石首一中数学竞赛真题及答案解析

石首一中数学竞赛真题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=lnx^2-3x+2的定义域是（）（2分）A.-∞,1∪2,+∞B.-1,2C.[1,2]D.1,2【答案】A【解析】x^2-3x+20解得x1或x2，故定义域为-∞,1∪2,+∞

2.已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{2,3}B.{2,3,0}C.{2,3,-2}D.{-2}【答案】D【解析】A={2,3}，B⊆A，当B=∅时，Δ=a^2-40得-2a2；当B={2}时，Δ=0且2-a+1=0得a=3；当B={3}时，Δ=0且3-a+1=0得a=4综上，a=-

23.若复数z满足|z|=1，则z^2021的实部一定是（）（2分）A.1B.-1C.±1D.0【答案】C【解析】设z=cosθ+isinθ，则z^2021=cos2021θ+isin2021θ，实部为cos2021θ，θ∈R，故实部为±

14.不等式|x-1|+|x+2|4的解集是（）（2分）A.-∞,-3∪1,+∞B.-∞,-3∪3,+∞C.-3,1D.-∞,-3∪1,3【答案】A【解析】数轴上x到1和-2的距离之和大于4，解得x-3或x

15.已知向量a=1,2，b=x,y，若a⊥b，则x-y的值是（）（2分）A.-4B.4C.-2D.2【答案】A【解析】a·b=1x+2y=0得x=-2y，x-y=-3y，由a⊥b知a·b=0，代入得x=-4，y=2，故x-y=-

46.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则它的侧面积为（）（2分）A.15πB.12πC.20πD.30π【答案】A【解析】侧面积=πrl=π×3×5=15π

7.执行如图所示的程序框图，输出的S的值是（）（2分）（此处应有程序框图，无法展示，但根据参考答案推断题目内容）A.5B.10C.15D.20【答案】B【解析】（推断内容）循环5次，S从0开始每次加2，最终S=

108.函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值是（）（2分）A.10B.9C.8D.7【答案】A【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-2=-10，f0=2，f2=-4，f3=2，最大值为

109.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值是（）（2分）A.1/2B.3/4C.4/5D.3/5【答案】C【解析】由余弦定理b^2=a^2+c^2-2ac·cosB得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=9+25-16/2×3×4=4/

510.已知数列{a_n}是等差数列，a_1=2，a_5=10，则a_10的值是（）（2分）A.18B.20C.22D.24【答案】B【解析】d=a_5-a_1/5-1=8/4=2，a_10=a_1+9d=2+18=20

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若A∩B=A，则A⊆BD.若fx是奇函数，则f0=0【答案】A、C【解析】A正确，空集是任何集合的子集；B错误，如a=1b=-2；C正确，A∩B=A等价于A⊆B；D错误，fx是奇函数，f0不一定为0，如fx=x^

32.下列函数中，在区间0,1上单调递减的是（）（4分）A.y=2x+1B.y=1/xC.y=x^2D.y=lnx【答案】B、C【解析】B在0,1上单调递减；C在0,1上单调递减；A在0,1上单调递增；D在0,1上单调递增

3.已知向量a=1,1，b=1,-1，则下列说法正确的是（）（4分）A.a与b共线B.a·b=0C.|a+b|=2D.|a-b|=2√2【答案】A、C、D【解析】A正确，b=-a；B错误，a·b=1-1=0；C正确，|a+b|=√2^2+0^2=2；D正确，|a-b|=√2^2+2^2=2√

24.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC的形状的是（）（4分）A.三边长a，b，cB.两边长及其中一边的对角C.一个角及两边D.两角及其中一角的对边【答案】A、C、D【解析】A可确定唯一三角形；B不能确定，如SSA；C可确定唯一三角形；D可确定唯一三角形

5.已知函数fx=sinωx+φ，下列说法正确的是（）（4分）A.若fx的最小正周期为π，则ω=2B.若fx的图象关于原点对称，则φ=kπ+π/2C.若fx在0,π/2上单调递增，则φ=2kπD.若fx的图象向右平移π/ω个单位后与自身重合，则φ=kπ【答案】B、C、D【解析】A错误，ω=±2；B正确，fx是奇函数；C正确，ω0时，φ=2kπ；D正确，平移π/ω个单位后重合，则fx=fx-π/ω，得φ=kπ

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若复数z满足z^2+2z+2=0，则|z|的值是______（4分）【答案】√2【解析】z=-1±i，|z|=√-1^2+1^2=√

22.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a:b:c=3:4:5，则cosA-sinB的值是______（4分）【答案】0【解析】设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/2×4×5=6/10=3/5，由正弦定理sinB=b/2R=4k/2×5k=4/10=2/5，cosA-sinB=3/5-2/5=1/

53.函数fx=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是______（4分）【答案】3【解析】fx在[-3,-2]上递减，[-2,1]上递增，[1,3]上递增，最小值在x=-2处取到，f-2=|-2-1|+|-2+2|=

34.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_5=10，则S_10的值是______（4分）【答案】70【解析】d=8/4=2，a_n=2+n-1×2=2n，S_n=n/2a_1+a_n=n/22+2n=n^2+n，S_10=10^2+10=100+10=

1105.执行如图所示的程序框图，输出的S的值是______（4分）（此处应有程序框图，无法展示，但根据参考答案推断题目内容）【答案】15【解析】（推断内容）循环5次，S从1开始每次加3，最终S=

156.在直角坐标系中，点A1,2关于直线x-y+1=0的对称点是______（4分）【答案】0,1【解析】设对称点为Bx,y，由中点在直线上得x+1/2-y+2/2+1=0，即x-y+1=0，由AB⊥直线得斜率乘积为-1，即2-y/1-x=-1，解得x=0，y=

17.不等式|x^2-4|2的解集是______（4分）【答案】-√6,√6【解析】-2x^2-42，得2x^26，即√2x√6或-√6x√

28.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA+B的值是______（4分）【答案】-3/5【解析】cosA+B=cosπ-C=cosπ--3/5=-1+3/5=-2/5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1b=-2，则a^2=1b^2=

42.空集是任何集合的子集（）（2分）【答案】（√）【解析】空集是任何集合的子集

3.若fx是奇函数，则f0=0（）（2分）【答案】（×）【解析】fx是奇函数，f-x=-fx，若f0存在，则f0=-f0，得f0=

04.若A∩B=A，则A⊆B（）（2分）【答案】（√）【解析】A∩B=A等价于A⊆B

5.若fx在区间I上单调递增，则|fx|也在区间I上单调递增（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=-x在R上单调递减，但|fx|=|x|在R上单调递增

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^2-2x+3，求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值5，最小值2【解析】fx=2x-2，令fx=0得x=1，f-1=6，f1=2，f3=6，最大值为5，最小值为

22.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求cosC的值（5分）【答案】4/5【解析】由余弦定理cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=9+16-25/2×3×4=0/24=0，故cosC=4/

53.已知数列{a_n}是等比数列，a_1=2，a_4=16，求a_7的值（5分）【答案】128【解析】q^3=16/2=8得q=2，a_7=a_1q^6=2×64=128

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值，并说明理由（10分）【答案】最小值为3，理由见解析【解析】fx在[-3,-2]上递减，[-2,1]上递增，[1,3]上递增，最小值在x=-2处取到，f-2=|-2-1|+|-2+2|=

32.已知数列{a_n}是等差数列，a_1=2，a_5=10，求S_{15}的值（10分）【答案】120【解析】d=8/4=2，a_n=2+n-1×2=2n，S_{15}=15/22+30=15×16=240

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求cosA-B的值（25分）【答案】24/25【解析】cosA-B=cosAcosB+sinAsinB，cosA=3/5，sinA=4/5，cosB=4/5，sinB=3/5，cosA-B=3/5×4/5+4/5×3/5=24/

252.已知函数fx=x^2-2x+3，求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值，并画出函数的图象（25分）【答案】最大值5，最小值2【解析】fx=2x-2，令fx=0得x=1，f-1=6，f1=2，f3=6，最大值为5，最小值为2图象为开口向上的抛物线，顶点为1,2，x=1为对称轴---标准答案

一、单选题

1.A

2.D

3.C

4.A

5.A

6.A

7.B

8.A

9.C

10.B

二、多选题

1.A、C

2.B、C

3.A、C、D

4.A、C、D

5.B、C、D

三、填空题

1.√

22.

03.

34.

705.

156.0,

17.-√6,√

68.-3/5

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.最大值5，最小值

22.4/

53.128

六、分析题

1.最小值为3，理由见解析

2.120

七、综合应用题

1.24/

252.最大值5，最小值2。