研究生矩阵论重点试题及精准答案

研究生矩阵论重点试题及精准答案doc

一、单选题（每题2分，共20分）

1.设A是n阶方阵，且满足A²=A，则称A为（）（2分）A.单位矩阵B.幂等矩阵C.正交矩阵D.对角矩阵【答案】B【解析】满足A²=A的矩阵称为幂等矩阵

2.若A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则矩阵AB的秩（）矩阵B的秩（2分）A.大于B.小于C.等于D.无法确定【答案】C【解析】矩阵AB的秩等于矩阵B的秩

3.下列哪个矩阵是可逆的？（）（2分）A.[12;36]B.[10;01]C.[01;10]D.[23;46]【答案】B【解析】矩阵B是单位矩阵，单位矩阵是可逆的

4.设A是n阶可逆矩阵，则detA（）（2分）A.等于0B.不等于0C.小于0D.大于0【答案】B【解析】n阶可逆矩阵的行列式不等于

05.两个n阶矩阵A和B可交换，即AB=BA，则（）（2分）A.A和B都必须是对角矩阵B.A和B都必须是单位矩阵C.A和B至少有一个是单位矩阵D.A和B可以是任意矩阵【答案】D【解析】两个矩阵可交换，不一定要是对角矩阵或单位矩阵

6.若A是实对称矩阵，则其特征值（）（2分）A.只能是正数B.只能是负数C.只能是零D.可以是任意实数【答案】D【解析】实对称矩阵的特征值可以是任意实数

7.矩阵A的秩为r，则其行向量组中（）（2分）A.必有r个线性无关的向量B.必有r个线性相关的向量C.所有向量都线性无关D.所有向量都线性相关【答案】A【解析】矩阵的秩等于其行向量组中线性无关的向量的最大数量

8.若A是可逆矩阵，B是任意矩阵，则（）（2分）A.AB是可逆矩阵B.AB不可逆C.AB的秩等于B的秩D.AB的秩等于A的秩【答案】C【解析】AB的秩等于B的秩

9.若A是n阶矩阵，且对于任意n维向量x，有Ax=0，则A（）（2分）A.是零矩阵B.是可逆矩阵C.是幂等矩阵D.是正交矩阵【答案】A【解析】对于任意n维向量x，有Ax=0，则A是零矩阵

10.下列哪个矩阵是正交矩阵？（）（2分）A.[10;01]B.[cosθ-sinθ;sinθcosθ]C.[01;-10]D.[12;34]【答案】B【解析】矩阵B是旋转矩阵，旋转矩阵是正交矩阵

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是矩阵运算的性质？（）（4分）A.AB+C=AB+ACB.A+BC=AB+ACC.ABC=ABCD.A²=AAE.AB-C=AB-AC【答案】A、C、D、E【解析】矩阵运算的性质包括分配律、结合律、幂等律和减法分配律

2.以下哪些矩阵是可逆的？（）（4分）A.[12;34]B.[20;03]C.[10;0-1]D.[00;00]E.[11;11]【答案】B、C【解析】矩阵B和C是对角矩阵且对角线元素非零，因此是可逆的

3.以下哪些是实对称矩阵的性质？（）（4分）A.特征值都是实数B.可以对角化C.对称矩阵的和还是对称矩阵D.对称矩阵的转置还是对称矩阵E.对称矩阵的特征向量可以正交【答案】A、B、C、D、E【解析】实对称矩阵具有这些性质

4.以下哪些是矩阵的秩的性质？（）（4分）A.矩阵的秩等于其行向量组的秩B.矩阵的秩等于其列向量组的秩C.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数D.矩阵的秩等于其行向量组中线性无关向量的最大数量E.矩阵的秩等于其列向量组中线性无关向量的最大数量【答案】A、B、C、D、E【解析】矩阵的秩具有这些性质

5.以下哪些是可逆矩阵的性质？（）（4分）A.可逆矩阵的行列式不为零B.可逆矩阵的逆矩阵唯一C.可逆矩阵的转置也是可逆的D.可逆矩阵的和也是可逆的E.可逆矩阵的逆矩阵仍然可逆【答案】A、B、C、E【解析】可逆矩阵具有这些性质

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若A是n阶矩阵，且满足A²=I，则称A为______矩阵（4分）【答案】对合矩阵【解析】满足A²=I的矩阵称为对合矩阵

2.矩阵A的秩为r，则其行向量组中______个向量线性无关（4分）【答案】r【解析】矩阵的秩等于其行向量组中线性无关的向量的最大数量

3.若A是可逆矩阵，B是任意矩阵，则AB的秩______B的秩（4分）【答案】等于【解析】AB的秩等于B的秩

4.实对称矩阵的特征值______实数（4分）【答案】都是【解析】实对称矩阵的特征值都是实数

5.若A是n阶矩阵，且对于任意n维向量x，有Ax=0，则A______（4分）【答案】是零矩阵【解析】对于任意n维向量x，有Ax=0，则A是零矩阵

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个n阶矩阵A和B可交换，即AB=BA，则A和B都必须是对角矩阵（）（2分）【答案】（×）【解析】两个矩阵可交换，不一定要是对角矩阵

2.若A是n阶矩阵，且满足A²=A，则A是幂等矩阵（）（2分）【答案】（√）【解析】满足A²=A的矩阵称为幂等矩阵

3.矩阵A的秩为r，则其行向量组中必有r个线性无关的向量（）（2分）【答案】（√）【解析】矩阵的秩等于其行向量组中线性无关的向量的最大数量

4.若A是可逆矩阵，B是任意矩阵，则AB是可逆矩阵（）（2分）【答案】（×）【解析】AB不一定可逆

5.实对称矩阵的特征值可以是任意实数（）（2分）【答案】（×）【解析】实对称矩阵的特征值都是实数

6.矩阵A的秩等于其行向量组中线性相关的向量的最大数量（）（2分）【答案】（×）【解析】矩阵的秩等于其行向量组中线性无关的向量的最大数量

7.若A是可逆矩阵，则其转置矩阵Aᵀ也是可逆的（）（2分）【答案】（√）【解析】可逆矩阵的转置也是可逆的

8.矩阵A的秩为r，则其行向量组中必有r个线性相关的向量（）（2分）【答案】（×）【解析】矩阵的秩等于其行向量组中线性无关的向量的最大数量

9.若A是n阶矩阵，且对于任意n维向量x，有Ax=0，则A是零矩阵（）（2分）【答案】（√）【解析】对于任意n维向量x，有Ax=0，则A是零矩阵

10.正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵（）（2分）【答案】（√）【解析】正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述矩阵的秩的定义及其性质（4分）【答案】矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数，也是矩阵行向量组或列向量组中线性无关向量的最大数量矩阵的秩具有以下性质

（1）矩阵的秩等于其行向量组或列向量组的秩；

（2）矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数；

（3）矩阵的秩等于其行向量组中线性无关向量的最大数量；

（4）矩阵的秩等于其列向量组中线性无关向量的最大数量

2.简述实对称矩阵的特征值和特征向量的性质（4分）【答案】实对称矩阵的特征值和特征向量的性质包括

（1）实对称矩阵的特征值都是实数；

（2）实对称矩阵的特征向量可以正交；

（3）实对称矩阵可以对角化，即存在正交矩阵P，使得PᵀAP是对角矩阵；

（4）实对称矩阵的特征值之和等于其迹，特征值之积等于其行列式

3.简述可逆矩阵的定义及其性质（4分）【答案】可逆矩阵是指存在一个矩阵B，使得AB=BA=I的矩阵可逆矩阵的性质包括

（1）可逆矩阵的行列式不为零；

（2）可逆矩阵的逆矩阵唯一；

（3）可逆矩阵的转置也是可逆的；

（4）可逆矩阵的逆矩阵仍然可逆

4.简述矩阵的秩与矩阵的行向量组或列向量组的关系（4分）【答案】矩阵的秩与矩阵的行向量组或列向量组的关系是

（1）矩阵的秩等于其行向量组或列向量组的秩；

（2）矩阵的秩等于其行向量组或列向量组中线性无关向量的最大数量；

（3）矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数

5.简述矩阵的幂等矩阵的定义及其性质（4分）【答案】幂等矩阵是指满足A²=A的矩阵幂等矩阵的性质包括

（1）幂等矩阵的特征值只能是0或1；

（2）幂等矩阵可以对角化，即存在一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得A=PDPᵀ；

（3）幂等矩阵的秩等于其特征值为1的特征子空间的维数

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析矩阵A=[12;34]的特征值和特征向量（10分）【答案】矩阵A的特征值和特征向量的求解步骤如下

（1）求矩阵A的特征多项式detA-λI=det[1-λ2;34-λ]=1-λ4-λ-6=λ²-5λ-2；

（2）求特征值解特征方程λ²-5λ-2=0，得到特征值λ₁=6，λ₂=-1；

（3）求特征向量对于特征值λ₁=6，解方程A-6Ix=0，得到特征向量x₁=[1;-2]；对于特征值λ₂=-1，解方程A+Ix=0，得到特征向量x₂=[2;-3]

2.分析矩阵B=[cosθ-sinθ;sinθcosθ]的正交性和特征值（10分）【答案】矩阵B的正交性和特征值的分析步骤如下

（1）正交性分析矩阵B是旋转矩阵，旋转矩阵的列向量组是标准正交基，因此矩阵B是正交矩阵；

（2）特征值分析矩阵B的特征多项式detB-λI=det[cosθ-λ-sinθ;sinθcosθ-λ]=cosθ-λ²+sin²θ=λ²-2λcosθ+1；解特征方程λ²-2λcosθ+1=0，得到特征值λ₁=cosθ+isinθ，λ₂=cosθ-isinθ，即λ₁=e^iθ，λ₂=e^-iθ

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设A=[12;34]，B=[20;03]，求矩阵A和B的乘积AB，并分析其秩（25分）【答案】矩阵A和B的乘积AB的求解步骤如下

（1）求矩阵AB AB=[12;34][20;03]=[26;612]；

（2）求矩阵AB的秩矩阵AB的行向量组为

[26]和

[612]，这两个行向量线性相关，因此矩阵AB的秩为

12.设A是3阶实对称矩阵，其特征值为1,2,3，且特征向量分别为[1;0;0]、[0;1;0]、[0;0;1]，求矩阵A（25分）【答案】矩阵A的求解步骤如下

（1）构造特征向量矩阵P P=[100;010;001]；

（2）构造对角矩阵D D=[100;020;003]；

（3）求矩阵A A=PDPᵀ=[100;010;001][100;020;003][100;010;001]=[100;020;003]。