考研数学二练习题及答案详解

考研数学二练习题及答案详解

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x^2-a，f1=3-a=0，解得a=

32.下列级数中收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞1/logn【答案】C【解析】根据p-级数判别法，当p1时，级数收敛，故选C

3.设函数fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且fa=fb，则存在ξ∈a,b，使得fξ=0，这是由下列哪个定理保证的？（）（2分）A.中值定理B.拉格朗日中值定理C.柯西中值定理D.泰勒定理【答案】B【解析】这是拉格朗日中值定理的一个推论，即罗尔定理

4.设z=fx,y满足∂^2z/∂x∂y=6xy，且当x=0时，z=y^3；当y=0时，z=x^3，则z的表达式为（）（2分）A.z=3x^2y^2B.z=x^3+y^3C.z=3x^2y+3xy^2D.z=x^3y+y^3x【答案】C【解析】积分∂^2z/∂x∂y得到z=3x^2y+3xy^2+gx+hy，根据边界条件确定gx和hy

5.下列哪个函数在0,2π内是周期函数？（）（2分）A.sinxB.e^xC.x^2D.logx【答案】A【解析】sinx是周期为2π的周期函数

6.设A是3阶矩阵，|A|=2，则|2A|=（）（2分）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】矩阵的数乘行列式等于数乘的n次方，故|2A|=2^3|A|=

87.下列哪个向量组线性无关？（）（2分）A.1,0,0,0,1,0,0,0,0B.1,1,1,2,2,2,3,3,3C.1,0,1,0,1,1,1,1,0D.1,1,0,1,0,1,0,1,1【答案】C【解析】向量组线性无关的判定可以通过行列式或者线性组合系数唯一确定

8.若事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且A和B至少有一个发生的概率为

0.8，则PA∪B=（）（2分）A.

0.6B.

0.7C.

0.8D.

1.1【答案】C【解析】PA∪B=PA+PB-PA∩B=

0.

89.设随机变量X的分布律为PX=k=k+1/20，k=1,2,3，则EX=（）（2分）A.2B.

2.5C.3D.

3.5【答案】B【解析】EX=Σk=1to3kk+1/20=

2.

510.设随机变量X和Y相互独立，X~N0,1，Y~N0,1，则XY的分布是（）（2分）A.N0,1B.N0,2C.χ^21D.t1【答案】C【解析】两个独立的标准正态分布随机变量的乘积的绝对值服从χ^2分布

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列哪个是极限的ε-δ定义？（）（4分）A.∀ε0,∃δ0,当|x-a|δ时，|fx-L|εB.∀ε0,∃δ0,当x-aδ时，|fx-L|εC.∀ε0,∃δ0,当xa时，|fx-L|εD.∀ε0,∃δ0,当x0时，|fx-L|ε【答案】A【解析】ε-δ定义是极限的标准定义，A选项正确

2.下列哪个是矩阵可逆的充分必要条件？（）（4分）A.矩阵的行列式不为0B.矩阵的秩等于其阶数C.矩阵可表示为初等矩阵的乘积D.矩阵的列向量线性无关【答案】A、B、D【解析】矩阵可逆的充分必要条件包括行列式不为

0、秩等于阶数、列向量线性无关

3.下列哪个是线性回归模型的基本假设？（）（4分）A.线性关系B.独立性C.方差齐性D.正态性【答案】A、B、C、D【解析】线性回归模型的基本假设包括线性关系、独立性、方差齐性和正态性

4.下列哪个是概率分布的性质？（）（4分）A.非负性B.规范性C.可加性D.稳定性【答案】A、B、C【解析】概率分布的性质包括非负性、规范性和可加性

5.下列哪个是傅里叶级数的收敛定理？（）（4分）A.狄利克雷收敛定理B.傅里叶级数收敛定理C.瑞利定理D.柯西收敛定理【答案】A【解析】狄利克雷收敛定理是傅里叶级数收敛的充分条件

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若fx=√x，则fx=______（4分）【答案】1/2√x

2.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞a_n^2的敛散性为______（4分）【答案】收敛

3.若函数fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且fa=fb，则根据罗尔定理，至少存在一个ξ∈a,b，使得fξ=______（4分）【答案】

04.若矩阵A=[[1,2],[3,4]]，则A的逆矩阵A^-1=______（4分）【答案】[[2,-1],[-3,1]]

5.若随机变量X和Y相互独立，X~N0,1，Y~N0,1，则X^2+Y^2的分布是______（4分）【答案】χ^22

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值（）（2分）【答案】（√）

2.若向量组线性无关，则其任意部分组也线性无关（）（2分）【答案】（√）

3.若事件A的概率PA=

0.5，事件B的概率PB=

0.5，则事件A和B一定独立（）（2分）【答案】（×）

4.若随机变量X和Y相互独立，且X~Nμ,σ^2，Y~Nμ,σ^2，则X+Y~N2μ,2σ^2（）（2分）【答案】（×）

5.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有原函数（）（2分）【答案】（√）

五、简答题（每题5分，共10分）

1.简述拉格朗日中值定理的内容（5分）【解析】拉格朗日中值定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a

2.简述线性回归模型的基本假设（5分）【解析】线性回归模型的基本假设包括线性关系、独立性、方差齐性和正态性

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在[0,3]上的单调性和极值（10分）【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0,2在0,2内fx0，在2,3内fx0故fx在0,2内单调递减，在2,3内单调递增f0=2，f2=-2，f3=2故fx在x=0和x=3处取得极大值2，在x=2处取得极小值-

22.分析随机变量X和Y相互独立，X~Nμ,σ^2，Y~Nμ,σ^2，则X+Y的分布（10分）【解析】由于X和Y相互独立且同分布，根据正态分布的性质，X+Y~Nμ+μ,σ^2+σ^2=N2μ,2σ^2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx+1在x=1处取得极值，且在x=2处取得原函数的极小值，求a和b的值，并求fx的极值（25分）【解析】fx=3x^2-2ax+b，f1=3-2a+b=0，fx=6x-2a，f2=12-2a0解得a=3，b=-3fx=3x^2-6x-3=3x^2-2x-1，令fx=0得x=1±√2f1+√2=1+√2^3-31+√2^2+-31+√2+1=-4-3√2，f1-√2=1-√2^3-31-√2^2+-31-√2+1=-4+3√2故fx在x=1+√2处取得极大值-4-3√2，在x=1-√2处取得极小值-4+3√

22.已知随机变量X和Y相互独立，X~N0,1，Y~N0,1，求随机变量Z=X^2+Y^2的分布（25分）【解析】由于X和Y相互独立且同分布为标准正态分布，根据χ^2分布的性质，Z=X^2+Y^2服从自由度为2的χ^2分布，即Z~χ^22

八、标准答案（在试卷最后一页附上）

一、单选题

1.A

2.C

3.B

4.C

5.A

6.D

7.C

8.C

9.B

10.C

二、多选题

1.A

2.A、B、D

3.A、B、C、D

4.A、B、C

5.A

三、填空题

1.1/2√x

2.收敛

3.

04.[[2,-1],[-3,1]]

5.χ^22

四、判断题

1.√

2.√

3.×

4.×

5.√

五、简答题

1.拉格朗日中值定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a

2.线性回归模型的基本假设包括线性关系、独立性、方差齐性和正态性

六、分析题

1.函数fx在0,2内单调递减，在2,3内单调递增fx在x=0和x=3处取得极大值2，在x=2处取得极小值-

22.X+Y~N2μ,2σ^2

七、综合应用题

1.a=3，b=-3fx在x=1+√2处取得极大值-4-3√2，在x=1-√2处取得极小值-4+3√

22.Z=X^2+Y^2~χ^22。