矩阵论阶段考试题及对应答案

矩阵论阶段考试题及对应答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个矩阵是可逆矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}\【答案】B【解析】矩阵可逆的条件是行列式不为零A的行列式为0，不可逆；B的行列式为-2，可逆；C的行列式为-1，可逆；D的行列式为0，不可逆

2.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的转置矩阵是（）A.\\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}23\\14\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}43\\21\end{pmatrix}\【答案】A【解析】转置矩阵是将原矩阵的行和列互换

3.下列哪个矩阵是正交矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}10\\0-1\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\【答案】C【解析】正交矩阵的列（行）向量是单位向量且两两正交

4.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的逆矩阵是（）A.\\begin{pmatrix}-21\\1-

0.5\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}1-2\\-34\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}-42\\3-1\end{pmatrix}\【答案】A【解析】逆矩阵计算公式为\\frac{1}{\text{det}A}\cdot\text{adj}A\，其中\\text{det}A=-2\

5.下列哪个矩阵是奇异矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\【答案】B【解析】奇异矩阵的行列式为

06.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的迹是（）A.1B.2C.3D.5【答案】D【解析】迹是矩阵主对角线元素之和

7.下列哪个矩阵是上三角矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}100\\023\\003\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\00\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}23\\14\end{pmatrix}\【答案】B【解析】上三角矩阵的下方元素全为

08.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\乘以\\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}\的结果是（）A.\\begin{pmatrix}1922\\4350\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}1518\\2124\end{pmatrix}\【答案】A【解析】矩阵乘法按规则计算

9.下列哪个矩阵是单位矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}20\\02\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\【答案】A【解析】单位矩阵对角线元素为1，其余为

010.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的秩是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】秩是矩阵非零子式的最高阶数

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是矩阵运算的性质？（）A.交换律\AB=BA\B.结合律\ABC=ABC\C.分配律\AB+C=AB+AC\D.单位元\A\cdotI=A\E.零元\A\cdot0=0\【答案】B、C、D【解析】矩阵乘法不满足交换律，其他性质成立

2.以下哪些矩阵是可逆矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\【答案】A、C、D【解析】B的行列式为0，不可逆

3.以下哪些是正交矩阵的性质？（）A.列向量是单位向量B.列向量两两正交C.逆矩阵等于转置矩阵D.行向量是单位向量E.行向量两两正交【答案】A、B、C、D、E【解析】正交矩阵的所有这些性质都成立

4.以下哪些是上三角矩阵的性质？（）A.下方元素全为0B.主对角线元素非零C.乘法保持上三角性质D.转置为下三角矩阵E.秩等于非零行数【答案】A、C、D、E【解析】B不一定是非零，其他性质成立

5.以下哪些是奇异矩阵的性质？（）A.行列式为0B.不可逆C.秩小于矩阵阶数D.存在非零解E.转置也是奇异矩阵【答案】A、B、C、E【解析】D不一定成立，其他性质成立

三、填空题（每题4分，共20分）

1.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的行列式是______【答案】-2【解析】行列式计算公式为\ad-bc\

2.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的转置矩阵是______【答案】\\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\【解析】转置矩阵是将原矩阵的行和列互换

3.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的逆矩阵是______【答案】\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\【解析】逆矩阵计算公式为\\frac{1}{\text{det}A}\cdot\text{adj}A\

4.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\乘以\\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}\的结果是______【答案】\\begin{pmatrix}1922\\4350\end{pmatrix}\【解析】矩阵乘法按规则计算

5.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的秩是______【答案】2【解析】秩是矩阵非零子式的最高阶数

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个可逆矩阵相乘仍然是可逆矩阵（）【答案】（√）【解析】可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵

2.任何矩阵都有逆矩阵（）【答案】（×）【解析】奇异矩阵没有逆矩阵

3.正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵（）【答案】（√）【解析】正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵

4.上三角矩阵的转置是下三角矩阵（）【答案】（√）【解析】上三角矩阵的转置是下三角矩阵

5.奇异矩阵的行列式为0（）【答案】（√）【解析】奇异矩阵的行列式为0

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述矩阵乘法的性质【答案】矩阵乘法满足结合律、分配律和单位元性质，但不满足交换律和消去律具体来说，结合律是指\ABC=ABC\，分配律是指\AB+C=AB+AC\，单位元是指\A\cdotI=A\但矩阵乘法不满足交换律，即\AB\neqBA\

2.解释什么是正交矩阵，并举例说明【答案】正交矩阵是指其列向量是单位向量且两两正交的矩阵正交矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵例如，\\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\是一个正交矩阵

3.简述矩阵的秩的定义【答案】矩阵的秩是指矩阵非零子式的最高阶数换句话说，秩是矩阵的最大线性无关列向量或行向量的数量

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\是否可逆，若可逆求其逆矩阵【答案】矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的行列式为\\text{det}A=1\cdot4-2\cdot3=-2\，行列式不为0，所以矩阵可逆逆矩阵计算公式为\\frac{1}{\text{det}A}\cdot\text{adj}A\，其中\\text{adj}A=\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\，所以逆矩阵为\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\

2.分析矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的秩【答案】矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的行列式为\\text{det}A=1\cdot4-2\cdot3=-2\，行列式不为0，所以矩阵的秩为2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.给定矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\和\\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}\，求它们的乘积，并分析乘积矩阵的秩【答案】矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\乘以\\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}\的结果为\\begin{pmatrix}1922\\4350\end{pmatrix}\乘积矩阵的行列式为\\text{det}C=19\cdot50-22\cdot43=950-946=4\，行列式不为0，所以乘积矩阵的秩为

22.给定矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，求其逆矩阵，并验证其逆矩阵是否正确【答案】矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的行列式为\\text{det}A=1\cdot4-2\cdot3=-2\，逆矩阵计算公式为\\frac{1}{\text{det}A}\cdot\text{adj}A\，其中\\text{adj}A=\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\，所以逆矩阵为\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\验证\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\，验证正确---完整标准答案附于最后

一、单选题

1.B

2.A

3.C

4.A

5.B

6.D

7.B

8.A

9.A

10.C

二、多选题

1.B、C、D

2.A、C、D

3.A、B、C、D、E

4.A、C、D、E

5.A、B、C、E

三、填空题

1.-

22.\\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\

3.\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\

4.\\begin{pmatrix}1922\\4350\end{pmatrix}\

5.2

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.矩阵乘法满足结合律、分配律和单位元性质，但不满足交换律和消去律具体来说，结合律是指\ABC=ABC\，分配律是指\AB+C=AB+AC\，单位元是指\A\cdotI=A\但矩阵乘法不满足交换律，即\AB\neqBA\

2.正交矩阵是指其列向量是单位向量且两两正交的矩阵正交矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵例如，\\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\是一个正交矩阵

3.简述矩阵的秩的定义矩阵的秩是指矩阵非零子式的最高阶数换句话说，秩是矩阵的最大线性无关列向量或行向量的数量

六、分析题

1.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的行列式为\\text{det}A=1\cdot4-2\cdot3=-2\，行列式不为0，所以矩阵可逆逆矩阵计算公式为\\frac{1}{\text{det}A}\cdot\text{adj}A\，其中\\text{adj}A=\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\，所以逆矩阵为\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\

2.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的行列式为\\text{det}A=1\cdot4-2\cdot3=-2\，行列式不为0，所以矩阵的秩为2

七、综合应用题

1.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\乘以\\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}\的结果为\\begin{pmatrix}1922\\4350\end{pmatrix}\乘积矩阵的行列式为\\text{det}C=19\cdot50-22\cdot43=950-946=4\，行列式不为0，所以乘积矩阵的秩为

22.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的行列式为\\text{det}A=1\cdot4-2\cdot3=-2\，逆矩阵计算公式为\\frac{1}{\text{det}A}\cdot\text{adj}A\，其中\\text{adj}A=\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\，所以逆矩阵为\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\验证\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\，验证正确。