研究生矩阵论拓展试题及全答案

研究生矩阵论拓展试题及全答案doc

一、单选题（每题2分，共20分）

1.设A是n阶可逆矩阵，则下列说法错误的是（）A.A的行列式不为零B.A的秩为nC.A的转置矩阵A^T也是可逆的D.A存在特征值0【答案】D【解析】可逆矩阵的行列式不为零，秩等于阶数，转置矩阵也是可逆的，但可逆矩阵没有零特征值

2.下列矩阵中，不是正定矩阵的是（）A.\\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}10\\0-1\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}31\\13\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}42\\24\end{pmatrix}\【答案】B【解析】正定矩阵的行列式大于零且所有特征值均为正，B选项中有一个负特征值

3.设A是n阶实对称矩阵，且A的特征值全为正，则下列说法正确的是（）A.A是正定矩阵B.A是负定矩阵C.A是半正定矩阵D.A是半负定矩阵【答案】A【解析】实对称矩阵若所有特征值为正，则为正定矩阵

4.下列说法正确的是（）A.任何矩阵都有特征值B.特征值为0的矩阵不可逆C.相似矩阵有相同的特征值D.正定矩阵的特征值可以是零【答案】C【解析】相似矩阵有相同的特征值，特征值为0的矩阵不可逆，正定矩阵特征值均为正

5.设A是n阶矩阵，且A^2=A，则A称为（）A.正定矩阵B.对称矩阵C.幂等矩阵D.正交矩阵【答案】C【解析】满足A^2=A的矩阵称为幂等矩阵

6.下列矩阵中，不是可逆矩阵的是（）A.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}20\\03\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\【答案】D【解析】D选项的行列式为零，不可逆

7.设A是n阶矩阵，且A的秩为n-1，则下列说法正确的是（）A.A的所有特征值均为零B.A至少有一个特征值为零C.A的所有特征值均为非零D.A的特征值个数小于n【答案】B【解析】秩为n-1的矩阵至少有一个特征值为零

8.下列说法错误的是（）A.任何矩阵都有特征向量B.特征向量的方向在变换后保持不变C.相似矩阵有相同的特征向量D.正交矩阵的特征向量是单位向量【答案】C【解析】相似矩阵的特征值相同，但特征向量不一定相同

9.设A是n阶矩阵，且A的特征值全为1，则下列说法正确的是（）A.A是单位矩阵B.A是可逆矩阵C.A是零矩阵D.A是正定矩阵【答案】B【解析】特征值全为1的矩阵是可逆的

10.下列矩阵中，不是正交矩阵的是（）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}0-1\\10\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\【答案】D【解析】D选项的列向量不是单位向量

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列哪些是矩阵的特征值性质？（）A.特征值的乘积等于行列式B.特征值的和等于迹C.特征值可以是复数D.特征值对应的特征向量是唯一的E.特征值全为正的矩阵是正定矩阵【答案】A、B、E【解析】特征值的乘积等于行列式，和等于迹，特征值全为正的矩阵是正定矩阵，特征值对应的特征向量不唯一

2.下列哪些矩阵是正交矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}0-1\\10\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\E.\\begin{pmatrix}11\\1-1\end{pmatrix}\【答案】A、B、C【解析】正交矩阵的列向量是单位向量且互相正交

3.下列哪些是矩阵相似的性质？（）A.相似矩阵有相同的特征值B.相似矩阵有相同的行列式C.相似矩阵有相同的秩D.相似矩阵有相同的迹E.相似矩阵有相同的特征向量【答案】A、B、C、D【解析】相似矩阵有相同的特征值、行列式、秩和迹，但特征向量不一定相同

4.下列哪些是幂等矩阵的性质？（）A.幂等矩阵的特征值只能是0或1B.幂等矩阵的秩等于其非零特征值的个数C.幂等矩阵是正定矩阵D.幂等矩阵是正交矩阵E.幂等矩阵是对称矩阵【答案】A、B【解析】幂等矩阵的特征值只能是0或1，秩等于非零特征值的个数

5.下列哪些是正定矩阵的性质？（）A.正定矩阵的行列式大于零B.正定矩阵的特征值全为正C.正定矩阵是对称矩阵D.正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵E.正定矩阵的转置矩阵也是正定矩阵【答案】A、B、C、D、E【解析】正定矩阵的行列式大于零，特征值全为正，是对称矩阵，逆矩阵和转置矩阵也是正定矩阵

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设A是n阶矩阵，且A的特征值为λ1,λ2,...,λn，则A的行列式为______【答案】λ1λ

2...λn【解析】矩阵的行列式等于其特征值的乘积

2.设A是n阶正定矩阵，则A的特征值______【答案】全为正【解析】正定矩阵的特征值全为正

3.设A是n阶矩阵，且A^2=A，则A称为______矩阵【答案】幂等【解析】满足A^2=A的矩阵称为幂等矩阵

4.设A是n阶矩阵，且A的秩为n-1，则A至少有一个特征值为______【答案】0【解析】秩为n-1的矩阵至少有一个特征值为零

5.设A是n阶正交矩阵，则A的逆矩阵等于______【答案】A^T【解析】正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵

四、判断题（每题2分，共10分）

1.任何矩阵都有特征值（）【答案】（×）【解析】例如，奇异矩阵可能没有实特征值

2.特征值为0的矩阵不可逆（）【答案】（√）【解析】特征值为0意味着行列式为零，矩阵不可逆

3.相似矩阵有相同的特征向量（）【答案】（×）【解析】相似矩阵的特征值相同，但特征向量不一定相同

4.正定矩阵的特征值可以是零（）【答案】（×）【解析】正定矩阵的特征值全为正

5.幂等矩阵是对称矩阵（）【答案】（×）【解析】幂等矩阵不一定是对称矩阵

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述矩阵的特征值和特征向量的定义【答案】特征值设A是n阶矩阵，如果存在一个数λ和nonzero向量x，使得Ax=λx，则λ称为A的特征值，x称为对应的特征向量

2.简述正定矩阵的定义和性质【答案】定义实对称矩阵A，如果对任意nonzero向量x，都有x^TAx0，则A称为正定矩阵性质正定矩阵的行列式大于零，特征值全为正，逆矩阵和转置矩阵也是正定矩阵

3.简述相似矩阵的定义和性质【答案】定义设A和B是n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P^-1AP，则A和B称为相似矩阵性质相似矩阵有相同的特征值、行列式、秩和迹

4.简述幂等矩阵的定义和性质【答案】定义设A是n阶矩阵，如果A^2=A，则A称为幂等矩阵性质幂等矩阵的特征值只能是0或1，秩等于其非零特征值的个数

5.简述正交矩阵的定义和性质【答案】定义设A是n阶矩阵，如果A^TA=I，则A称为正交矩阵性质正交矩阵的列向量是单位向量且互相正交，逆矩阵等于其转置矩阵

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析一个2阶矩阵的特征值和特征向量【答案】设A=\\begin{pmatrix}ab\\cd\end{pmatrix}\，特征值λ满足detA-λI=0，即a-λd-λ-bc=0，解得λ1和λ2对应的特征向量x满足A-λIx=0，解得特征向量

2.分析一个3阶矩阵的正定性【答案】设A=\\begin{pmatrix}abc\\def\\ghi\end{pmatrix}\，正定性需要满足

（1）A是对称矩阵；

（2）所有主子式大于零；

（3）特征值全为正

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.给定一个2阶矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，求其特征值和特征向量，并验证其是否可逆【答案】特征值detA-λI=0，即1-λ4-λ-6=0，解得λ1=-1,λ2=5特征向量对于λ1=-1，A+Ix=0，解得特征向量x1=\\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}\；对于λ2=5，A-5Ix=0，解得特征向量x2=\\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\验证可逆行列式detA=-2≠0，A可逆

2.给定一个3阶矩阵A=\\begin{pmatrix}211\\121\\112\end{pmatrix}\，验证其是否为正定矩阵【答案】

（1）A是对称矩阵；

（2）主子式det\\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}\=20；det\\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\=30；detA=40；

（3）特征值detA-λI=0，解得λ1=0,λ2=3,λ3=3，全为正因此，A是正定矩阵。