灌云中学数学竞赛历年试题及答案

灌云中学数学竞赛历年试题及答案整理

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∩B等于（）（2分）A.{1,2}B.{3,4}C.{5,6}D.{1,2,3,4}【答案】B【解析】集合A和集合B的交集是它们共有的元素，即{3,4}

2.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】函数fx=|x-1|在x=0时取得值1，在x=2时取得值1，在x=1时取得值0，所以在区间[0,2]上的最大值是

23.若直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（）（2分）A.5B.7C.25D.12【答案】A【解析】根据勾股定理，斜边长等于两条直角边长的平方和的平方根，即√3^2+4^2=√9+16=√25=

54.方程x^2-5x+6=0的解是（）（2分）A.x=1B.x=2C.x=1,x=6D.x=2,x=3【答案】D【解析】通过因式分解，方程可以写成x-2x-3=0，所以解是x=2和x=

35.在直角坐标系中，点-3,4位于（）（2分）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】点-3,4的x坐标为负，y坐标为正，所以位于第二象限

6.若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积为（）（2分）A.15πcm^2B.30πcm^2C.45πcm^2D.60πcm^2【答案】A【解析】圆锥的侧面积公式是πrl，其中r是底面半径，l是母线长，所以侧面积为π35=15πcm^

27.已知等差数列的首项为2，公差为3，则它的第5项是（）（2分）A.10B.13C.16D.19【答案】C【解析】等差数列的第n项公式是a_n=a_1+n-1d，所以第5项是2+5-13=

168.函数y=2x+1与y=-x+3的交点坐标是（）（2分）A.1,3B.2,5C.3,7D.4,9【答案】A【解析】解方程组2x+1=-x+3，得x=1，代入任一方程得y=3，所以交点坐标是1,

39.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C等于（）（2分）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，所以∠C=180°-60°-45°=75°

10.若函数fx是奇函数，且f1=3，则f-1等于（）（2分）A.-3B.3C.0D.1【答案】A【解析】奇函数的性质是f-x=-fx，所以f-1=-f1=-3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是正确的三角函数关系式？（）（4分）A.sin^2θ+cos^2θ=1B.tanθ=cosθ/sinθC.sinθ+φ=sinθcosφ+cosθsinφD.cotθ=1/tanθ【答案】A、C、D【解析】sin^2θ+cos^2θ=1是基本的三角恒等式，tanθ=cosθ/sinθ是正切的定义，sinθ+φ=sinθcosφ+cosθsinφ是和角公式，cotθ=1/tanθ是余切的定义B选项错误，因为tanθ=sinθ/cosθ

2.以下哪些图形是中心对称图形？（）（4分）A.等腰梯形B.矩形C.正方形D.圆【答案】B、C、D【解析】等腰梯形不是中心对称图形，矩形、正方形和圆都是中心对称图形

3.以下哪些函数在其定义域内是单调递增的？（）（4分）A.y=x^2B.y=2x+1C.y=1/xD.y=sinx【答案】B【解析】y=2x+1是一次函数，斜率为正，所以单调递增y=x^2是抛物线，不是单调函数；y=1/x是双曲线，不是单调函数；y=sinx是周期函数，不是单调函数

4.以下哪些是等比数列的性质？（）（4分）A.任意两项的比值相等B.任意两项的差相等C.首项不为零D.公比不为零【答案】A、C、D【解析】等比数列的性质是任意两项的比值相等，首项不为零，公比不为零任意两项的差相等是等差数列的性质

5.以下哪些条件下，直线y=kx+b与直线Ax+By+C=0平行？（）（4分）A.k=AB.k=BC.k=-A/BD.k=-B/A【答案】C、D【解析】两条直线平行的条件是它们的斜率相等，即k=-B/A或k=-A/B

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若fx=x^2-2x+3，则f2=______（4分）【答案】3【解析】f2=2^2-22+3=4-4+3=

32.在直角三角形中，若两条直角边的长分别是5cm和12cm，则斜边的长是______cm（4分）【答案】13【解析】根据勾股定理，斜边长等于两条直角边长的平方和的平方根，即√5^2+12^2=√25+144=√169=13cm

3.若等差数列的首项为-3，公差为5，则它的第10项是______（4分）【答案】42【解析】等差数列的第n项公式是a_n=a_1+n-1d，所以第10项是-3+10-15=-3+45=

424.函数y=√x-1的定义域是______（4分）【答案】[1,+∞【解析】函数y=√x-1中的x-1必须大于等于0，所以x必须大于等于1，即定义域是[1,+∞

5.若直线y=2x+1与直线y=kx-3垂直，则k=______（4分）【答案】-1/2【解析】两条直线垂直的条件是它们的斜率之积为-1，即2k=-1，解得k=-1/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例取a=1，b=-2，则ab，但a^2=1，b^2=4，所以a^2b^2不成立

2.所有等腰三角形都是相似三角形（）（2分）【答案】（×）【解析】等腰三角形的两个底角相等，但相似三角形的对应角相等，对应边成比例，所以不是所有等腰三角形都是相似三角形

3.若一个角是钝角，则它的补角是锐角（）（2分）【答案】（√）【解析】钝角的度数大于90°小于180°，所以它的补角小于90°，是锐角

4.函数y=|x|是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】函数y=|x|关于y轴对称，所以是偶函数，不是奇函数

5.若两条直线平行，则它们的斜率相等（）（2分）【答案】（×）【解析】两条平行直线的斜率相等，但如果是垂直的平行直线（如y=x和y=-x），则斜率互为相反数的倒数，所以不一定相等

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述等差数列的定义及其通项公式（5分）【答案】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差等差数列的通项公式是a_n=a_1+n-1d，其中a_1是首项，d是公差

2.简述三角函数sinθ、cosθ和tanθ的定义（5分）【答案】在直角三角形中，sinθ是对边与斜边的比值，cosθ是邻边与斜边的比值，tanθ是对边与邻边的比值具体定义是在单位圆上的对应线段比值

3.简述函数y=2x+1的图像特征（5分）【答案】函数y=2x+1是一次函数，图像是一条直线斜率为2，表示直线向上倾斜，y轴截距为1，表示直线与y轴交于点0,1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数y=x^2-4x+3的图像特征，并求其顶点坐标和对称轴（10分）【答案】函数y=x^2-4x+3可以写成y=x-2^2-1，所以顶点坐标是2,-1，对称轴是x=2图像是开口向上的抛物线

2.分析直线y=2x+1与直线y=-x/2+3的交点问题，并说明两条直线的位置关系（10分）【答案】解方程组2x+1=-x/2+3，得x=2/5，代入任一方程得y=27/5，所以交点坐标是2/5,27/5两条直线的斜率分别是2和-1/2，斜率之积为-1，所以两条直线垂直

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元求该工厂生产x件产品的利润函数，并求该工厂生产多少件产品时能够盈利（25分）【答案】利润函数Lx=80x-50x-10000=30x-10000当Lx0时，30x-100000，解得x

333.33，所以该工厂生产334件产品时能够盈利

2.某学校组织学生进行植树活动，计划在一条直线道路上植树，每隔10米植一棵树已知起点和终点各植一棵树，如果道路全长300米，求一共需要植树多少棵？（25分）【答案】道路全长300米，每隔10米植一棵树，所以树的数量是300/10+1=31棵---标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.A

4.D

5.B

6.A

7.C

8.A

9.A

10.A

二、多选题

1.A、C、D

2.B、C、D

3.B

4.A、C、D

5.C、D

三、填空题

1.

32.

133.

424.[1,+∞

5.-1/2

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。