深入了解川师数学复试题库及答案

深入了解川师数学复试题库及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.设函数fx在区间I上连续，则在I上（）A.必有最大值和最小值B.必有最大值或最小值C.可能有最大值，但未必有最小值D.可能有最小值，但未必有最大值【答案】A【解析】根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最大值和最小值

2.若向量a=1,2,3，b=4,5,6，则向量a与b的向量积是（）A.3,-6,3B.-3,6,-3C.6,-3,3D.-6,3,-3【答案】B【解析】向量积计算公式a×b=aybz-azby,azbx-axbz,axby-aybx=-3,6,-

33.微分方程y-4y+4y=0的通解是（）A.y=C1e^2x+C2e^-2xB.y=C1+C2xe^2xC.y=C1e^-2x+C2e^2xD.y=C1e^2x+C2xe^2x【答案】B【解析】特征方程r^2-4r+4=0有重根r=2，通解形式为y=C1+C2xe^2x

4.级数∑_{n=1}^∞1/n^p收敛当且仅当（）A.p1B.p=1C.p1D.p≥1【答案】A【解析】p-级数判别法，当p1时收敛，p≤1时发散

5.在三维空间中，平面x+2y+z=1在z轴上的截距是（）A.1B.-1C.2D.-2【答案】B【解析】令x=y=0，得z=1，即平面在z轴上截距为

16.函数fx=|x|在x=0处不可导，但（）A.可微B.连续C.极值D.不连续【答案】B【解析】|x|在x=0处连续但不可导，属于尖点型不可导

7.设A为n阶可逆矩阵，则|A|等于（）A.|A^T|B.|A^-1|C.-|A|D.1/|A|【答案】A【解析】行列式性质|A^T|=|A|，|A^-1|=1/|A|

8.设事件A与B互斥，PA=

0.3，PB=

0.4，则PA∪B等于（）A.

0.7B.

0.1C.

0.8D.

0.2【答案】C【解析】互斥事件概率加法PA∪B=PA+PB=

0.

79.设随机变量X~Nμ,σ^2，则PXμ等于（）A.0B.

0.5C.1D.无法确定【答案】B【解析】正态分布对称性，PXμ=

0.

510.设A为4阶矩阵，秩rA=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有（）个线性无关解向量A.2B.1C.3D.4【答案】C【解析】n-rA=4-2=2，基础解系含2个解向量

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题正确的有（）A.零向量是任何向量的向量积B.向量积的结果是一个向量C.向量积的模等于两向量模的积乘以它们的夹角正弦D.向量积满足交换律E.向量积满足分配律【答案】A、B、C【解析】零向量是任何向量的向量积；向量积结果是向量；模等于两向量模积乘夹角正弦向量积不满足交换律和分配律

2.级数∑_{n=1}^∞a_n收敛的必要条件是（）A.a_n→0（n→∞）B.a_n单调递减C.∑_{n=1}^∞|a_n|收敛D.a_n^2→0（n→∞）E.∑_{n=1}^∞-1^na_n收敛【答案】A、D【解析】收敛级数必要条件是通项趋于0；a_n^2→0n→∞等价于a_n→0n→∞

3.下列函数在x=0处可导的有（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=x^3D.fx=sinxE.fx=ln1+x【答案】A、C、D、E【解析】|x|在x=0处不可导；其余函数在x=0处均可导

4.设A为n阶矩阵，则下列命题正确的有（）A.A可逆当且仅当|A|≠0B.A^T可逆当且仅当A可逆C.AA^T可逆当且仅当A可逆D.A^3可逆当且仅当A可逆E.A^-1可逆【答案】A、B、D【解析】|A|≠0是A可逆的充要条件；A^T可逆当且仅当A可逆；A^3可逆当且仅当A可逆

5.关于随机变量X的命题正确的有（）A.EX±Y=EX±EYB.EXY=EXEYC.VarX±Y=VarX±VarYD.VaraX+b=a^2VarXE.X与Y独立的充要条件是PX|Y=PX【答案】A、D、E【解析】EX±Y=EX±EY；VaraX+b=a^2VarX；X与Y独立的充要条件是PX|Y=PX

三、填空题（每题4分，共16分）

1.设fx=√x+1，则f0等于_________【答案】1/2【解析】fx=1/2√x+1，f0=1/

22.微分方程y+y=e^x的通解是_________【答案】y=e^-xC+e^x【解析】积分因子μx=e^∫1dx=e^x，通解y=1/μx∫e^x·e^-xdx+1/μx∫e^x·e^xdx=e^-xC+e^x

3.级数∑_{n=1}^∞1/2^n的值等于_________【答案】2【解析】等比级数求和S=1/1-1/2=

24.设A=10;02，则A的逆矩阵A^-1等于_________【答案】10;01/2【解析】对角矩阵逆矩阵主对角线元素取倒数A^-1=10;01/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）【答案】（√）【解析】根据有界性定理，连续函数在闭区间上有界

2.若向量a与b平行，则a×b=0（）【答案】（√）【解析】平行向量向量积为0向量

3.若fx在x=c处可导，则fx在x=c处必连续（）【答案】（√）【解析】可导必连续，但连续不一定可导

4.设A为n阶方阵，若rA=n-1，则Ax=0的基础解系含有n-1个解向量（）【答案】（√）【解析】n-rA=n-n-1=1，基础解系含1个解向量

5.若事件A与B互斥，则PA|B=0（）【答案】（√）【解析】互斥事件PA∩B=0，PA|B=PA∩B/PB=0

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述定积分的定义【答案】定积分∫[a,b]fxdx是函数fx在区间[a,b]上的黎曼和的极限，其中fx在[a,b]上有界【解析】根据定积分定义，∫[a,b]fxdx=lim_{n→∞}∑[k=1,n]fξ_kΔx_k，其中Δx_k是子区间长度，ξ_k是子区间任意点

2.简述矩阵可逆的充要条件【答案】n阶方阵A可逆的充要条件是|A|≠0（或rA=n）【解析】矩阵可逆当且仅当行列式不为0，或秩等于阶数

3.简述大数定律的意义【答案】大数定律表明，当n足够大时，n次独立重复试验中事件A发生的频率依概率收敛于其概率PA【解析】大数定律是概率论中基本定理，是统计推断的理论基础

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x+1在-∞,+∞上的单调性和极值【答案】fx=3x^2-3=3x+1x-1，令fx=0得驻点x=-1,1当x∈-∞,-1时，fx0，函数单调增；当x∈-1,1时，fx0，函数单调减；当x∈1,+∞时，fx0，函数单调增f-1=3，f1=-1，故极大值为3，极小值为-

12.分析随机变量X~N0,1的分布特性【答案】X~N0,1是标准正态分布，其概率密度函数为fx=1/√2πe^-x^2/2，均值为0，方差为1标准正态分布具有对称性，且通过查表可计算任何区间的概率

七、综合应用题（每题15分，共30分）

1.解微分方程y-2y+y=x^2e^x【答案】

（1）齐次方程y-2y+y=0的通解为y_h=C1+C2xe^x

（2）设特解y_p=Ax^3+Bx^2+Cx+De^x，代入原方程得Ax^3+Bx^2+Cx+De^x-2Ax^3+Bx^2+Cx+De^x+Ax^3+Bx^2+Cx+De^x=x^2e^x=6Ax^2+4Bx+Ce^x=x^2e^x=6Ax^2+4Bx+C=x^2=A=1/6,B=0,C=0特解y_p=x^3/6e^x

（3）通解y=y_h+y_p=C1+C2xe^x+x^3/6e^x

2.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，单位可变成本为20元/件，售价为50元/件求

（1）生产x件产品的总成本函数Cx；

（2）生产x件产品的总收入函数Rx；

（3）生产x件产品的利润函数Lx；

（4）若要盈利，至少要生产多少件产品？【答案】

（1）总成本函数Cx=固定成本+可变成本=10×10^4+20x=10^5+20x

（2）总收入函数Rx=售价×销售量=50x

（3）利润函数Lx=总收入-总成本=50x-10^5+20x=30x-10^5

（4）要盈利，需Lx0，即30x-10^50，解得x10^5/30=

3333.33，至少要生产3334件---标准答案页

一、单选题

1.B

2.B

3.B

4.A

5.B

6.B

7.A

8.C

9.B

10.C

二、多选题

1.A、B、C

2.A、D

3.A、C、D、E

4.A、B、D

5.A、D、E

三、填空题

1.1/

22.y=e^-xC+e^x

3.

24.10;01/2

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.定积分是函数fx在区间[a,b]上的黎曼和的极限，其中fx在[a,b]有界

2.矩阵可逆的充要条件是|A|≠0或rA=n

3.大数定律表明当n足够大时，事件A发生的频率依概率收敛于其概率PA

六、分析题

1.单调增区间-∞,-1和1,+∞，单调减区间-1,1，极大值3，极小值-

12.标准正态分布N0,1具有对称性，均值0，方差1，通过查表可计算任何区间的概率

七、综合应用题

1.通解y=C1+C2xe^x+x^3/6e^x

2.

（1）Cx=10^5+20x

（2）Rx=50x

（3）Lx=30x-10^5

（4）至少3334件。