】C【解析】|z|=1说明z=cosθ+isinθ，代入得cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ+1=0，解得θ=2π/3，即z=-1/2+√3/2i=ω

9.抛掷两枚质地均匀的骰子，点数之和为7的概率为（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】基本事件共36个，点数和为7的基本事件有1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1，共6个，概率为6/36=1/

610.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1,a_n=S_n/n-1n≥2，则a_5的值为（）（2分）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】a_2=S_2/1=1，a_3=S_2+a_3/2，解得a_3=1，同理a_4=1，a_5=S_4/3=5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.函数fx=x^3-3x+a在-2,2上存在极值点，则a的取值范围是（）A.-2a6B.a-2或a6C.a=2D.a=-2【答案】A、B【解析】fx=3x^2-3=3x+1x-1，驻点为x=±1，f-1=2+a,f1=-2+a，要使fx在-2,2上存在极值点，需f-1·f10，即-2a6，或a-2或a

62.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2-bc，则（）A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.cosA=1/2D.△ABC是锐角三角形【答案】A、B【解析】由a^2=b^2+c^2-bc，得b^2+c^2-a^2=bc，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=1/2，A=60°，故△ABC是等腰三角形，不是直角三角形，也不是锐角三角形

3.已知fx是定义在R上的偶函数，且在0,+∞上单调递减，则下列说法正确的是（）A.f-3f2B.f0是fx的最大值C.fx在-∞,0上单调递增D.f1f-1【答案】A、C【解析】由fx是偶函数，得f-3=f3,f-1=f1，由fx在0,+∞上单调递减，得f3f2,f1f0，故f-3f2,fx在-∞,0上单调递增

4.若实数x满足x^2+2x-3≥0，则|3-x|+|2+x|的值为（）A.5B.1C.8D.4【答案】A、D【解析】由x^2+2x-3≥0，得x≥1或x≤-3，|3-x|+|2+x|={|3-x|+|2+x|x≤-3}={|3-x|+|2+x|x≥1}=x+3-x+2=5或-x+3+x+2=5，故值为

55.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1,a_n=S_n/n-1n≥2，则（）A.{a_n}是等差数列B.a_4=4C.S_5=15D.a_n=n【答案】B、C、D【解析】由a_n=S_n/n-1n≥2，得S_n-a_n=S_n/n-1，即a_n=n，故{a_n}是等差数列，a_4=4,S_5=15

三、填空题（每题4分，共16分）

1.不等式组{x|1≤x≤3}∩{x|2x≤5}的解集为______（4分）【答案】{x|2x≤3}（4分）

2.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为______（4分）【答案】3（4分）

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3,b=4,c=5，则sinA的值为______（4分）【答案】3/5（4分）

4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1,a_n=S_n/n-1n≥2，则a_3的值为______（4分）【答案】1（4分）

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1,b=-2，则ab但a^2b^

22.函数fx=x^3在R上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x^2≥0，故fx在R上单调递增

3.若复数z满足|z|=1，则z的平方一定是正实数（）（2分）【答案】（×）【解析】如z=-1，则z^2=1，但1不是正实数

4.已知集合A={x|x^2-10},B={x|x1}，则A⊆B（）（2分）【答案】（√）【解析】A={x|x1或x-1}，B={x|x1}，故A⊆B

5.若函数fx=ax^2+bx+c的图像经过点1,2和2,3，则f0=1（）（2分）【答案】（×）【解析】f1=a+b+c=2,f2=4a+2b+c=3，解得a=1/2,b=3/2,c=0，f0=c=0≠1

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=2sinωx+φ的图像关于y轴对称，且周期为π，求ω和φ的值（5分）【答案】ω=2,φ=kπ+π/2（k∈Z）（5分）

2.已知集合A={x|x^2-3x+20},B={x|ax=1},若B⊆A,求a的取值范围（5分）【答案】a∈-∞,0∪0,+∞（5分）

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1,a_n=S_n/n-1n≥2，求a_4的值（5分）【答案】a_4=4（5分）

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x+a在-2,2上存在极值点，求a的取值范围，并证明fx在-2,2上存在极值点（10分）【答案】-2a6，证明fx=3x^2-3=3x+1x-1，驻点为x=±1，f-1=2+a,f1=-2+a，若fx在-2,2上存在极值点，需f-1·f10，即-2a6，故fx在-2,2上存在极值点（10分）

2.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值，并说明此时x的取值范围（10分）【答案】最小值为3，此时x∈-2,1（10分）

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=ax^3+bx^2+cx+d在x=1时取得极大值5，在x=-1时取得极小值-1，且f0=1，求a、b、c、d的值，并证明fx在x=1时取得极大值（25分）【答案】a=1,b=-3,c=-3,d=1，证明fx=3x^2+2bx+c，由f1=0,f-1=0,f1=5,f-1=-1,f0=1，解得a=1,b=-3,c=-3,d=1，fx=3x^2-6x-3=3x-1x+1，当x1时fx0，x1时fx0，故x=1时取得极大值（25分）

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1,a_n=S_n/n-1n≥2，求证{a_n}是等差数列，并求a_10的值（25分）【答案】由a_n=S_n/n-1n≥2，得S_n-a_n=S_n/n-1，即a_n=n，故{a_n}是等差数列，a_10=10（25分）---标准答案

一、单选题

1.C

2.C

3.D

4.C

5.C

6.B

7.C

8.C

9.A

10.B

二、多选题

1.A、B

2.A、B

3.A、C

4.A、D

5.B、C、D

三、填空题

1.{x|2x≤3}

2.

33.3/

54.1

四、判断题

1.×

2.√

3.×

4.√

5.×

五、简答题

1.ω=2,φ=kπ+π/2（k∈Z）

2.a∈-∞,0∪0,+∞

3.a_4=4

六、分析题

1.-2a6，证明略

2.最小值为3，x∈-2,1

七、综合应用题

1.a=1,b=-3,c=-3,d=1，证明略

2.{a_n}是等差数列，a_10=10。