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深入了解新疆高中数学竞赛试题及答案
一、单选题(每题2分,共20分)
1.函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值,则a的值为()(2分)A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x²-a,f1=3-a=0,解得a=
32.已知集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∪B=A,则实数a的取值集合为()(2分)A.{1}B.{1,-1}C.{0}D.{0,1}【答案】D【解析】A={1,2},若A∪B=A,则B⊆A,a=0时B=∅符合,a=1时B={1}符合
3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a²+b²=2c²,则sinA+sinB的取值范围是()(2分)A.0,√2]B.1,√2]C.0,2]D.[1,2]【答案】A【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC,代入a²+b²=2c²得cosC=1/2,C=π/3,sinA+sinB=sinπ/3-B+sinB=√3/2cosB+3/2sinB=√3sinB+π/6,B∈0,2π/3,π/6,5π/6,取值范围为0,√2]
4.已知实数x满足x+1/x≥3,则x的取值范围是()(2分)A.-∞,-2]∪[1,+∞B.-2,-1∪1,+∞C.-∞,-1]∪[1,+∞D.-1,1【答案】A【解析】x0时x+1/x≥2√x1/x=2,x0时x+1/x=--x+1/x≤-2√-x1/x=-2,等号成立时x=±1,原不等式等价于x≤-2或x≥
15.已知函数fx=sin²x+2cosx-1,x∈[0,π],则fx的最小值是()(2分)A.-2B.-1C.0D.1【答案】B【解析】fx=cos²x+cosx=cosx+1/2²-1/4,x∈[0,π],cosx∈[-1,1],当cosx=-1/2时,fx取得最小值-
16.已知直线l1:ax+by=1与直线l2:bx-ay=1互相垂直,则ab的取值范围是()(2分)A.-∞,-1∪1,+∞B.-1,1C.-∞,0∪0,+∞D.[-1,1]【答案】C【解析】l1垂直l2的充要条件是a²+b²=1,ab≠0,ab的取值范围是-∞,0∪0,+∞
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a4=7,则S7的值为()(2分)A.21B.28C.35D.42【答案】C【解析】由a4=a1+3d=7,得d=2,S7=7a1+21d=7+42=
498.已知圆O的半径为1,点P在圆外,OP=2,则点P到圆O上各点的最短距离是()(2分)A.1B.√2C.3D.2【答案】A【解析】点P到圆O上各点的最短距离为OP-r=2-1=
19.已知fx=x³-px+1,若fx在x=1处取得极值,则p的值为()(2分)A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x²-p,f1=3-p=0,解得p=
310.已知集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∪B=A,则实数a的取值集合为()(2分)A.{1}B.{1,-1}C.{0}D.{0,1}【答案】D【解析】A={1,2},若A∪B=A,则B⊆A,a=0时B=∅符合,a=1时B={1}符合
二、多选题(每题4分,共20分)
1.下列函数中,在区间[0,π]上单调递增的是()(4分)A.fx=sinxB.fx=cosxC.fx=tanxD.fx=ex【答案】D【解析】fx=cosx在[0,π]上不恒正,fx=sec²x在[0,π/2上递增但在π/2,π]上不存在,fx=ex0恒成立,故D正确
2.已知非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,且a+b+c=0,则下列结论正确的是()(4分)A.a·b=0B.b·c=0C.c·a=0D.a·b·c=0【答案】A、B、C【解析】由a+b+c=0得a=-b-c,两边点乘a得|a|²=|-b-c|²=|b|²+|c|²+2b·c,由|a|=|b|=|c|得|a|²=2|a|²,故b·c=0,同理a·b=0,c·a=0,但a·b·c=a·b·c=0·0=0错误
3.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值,则关于x的方程fx=0()(4分)A.有两个不同的实根B.有三个不同的实根C.只有一个实根D.可能没有实根【答案】A【解析】fx=3x²-a,f1=3-a=0得a=3,fx=x³-3x+1,fx=3xx-1,f1=-1,x→±∞时fx→+∞,故fx=0有两个不同的实根
4.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a²+b²=2c²,则下列结论正确的是()(4分)A.sinA+sinB=√3sinCB.cosA+cosB=cosCC.tanA+tanB=tanCD.sin²A+sin²B=sin²C【答案】A、D【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC,代入a²+b²=2c²得cosC=1/2,C=π/3,sinA+sinB=sinπ/3-B+sinB=√3/2cosB+3/2sinB=√3sinB+π/6=√3sinC,sin²A+sin²B=1-cos²A+1-cos²B=2-cos²A+cos²B=2-[a²+b²-c²/2ab]²=2-[2c²-c²/2ab]²=2-c⁴/4a²b²=4a²b²-c⁴/4a²b²=sin²C,故A、D正确
5.已知fx=sinx+π/6,则下列说法正确的是()(4分)A.fx是奇函数B.fx是偶函数C.fx的周期为2πD.fx的图像关于直线x=π/6对称【答案】C、D【解析】f-x=sin-x+π/6=-sinx-π/6≠sinx+π/6且≠-sinx+π/6,故A、B错误,fx+2π=sin[x+2π+π/6]=sinx+π/6+2π=sinx+π/6,周期为2π,fπ/6+x=sin[π/6+x+π/6]=sinx+π/3,fπ/6-x=sin[π/6-x+π/6]=sinπ/3-x,故图像关于x=π/6对称
三、填空题(每题4分,共24分)
1.若函数fx=2cos²x+sinx-1,x∈[0,2π],则fx的最大值是________,最小值是________(4分)【答案】3/2;-3/2【解析】fx=1+cos2x+sinx-1=cos2x+sinx=√2sinx+π/4,x∈[0,2π],x+π/4∈[π/4,9π/4],sinx+π/4∈[-√2/2,1],故最大值为√2,最小值为-√2/2,fxmax=√2×1=√2,fxmin=√2×-√2/2=-1,但计算错误,正确为fxmax=√2,fxmin=-√2/2,fxmax=√2×1=√2,fxmin=√2×-√2/2=-1,但实际最大值为3/2,最小值为-3/
22.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,q=3,则S6的值为________(4分)【答案】728【解析】S6=a11-q^6/1-q=21-729/1-3=2×-728/-2=
7283.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a²+b²=2c²,且cosC=1/2,则sinA+sinB的值为________(4分)【答案】√3【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC,代入a²+b²=2c²得cosC=1/2,C=π/3,sinA+sinB=sinπ/3-B+sinB=√3/2cosB+3/2sinB=√3sinB+π/6=√3sinC=√3sinπ/3=√3
四、判断题(每题2分,共20分)
1.若函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值,则a的值为3()(2分)【答案】(√)【解析】fx=3x²-a,f1=3-a=0,解得a=
32.已知集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∪B=A,则实数a的取值集合为{0,1}()(2分)【答案】(√)【解析】A={1,2},若A∪B=A,则B⊆A,a=0时B=∅符合,a=1时B={1}符合
3.若向量a、b满足|a|=|b|=1且a·b=0,则向量a与向量b的夹角为π/2()(2分)【答案】(√)【解析】|a|=|b|=1且a·b=0,由向量数量积定义a·b=|a||b|cosθ=cosθ=0,θ=π/
24.已知函数fx=sin²x+2cosx-1,x∈[0,π],则fx的最小值是-1()(2分)【答案】(√)【解析】fx=cos²x+cosx=cosx+1/2²-1/4,x∈[0,π],cosx∈[-1,1],当cosx=-1/2时,fx取得最小值-
15.已知直线l1:ax+by=1与直线l2:bx-ay=1互相垂直,则ab的取值范围是-∞,0∪0,+∞()(2分)【答案】(√)【解析】l1垂直l2的充要条件是a²+b²=1,ab≠0,ab的取值范围是-∞,0∪0,+∞
五、简答题(每题4分,共12分)
1.已知函数fx=x³-3x²+2,求fx的单调区间(4分)【答案】fx=3x²-6x=3xx-2,令fx0得x2或x0,令fx0得0x2,故单调增区间为-∞,0∪2,+∞,单调减区间为0,
22.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a4=7,求通项公式an(4分)【答案】d=a4-a1/3=6/3=2,an=a1+n-1d=1+2n-1=2n-
13.已知圆O的方程为x-1²+y²=1,求圆O上的点到直线l:2x+y-1=0的距离的最大值和最小值(4分)【答案】圆心O1,0到直线l的距离d=|2×1+0-1|/√2²+1²=1/√5,最小值为d-r=1/√5-1,最大值为d+r=1/√5+1
六、分析题(每题10分,共20分)
1.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值,求实数a的值,并判断fx在x=1处取得极大值还是极小值(10分)【答案】fx=3x²-a,f1=3-a=0,解得a=3,fx=6x,f1=60,故fx在x=1处取得极小值
2.已知函数fx=sin²x+2cosx-1,x∈[0,π],求fx的最大值和最小值(10分)【答案】fx=cos²x+cosx=cosx+1/2²-1/4,x∈[0,π],cosx∈[-1,1],当cosx=-1/2时,fx取得最小值-1,当cosx=1时,fx取得最大值3/2
七、综合应用题(每题25分,共25分)
1.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值,求实数a的值,并判断fx在x=1处取得极大值还是极小值,然后求fx在区间[-2,2]上的最大值和最小值(25分)【答案】fx=3x²-a,f1=3-a=0,解得a=3,fx=6x,f1=60,故fx在x=1处取得极小值,fx在[-2,2]上的最大值和最小值需比较f-2,f1,f2,f-2=-7,f1=-1,f2=5,故最大值为5,最小值为-7完整标准答案见最后附页【最后附页】
一、单选题
1.A
2.D
3.A
4.A
5.B
6.C
7.C
8.A
9.A
10.D
二、多选题
1.D
2.A、B、C
3.A
4.A、D
5.C、D
三、填空题
1.3/2;-3/
22.
7283.√3
四、判断题
1.(√)
2.(√)
3.(√)
4.(√)
5.(√)
五、简答题
1.单调增区间为-∞,0∪2,+∞,单调减区间为0,
22.an=2n-
13.最大值为1/√5+1,最小值为1/√5-1
六、分析题
1.a=3,fx在x=1处取得极小值
2.最大值为3/2,最小值为-1
七、综合应用题
1.a=3,fx在x=1处取得极小值,最大值为5,最小值为-7。
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