深度探究高中预录考试题型及对应答案

深度探究高中预录考试题型及对应答案

一、单选题

1.在复数范围内，方程x^2+1=0的解是（）（2分）A.-1B.1C.iD.-i【答案】C、D【解析】在复数范围内，x^2=-1的解为i和-i

2.函数fx=sin2x+cos2x的最小正周期是（）（1分）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】A【解析】函数fx=sin2x+cos2x可以化简为√2sin2x+π/4，其最小正周期为π

3.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n+1=2a_n，则a_4的值为（）（2分）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】数列{a_n}是等比数列，公比为2，所以a_4=2^3=

84.直线y=2x+1与直线y=-x+3的交点坐标是（）（2分）A.1,3B.2,5C.1,2D.2,1【答案】A【解析】联立方程组解得x=1，y=

35.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则公差d为（）（2分）A.3B.5C.7D.9【答案】A【解析】由等差数列性质，a_10-a_5=5d，解得d=

36.函数fx=log_2x+1的图像不经过（）（2分）A.0,0B.1,1C.2,2D.3,3【答案】D【解析】当x=3时，f3=log_24=2，所以图像经过3,

27.若向量a=1,2，b=3,4，则向量a与向量b的夹角余弦值是（）（2分）A.1/5B.3/5C.4/5D.2/5【答案】B【解析】cosθ=a·b/|a||b|=1×3+2×4/√5×√25=11/5√5=3/

58.抛物线y^2=8x的焦点坐标是（）（2分）A.2,0B.4,0C.0,2D.0,4【答案】A【解析】抛物线y^2=2px的焦点为p/2,0，所以焦点坐标为4,

09.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的值为（）（2分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】B【解析】由正弦定理，b=asinB/sinA=√3√2/√3=√

210.若fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，则f-1的值为（）（1分）A.1B.-2C.2D.0【答案】B【解析】奇函数满足f-x=-fx，所以f-1=-f1=-2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若A⊆B，B⊆C，则A⊆CD.若x^2=1，则x=1E.对任意实数x，x^2≥0【答案】A、C、E【解析】选项B不正确，例如a=1，b=-2时；选项D不正确，x也可以等于-

12.下列函数中，在其定义域内是增函数的有（）（4分）A.y=x^2B.y=2^xC.y=1/xD.y=lgxE.y=√x【答案】B、E【解析】y=x^2在x≥0时增，y=1/x是减函数，y=lgx是减函数

3.若直线l与平面α平行，则下列说法正确的有（）（4分）A.直线l上任意一点到平面α的距离相等B.直线l与平面α内的所有直线都不相交C.直线l与平面α内的无数条直线平行D.直线l与平面α内的无数条直线垂直E.直线l与平面α内的所有直线都平行【答案】A、C【解析】直线与平面平行时，直线上的点到平面的距离相等，且直线与平面内无数条直线平行

4.在等比数列{a_n}中，若a_3=8，a_5=32，则下列结论正确的有（）（4分）A.a_4=16B.S_6=63C.a_6=128D.S_5=40E.a_2=4【答案】A、C、E【解析】公比q=a_5/a_3=32/8=4，所以a_4=a_3q=84=32，a_6=a_5q=324=128，a_2=a_3/q^3=8/64=1/

85.若函数fx=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（4分）A.3B.2C.1D.0E.-1【答案】A、B【解析】fx=3x^2-a，令f1=0得a=3，所以a=3或a=2

三、填空题

1.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=2√2，则△ABC的面积S为______（4分）【答案】2+√3【解析】由正弦定理，b=asinB/sinA=2√2sin45°/sin60°=4/√3，c=asinC/sinA=2√2sin75°/sin60°=4√6+√2/3，S=1/2bcsinA=2+√

32.若复数z满足z^2+z+1=0，则|z|的值为______（2分）【答案】1【解析】z是单位圆上的复数，所以|z|=

13.函数fx=sin2x-cos2x的最大值是______（2分）【答案】√2【解析】fx=√2sin2x-π/4，最大值为√

24.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=18，a_2+a_4=16，则a_3的值为______（4分）【答案】10【解析】由等差数列性质，a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，所以a_3=

105.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相切，则k的值为______（4分）【答案】±√3【解析】圆心到直线的距离等于半径，|k0-0+1|/√k^2+1=2，解得k=±√3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2时，1^

242.函数y=cosx是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】cos-x=cosx，满足偶函数定义

3.若向量a=1,2，b=3,4，则向量a与向量b共线（）（2分）【答案】（√）【解析】向量a与向量b的坐标成比例，1/3=2/

44.抛物线y^2=4x的焦点坐标是1,0（）（2分）【答案】（×）【解析】焦点坐标为p/2,0，这里p=4，所以焦点为2,

05.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx在该区间上存在最大值（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增函数在开区间a,b上不存在最大值

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值为0，最小值为-2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2，所以最大值为0，最小值为-

22.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，求该数列的通项公式（5分）【答案】a_n=2n【解析】由等差数列性质，a_5=a_1+4d，解得d=2，所以a_n=a_1+n-1d=2+2n-1=2n

3.求过点1,2且与直线y=3x-1平行的直线方程（5分）【答案】y=3x-1【解析】平行直线斜率相同，所以直线方程为y=3x+b，代入点1,2得b=-1，所以直线方程为y=3x-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的极值点，并判断极值类型（10分）【答案】极值点为x=0（极大值），x=2（极小值）【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx=6x-6，f0=-6（极小值），f2=6（极大值），所以x=0为极小值，x=2为极大值

2.已知等比数列{a_n}中，a_1=1，a_4=16，求该数列的前n项和公式（10分）【答案】S_n=2^n-1【解析】由等比数列性质，a_4=a_1q^3，解得q=2，所以S_n=a_11-q^n/1-q=2^n-1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知△ABC中，角A=60°，角B=45°，边a=2√2，求△ABC的面积（25分）【答案】S=2+√3【解析】由正弦定理，b=asinB/sinA=2√2sin45°/sin60°=4/√3，c=asinC/sinA=2√2sin75°/sin60°=4√6+√2/3，S=1/2bcsinA=2+√

32.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的单调区间（25分）【答案】单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，当x0或x2时，fx0，函数单调递增；当0x2时，fx0，函数单调递减。