甘肃省高中数学竞赛试题及答案解析

甘肃省高中数学竞赛精选试题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.-3B.3C.1D.0【答案】B【解析】函数fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为

32.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x=ax+1},若B⊆A,则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{-1,-2}C.{1}D.{1,-1,-2}【答案】A【解析】解得x^2-3x+2=0的解为x=1或x=2，即A={1,2}由B⊆A,当B=∅时，a=1；当B={1}时，a=0；当B={2}时，a=1/2综上a=1,1/2,0，但0∉B，故a=1或a=1/2，即a=1或a=

23.已知实数x满足x+1/x≥3,则x的取值范围是（）（2分）A.-∞,-2]∪[1,+∞B.-2,1C.-∞,-1]∪[1,+∞D.-1,1【答案】A【解析】由x+1/x≥3，得x-1^2≥0，即x^2-2x+1≥0，解得x≤0或x≥

24.已知等差数列{a_n}中，a_1+a_4+a_7=39,a_2+a_5+a_8=42,则该数列的前11项和为（）（2分）A.264B.275C.286D.297【答案】B【解析】由a_1+a_4+a_7=39,a_2+a_5+a_8=42，得3a_4=39,3a_5=42，解得a_4=13,a_5=14，故d=1，a_1=10，S_11=11×10+55×1=

2755.已知函数fx=sinωx+φω0,|φ|π/2的图像关于直线x=π/4对称，且最小正周期为π,则φ的值为（）（2分）A.π/4B.π/8C.3π/8D.5π/8【答案】C【解析】由T=π，得ω=2，fx=sin2x+φ，由图像关于x=π/4对称，得2×π/4+φ=kπ+π/2，解得φ=3π/

86.已知圆O的半径为1，点P在圆外，OP=2，则过点P的圆O的切线长为（）（2分）A.√3B.√5C.√7D.2【答案】B【解析】切线长为√OP^2-r^2=√4-1=√

37.已知fx=x^3-ax^2+bx-1在x=1和x=-1处取得极值，则a+b的值为（）（2分）A.-1B.1C.2D.-2【答案】D【解析】fx=3x^2-2ax+b，由f1=f-1=0，得3-2a+b=0,3+2a+b=0，解得a=0,b=-3，故a+b=-

38.已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为√2,则其渐近线的斜率为（）（2分）A.1B.-1C.√2D.-√2【答案】A【解析】e=c/a=√1+b^2/a^2=√2，故b/a=1，渐近线方程为y=±b/ax=±x

9.已知三棱锥D-ABC的体积为V,AB=AC=BD=DC=1,则AD的长度为（）（2分）A.√2/2B.√3/2C.1D.√2【答案】B【解析】由AB=AC=BD=DC=1，可知△ABC为等腰直角三角形，△BCD为等边三角形，底面面积为√2/2，高为√6/3，V=1/3×√2/2×√6/3×AD=V，解得AD=√3/

210.已知fx是定义在R上的奇函数，且fx+2=fx,当x∈[0,1]时，fx=x^2,则f2019的值为（）（2分）A.0B.1C.2019^2D.2019^2+1【答案】A【解析】由fx+2=fx，得fx是周期为2的函数，f2019=f1=1^2=1，又fx是奇函数，故f2019=-f-2019=-f1=-1，矛盾，故f2019=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若ab,则a^2b^2B.若ab,则√a√bC.若a^2b^2,则abD.若ab0,则1/a1/b【答案】B、D【解析】A不正确，如a=2,b=-3；B正确；C不正确，如a=-2,b=-3；D正确

2.下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的有（）（4分）A.y=3^xB.y=x^2C.y=lnxD.y=1/x【答案】A、B、C【解析】y=3^x,y=x^2,y=lnx在0,+∞上单调递增，y=1/x在0,+∞上单调递减

3.下列不等式中，成立的有（）（4分）A.a+b/2≥√abB.a^2+b^2≥2abC.a^3+b^3≥a^2b+ab^2D.a+b+c≥3√abc【答案】A、B、D【解析】A为算术平均数不小于几何平均数；B为平方差公式；C不正确，如a=1,b=0；D为均值不等式

4.下列图形中，是正方体的展开图的有（）（4分）A.□□□□□B.□□□□□□C.□□□□□□D.□□□□□【答案】B、C【解析】B、C可以折叠成正方体，A、D不能

5.下列说法中，正确的有（）（4分）A.函数y=sinx的图像关于原点对称B.函数y=cosx的图像关于y轴对称C.函数y=tanx的图像是周期函数D.函数y=1/x的图像是中心对称图形【答案】A、B、C、D【解析】A、B、C、D均正确

三、填空题（每题4分，共32分）

1.不等式|2x-1|3的解集为______（4分）【答案】-1,

22.已知fx=ax^2+bx+1在x=1和x=-1处取得相同的函数值，则b=______（4分）【答案】

03.已知等差数列{a_n}中，a_5=10,a_10=25,则a_15=______（4分）【答案】

404.已知圆O的半径为1，圆心O到直线l的距离为√2/2，则直线l与圆O的交点个数为______（4分）【答案】

25.已知fx=sinωx+φω0,|φ|π/2的图像关于直线x=π/4对称，且最小正周期为π,则ω=______（4分）【答案】

26.已知fx是定义在R上的奇函数，且fx+2=fx,当x∈[0,1]时，fx=x^2,则fπ的值为______（4分）【答案】

07.已知三棱锥D-ABC的体积为V,AB=AC=BD=DC=1,则AD的长度为______（4分）【答案】√3/

28.已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为√2,则其渐近线的方程为______（4分）【答案】y=±x

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若ab,则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=2,b=-3，则a^2=4,b^2=9，故a^2b^

22.若ab,则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=4,b=-1，则√a=2,√b无意义

3.若a^2b^2,则ab（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-2,b=-3，则a^2=4,b^2=9，但ab

4.若ab0,则1/a1/b（）（2分）【答案】（√）【解析】由ab0，两边取倒数，得1/a1/b

5.函数y=1/x是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=1/-x=-1/x=-fx

6.函数y=sinx是周期函数（）（2分）【答案】（√）【解析】T=2π是周期

7.函数y=cosx是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=cos-x=cosx=fx

8.函数y=tanx的图像是中心对称图形（）（2分）【答案】（√）【解析】fx+π=tanx+π=tanx，图像关于点π/2+kπ,0对称

9.三棱锥的三条侧棱可以共线（）（2分）【答案】（×）【解析】三棱锥的三条侧棱相交于顶点

10.正方体有6个面，8个顶点，12条棱（）（2分）【答案】（√）

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值（5分）【答案】最小值为3，当x=-2≤x≤1时取得

2.已知fx=x^3-ax^2+bx-1在x=1和x=-1处取得极值，求a,b的值（5分）【答案】fx=3x^2-2ax+b，由f1=f-1=0，得a=0,b=-

33.已知圆O的半径为1，圆心O到直线l的距离为√2/2，求直线l与圆O的交点个数的可能值（5分）【答案】可能值为0或2

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知等差数列{a_n}中，a_1+a_4+a_7=39,a_2+a_5+a_8=42，求该数列的前11项和（12分）【答案】由a_1+a_4+a_7=39,a_2+a_5+a_8=42，得3a_4=39,3a_5=42，解得a_4=13,a_5=14，故d=1，a_1=10，S_11=11×10+55×1=

2752.已知函数fx=sinωx+φω0,|φ|π/2的图像关于直线x=π/4对称，且最小正周期为π,求ω,φ的值（12分）【答案】由T=π，得ω=2，fx=sin2x+φ，由图像关于x=π/4对称，得2×π/4+φ=kπ+π/2，解得φ=3π/8

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知三棱锥D-ABC的体积为V,AB=AC=BD=DC=1,求AD的长度（25分）【答案】由AB=AC=BD=DC=1，可知△ABC为等腰直角三角形，△BCD为等边三角形，底面面积为√2/2，高为√6/3，V=1/3×√2/2×√6/3×AD=V，解得AD=√3/

22.已知fx是定义在R上的奇函数，且fx+2=fx,当x∈[0,1]时，fx=x^2,求2019!的展开式中x^2019的系数（25分）【答案】由fx+2=fx，得fx是周期为2的函数，f2019=f1=1^2=1，又fx是奇函数，故f2019=-f-2019=-f1=-1，矛盾，故f2019=0。