考研入学考试难点题目与答案揭晓

考研入学考试难点题目与答案揭晓

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx在点x0处可导，且fx0存在，则下列说法正确的是（）（2分）A.fx在x0处连续B.fx在x0处可微C.fx在x0处取得极值D.fx在x0处不一定连续【答案】B【解析】可导一定可微，可微不一定连续

2.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑_{n=1}^∞n/2^nB.∑_{n=1}^∞1/nC.∑_{n=1}^∞1/n^2D.∑_{n=1}^∞n^2/2^n【答案】C【解析】p-级数，p1时收敛

3.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值为（）（2分）A.1,2B.3,4C.5,-1D.-1,-5【答案】C【解析】|λE-A|=0，解得特征值5和-

14.曲线y=x^3在点1,1处的曲率为（）（2分）A.3B.6C.9D.12【答案】B【解析】k=|y|/1+y^2^3/2，计算得

65.下列函数中，在x→0时等价于x的是（）（2分）A.sinxB.x^2C.log1+xD.e^x-1【答案】D【解析】e^x-1与x等价

6.设函数fx在[a,b]上连续，且fx≥0，则∫_{a}^{b}fxdx表示（）（2分）A.曲边梯形的面积B.曲线的长度C.旋转体的体积D.三角形的面积【答案】A【解析】定积分表示曲边梯形的面积

7.向量场F=x,y,z的散度为（）（2分）A.x+y+zB.3C.0D.2xyz【答案】B【解析】∇·F=∂x/∂x+∂y/∂y+∂z/∂z=

38.设事件A、B互斥，且PA=

0.3，PB=

0.4，则PA∪B=（）（2分）A.

0.3B.

0.4C.

0.7D.

0.1【答案】C【解析】互斥事件概率加法公式

9.随机变量X的期望EX=2，方差VarX=1，则EX^2=（）（2分）A.3B.4C.5D.9【答案】C【解析】EX^2=VarX+EX^2=

510.设z=fx,y满足∂^2z/∂x∂y=2x，且zx,0=x^2，则zx,y=（）（2分）A.x^2+y^2B.x^2yC.xy^2D.x^2+2xy【答案】B【解析】积分两次求解偏微分方程

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在定义域内可导的有（）（4分）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=sinxD.fx=e^x【答案】A、C、D【解析】|x|在x=0处不可导

2.设函数fx在[a,b]上连续，且fx≥0，则下列说法正确的有（）（4分）A.∫_{a}^{b}fxdx≥0B.∫_{a}^{b}fxdx=∫_{a}^{c}fxdx+∫_{c}^{b}fxdxC.∫_{a}^{b}fxdx表示曲线y=fx与x轴围成的面积D.∫_{a}^{b}fxdx≤∫_{a}^{b}gxdx（gx≥fx）【答案】A、B、C【解析】定积分性质

3.下列级数中，条件收敛的有（）（4分）A.∑_{n=1}^∞1/nB.∑_{n=1}^∞-1^n/nC.∑_{n=1}^∞1/n^2D.∑_{n=1}^∞-1^n/n^2【答案】B、D【解析】交错级数条件收敛

4.设矩阵A可逆，则下列说法正确的有（）（4分）A.|A|≠0B.A的秩等于nC.A的行向量组线性无关D.A的列向量组线性相关【答案】A、B、C【解析】可逆矩阵性质

5.设事件A、B相互独立，且PA=

0.6，PB=

0.7，则下列说法正确的有（）（4分）A.PA∩B=

0.42B.PA|B=

0.6C.PA∪B=

0.88D.PA^c∩B^c=

0.88【答案】A、B、C【解析】独立事件概率性质

三、填空题（每题4分，共16分）

1.设函数fx在[a,b]上连续，且fx≥0，则∫_{a}^{b}√fxdx≤______（4分）【答案】b-a√max_{x∈[a,b]}fx【解析】利用均值不等式

2.设向量场F=y,x,z，则∇×F=______（4分）【答案】0,0,2【解析】计算旋度

3.设随机变量X的分布律为PX=k=1/3^k，k=1,2,3,...,则EX=______（4分）【答案】3【解析】几何分布期望

4.设函数z=fx,y满足∂z/∂x=y，∂z/∂y=x，且z0,0=0，则fx,y=______（4分）【答案】xy【解析】积分求解偏微分方程

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（×）【解析】反例fx=1/x在0,1上连续但无界

2.若级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，则级数∑_{n=1}^∞|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】条件收敛反例

3.若矩阵A可逆，则矩阵A的转置矩阵A^T也可逆（）（2分）【答案】（√）【解析】可逆矩阵性质

4.若事件A、B互斥，则PA|B=0（）（2分）【答案】（√）【解析】互斥事件条件概率

5.若随机变量X的期望EX=0，则X以概率1取值为0（）（2分）【答案】（×）【解析】期望为0不代表随机变量恒为0

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述高阶导数的定义及其物理意义（5分）【答案】高阶导数是函数的导数的导数物理意义如加速度是速度的导数

2.简述定积分的几何意义及其物理意义（5分）【答案】几何意义是曲边梯形面积物理意义如位移是速度的定积分

3.简述随机变量的期望和方差的定义及其关系（5分）【答案】期望是随机变量平均值方差是随机变量偏离期望的平方平均关系VarX=EX^2-EX^2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在[a,b]上连续，且fx≥0，证明∫_{a}^{b}fxdx≥0（10分）【证明】由定积分定义，∫_{a}^{b}fxdx表示曲边梯形面积，面积非负

2.设随机变量X的分布律为PX=k=1/3^k，k=1,2,3,...，求X的期望和方差（10分）【解】EX=∑_{k=1}^∞k1/3^k=3，VarX=EX^2-EX^2=6

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx在[a,b]上连续，且fx≥0，证明∫_{a}^{b}fxdx=∫_{a}^{c}fxdx+∫_{c}^{b}fxdx，其中acb（25分）【证明】由定积分定义，分割积分区间，利用黎曼和性质证明

2.设随机变量X和Y相互独立，且X~Nμ1,σ1^2，Y~Nμ2,σ2^2，求X+Y的分布及其期望和方差（25分）【解】X+Y~Nμ1+μ2,σ1^2+σ2^2，EX+Y=μ1+μ2，VarX+Y=σ1^2+σ2^2---标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.C

4.B

5.D

6.A

7.B

8.C

9.C

10.B

二、多选题

1.A、C、D

2.A、B、C

3.B、D

4.A、B、C

5.A、B、C

三、填空题

1.b-a√max_{x∈[a,b]}fx

2.0,0,

23.

34.xy

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.略

2.略

3.略

六、分析题

1.略

2.略

七、综合应用题

1.略

2.略。