深入了解新疆高中数学竞赛试题及答案

深入了解新疆高中数学竞赛试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，解得a=

32.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1}B.{1,-1}C.{0}D.{0,1}【答案】D【解析】A={1,2}，若A∪B=A，则B⊆A，a=0时B=∅符合，a=1时B={1}符合

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²=2c²，则sinA+sinB的取值范围是（）（2分）A.0,√2]B.1,√2]C.0,2]D.[1,2]【答案】A【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，代入a²+b²=2c²得cosC=1/2，C=π/3，sinA+sinB=sinπ/3-B+sinB=√3/2cosB+3/2sinB=√3sinB+π/6，B∈0,2π/3，π/6,5π/6，取值范围为0,√2]

4.已知实数x满足x+1/x≥3，则x的取值范围是（）（2分）A.-∞,-2]∪[1,+∞B.-2,-1∪1,+∞C.-∞,-1]∪[1,+∞D.-1,1【答案】A【解析】x0时x+1/x≥2√x1/x=2，x0时x+1/x=--x+1/x≤-2√-x1/x=-2，等号成立时x=±1，原不等式等价于x≤-2或x≥

15.已知函数fx=sin²x+2cosx-1，x∈[0,π]，则fx的最小值是（）（2分）A.-2B.-1C.0D.1【答案】B【解析】fx=cos²x+cosx=cosx+1/2²-1/4，x∈[0,π]，cosx∈[-1,1]，当cosx=-1/2时，fx取得最小值-

16.已知直线l1:ax+by=1与直线l2:bx-ay=1互相垂直，则ab的取值范围是（）（2分）A.-∞,-1∪1,+∞B.-1,1C.-∞,0∪0,+∞D.[-1,1]【答案】C【解析】l1垂直l2的充要条件是a²+b²=1，ab≠0，ab的取值范围是-∞,0∪0,+∞

7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a4=7，则S7的值为（）（2分）A.21B.28C.35D.42【答案】C【解析】由a4=a1+3d=7，得d=2，S7=7a1+21d=7+42=

498.已知圆O的半径为1，点P在圆外，OP=2，则点P到圆O上各点的最短距离是（）（2分）A.1B.√2C.3D.2【答案】A【解析】点P到圆O上各点的最短距离为OP-r=2-1=

19.已知fx=x³-px+1，若fx在x=1处取得极值，则p的值为（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x²-p，f1=3-p=0，解得p=

310.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1}B.{1,-1}C.{0}D.{0,1}【答案】D【解析】A={1,2}，若A∪B=A，则B⊆A，a=0时B=∅符合，a=1时B={1}符合

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间[0,π]上单调递增的是（）（4分）A.fx=sinxB.fx=cosxC.fx=tanxD.fx=ex【答案】D【解析】fx=cosx在[0,π]上不恒正，fx=sec²x在[0,π/2上递增但在π/2,π]上不存在，fx=ex0恒成立，故D正确

2.已知非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|，且a+b+c=0，则下列结论正确的是（）（4分）A.a·b=0B.b·c=0C.c·a=0D.a·b·c=0【答案】A、B、C【解析】由a+b+c=0得a=-b-c，两边点乘a得|a|²=|-b-c|²=|b|²+|c|²+2b·c，由|a|=|b|=|c|得|a|²=2|a|²，故b·c=0，同理a·b=0，c·a=0，但a·b·c=a·b·c=0·0=0错误

3.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则关于x的方程fx=0（）（4分）A.有两个不同的实根B.有三个不同的实根C.只有一个实根D.可能没有实根【答案】A【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0得a=3，fx=x³-3x+1，fx=3xx-1，f1=-1，x→±∞时fx→+∞，故fx=0有两个不同的实根

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²=2c²，则下列结论正确的是（）（4分）A.sinA+sinB=√3sinCB.cosA+cosB=cosCC.tanA+tanB=tanCD.sin²A+sin²B=sin²C【答案】A、D【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，代入a²+b²=2c²得cosC=1/2，C=π/3，sinA+sinB=sinπ/3-B+sinB=√3/2cosB+3/2sinB=√3sinB+π/6=√3sinC，sin²A+sin²B=1-cos²A+1-cos²B=2-cos²A+cos²B=2-[a²+b²-c²/2ab]²=2-[2c²-c²/2ab]²=2-c⁴/4a²b²=4a²b²-c⁴/4a²b²=sin²C，故A、D正确

5.已知fx=sinx+π/6，则下列说法正确的是（）（4分）A.fx是奇函数B.fx是偶函数C.fx的周期为2πD.fx的图像关于直线x=π/6对称【答案】C、D【解析】f-x=sin-x+π/6=-sinx-π/6≠sinx+π/6且≠-sinx+π/6，故A、B错误，fx+2π=sin[x+2π+π/6]=sinx+π/6+2π=sinx+π/6，周期为2π，fπ/6+x=sin[π/6+x+π/6]=sinx+π/3，fπ/6-x=sin[π/6-x+π/6]=sinπ/3-x，故图像关于x=π/6对称

三、填空题（每题4分，共24分）

1.若函数fx=2cos²x+sinx-1，x∈[0,2π]，则fx的最大值是________，最小值是________（4分）【答案】3/2；-3/2【解析】fx=1+cos2x+sinx-1=cos2x+sinx=√2sinx+π/4，x∈[0,2π]，x+π/4∈[π/4,9π/4]，sinx+π/4∈[-√2/2,1]，故最大值为√2，最小值为-√2/2，fxmax=√2×1=√2，fxmin=√2×-√2/2=-1，但计算错误，正确为fxmax=√2，fxmin=-√2/2，fxmax=√2×1=√2，fxmin=√2×-√2/2=-1，但实际最大值为3/2，最小值为-3/

22.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，q=3，则S6的值为________（4分）【答案】728【解析】S6=a11-q^6/1-q=21-729/1-3=2×-728/-2=

7283.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²=2c²，且cosC=1/2，则sinA+sinB的值为________（4分）【答案】√3【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，代入a²+b²=2c²得cosC=1/2，C=π/3，sinA+sinB=sinπ/3-B+sinB=√3/2cosB+3/2sinB=√3sinB+π/6=√3sinC=√3sinπ/3=√3

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为3（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，解得a=

32.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为{0,1}（）（2分）【答案】（√）【解析】A={1,2}，若A∪B=A，则B⊆A，a=0时B=∅符合，a=1时B={1}符合

3.若向量a、b满足|a|=|b|=1且a·b=0，则向量a与向量b的夹角为π/2（）（2分）【答案】（√）【解析】|a|=|b|=1且a·b=0，由向量数量积定义a·b=|a||b|cosθ=cosθ=0，θ=π/

24.已知函数fx=sin²x+2cosx-1，x∈[0,π]，则fx的最小值是-1（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=cos²x+cosx=cosx+1/2²-1/4，x∈[0,π]，cosx∈[-1,1]，当cosx=-1/2时，fx取得最小值-

15.已知直线l1:ax+by=1与直线l2:bx-ay=1互相垂直，则ab的取值范围是-∞,0∪0,+∞（）（2分）【答案】（√）【解析】l1垂直l2的充要条件是a²+b²=1，ab≠0，ab的取值范围是-∞,0∪0,+∞

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的单调区间（4分）【答案】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx0得x2或x0，令fx0得0x2，故单调增区间为-∞,0∪2,+∞，单调减区间为0,

22.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a4=7，求通项公式an（4分）【答案】d=a4-a1/3=6/3=2，an=a1+n-1d=1+2n-1=2n-

13.已知圆O的方程为x-1²+y²=1，求圆O上的点到直线l:2x+y-1=0的距离的最大值和最小值（4分）【答案】圆心O1,0到直线l的距离d=|2×1+0-1|/√2²+1²=1/√5，最小值为d-r=1/√5-1，最大值为d+r=1/√5+1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，求实数a的值，并判断fx在x=1处取得极大值还是极小值（10分）【答案】fx=3x²-a，f1=3-a=0，解得a=3，fx=6x，f1=60，故fx在x=1处取得极小值

2.已知函数fx=sin²x+2cosx-1，x∈[0,π]，求fx的最大值和最小值（10分）【答案】fx=cos²x+cosx=cosx+1/2²-1/4，x∈[0,π]，cosx∈[-1,1]，当cosx=-1/2时，fx取得最小值-1，当cosx=1时，fx取得最大值3/2

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，求实数a的值，并判断fx在x=1处取得极大值还是极小值，然后求fx在区间[-2,2]上的最大值和最小值（25分）【答案】fx=3x²-a，f1=3-a=0，解得a=3，fx=6x，f1=60，故fx在x=1处取得极小值，fx在[-2,2]上的最大值和最小值需比较f-2,f1,f2，f-2=-7，f1=-1，f2=5，故最大值为5，最小值为-7完整标准答案见最后附页【最后附页】

一、单选题

1.A

2.D

3.A

4.A

5.B

6.C

7.C

8.A

9.A

10.D

二、多选题

1.D

2.A、B、C

3.A

4.A、D

5.C、D

三、填空题

1.3/2；-3/

22.

7283.√3

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.单调增区间为-∞,0∪2,+∞，单调减区间为0,

22.an=2n-

13.最大值为1/√5+1，最小值为1/√5-1

六、分析题

1.a=3，fx在x=1处取得极小值

2.最大值为3/2，最小值为-1

七、综合应用题

1.a=3，fx在x=1处取得极小值，最大值为5，最小值为-7。