考研高数真题及精准答案解析

考研高数真题及精准答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数在x=0处不可导的是（）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=x^3D.fx=sinx【答案】A【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.极限limx→0e^x-1/x的值是（）A.0B.1C.eD.无穷大【答案】B【解析】利用洛必达法则，limx→0e^x-1/x=limx→0e^x=

13.函数fx=lnx+1在区间-1,0内的图形是（）A.上升且凹B.下降且凸C.上升且凸D.下降且凹【答案】C【解析】fx=1/x+10，fx=-1/x+1^

204.积分∫0toπsin^2xdx的值是（）A.π/2B.πC.π/4D.2π【答案】A【解析】∫0toπsin^2xdx=∫0toπ1-cos2x/2dx=π/

25.级数∑n=1to∞1/2^n的收敛性是（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.不确定【答案】C【解析】这是一个等比级数，公比|1/2|1，故绝对收敛

6.矩阵A=|12;34|的逆矩阵是（）A.|1-2;-34|B.|-12;3-4|C.|4-2;-31|D.|42;-31|【答案】B【解析】|A|=14-23=-2，A^-1=-1/2|4-2;-31|=|-12;3-4|

7.向量场F=x,y,z在点1,1,1处的旋度是（）A.1,1,1B.1,1,0C.0,0,1D.0,0,0【答案】D【解析】∇×F=∂z/∂y-∂y/∂z、∂x/∂z-∂z/∂x、∂y/∂x-∂x/∂y=0-

0、0-

0、0-0=0,0,

08.曲线y=√x在点4,2处的曲率是（）A.1/4B.1/8C.1/2D.1/16【答案】A【解析】y=1/2√x，y=-1/4x^3/2，k=y/|1+y^2|在x=4时为1/

49.微分方程y-4y=0的通解是（）A.y=C1e^2x+C2e^-2xB.y=C1sin2x+C2cos2xC.y=C1e^x+C2e^-xD.y=C1x+C2【答案】A【解析】特征方程r^2-4=0的根为±2，通解为y=C1e^2x+C2e^-2x

10.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）A.2B.0C.-2D.8【答案】D【解析】fx=3x^2-3，驻点x=±1，f-2=-2，f-1=2，f1=-2，f2=8，最大值为8

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是定积分的性质？（）A.∫atobkfxdx=k∫atobfxdxB.∫atob[fx+gx]dx=∫atobfxdx+∫atobgxdxC.∫atobfxdx=∫btoafxdxD.∫atocfxdx=∫atobfxdx+∫btocfxdx【答案】A、B、D【解析】C选项中定积分上下限互换，值取相反数，不满足交换律

2.以下哪些函数在定义域内连续？（）A.fx=sinxB.fx=1/xC.fx=x^2D.fx=e^x【答案】A、C、D【解析】fx=1/x在x=0处不连续，其他函数在其定义域内连续

3.以下哪些是可积函数？（）A.fx=sin1/x在0,1B.fx=1/x^2在1,2C.fx=xsinx在0,πD.fx=|x|在-1,1【答案】C、D【解析】A、B在相应区间无界，不可积

4.以下哪些级数收敛？（）A.∑n=1to∞1/n^2B.∑n=1to∞1/nC.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞1/2^n【答案】A、C、D【解析】B为调和级数，发散

5.以下哪些向量组线性无关？（）A.{1,0,

0、0,1,

0、0,0,1}B.{1,0,

0、1,1,

0、1,1,1}C.{1,1,

1、1,2,

3、1,3,6}D.{1,1,

1、2,2,

2、3,3,3}【答案】A、B、C【解析】D中向量线性相关，第三个向量是前两个向量的和

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式的前三项是______【答案】1+x+x^2/2（4分）

2.矩阵A=|12;34|的特征值是______和______【答案】1和-3（4分）

3.曲线y=x^3在点1,1处的法线方程是______【答案】x+y=2（4分）

4.级数∑n=1to∞1/3^n的前n项和的极限是______【答案】3/2（4分）

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有界（）【答案】（√）【解析】根据闭区间上连续函数的性质，连续函数在闭区间上必有界

2.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞|a_n|也收敛（）【答案】（×）【解析】收敛级数不一定绝对收敛，如条件收敛的交错级数

3.若函数fx在x=c处可导，则它在x=c处必连续（）【答案】（√）【解析】可导必连续，这是导数定义的基本要求

4.若矩阵A可逆，则其转置矩阵A^T也可逆（）【答案】（√）【解析】可逆矩阵的转置矩阵也可逆，逆矩阵为转置逆

5.若向量组{v1,v2,v3}线性相关，则其中任一向量都可由其他向量线性表示（）【答案】（√）【解析】线性相关向量组中存在非零解，任一向量可由其他向量线性表示

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述洛必达法则的适用条件【答案】

（1）极限形式为0/0或∞/∞

（2）分子分母导数存在且极限存在或为无穷大

（3）连续使用洛必达法则，直到得到确定极限或不再满足条件

2.简述矩阵可逆的充要条件【答案】

（1）矩阵为方阵

（2）行列式不为零

（3）存在逆矩阵，满足AA^-1=I

（4）矩阵秩等于阶数

3.简述定积分的几何意义【答案】

（1）表示曲线与x轴及两条直线围成的面积

（2）可表示各种累积量，如位移、功等

（3）可表示函数在区间上的平均值

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,4]上的单调性和极值【答案】

（1）fx=3x^2-6x，驻点x=0,2

（2）f-10，f10，f30，区间[-1,0单调增，0,2单调减，2,4]单调增

（3）极大值f0=2，极小值f2=-

22.分析级数∑n=1to∞-1^n+1/n^p的收敛性【答案】

（1）当p1时，绝对收敛

（2）当0p≤1时，条件收敛

（3）当p≤0时，发散

（4）利用交错级数判别法，当p0时收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^2-4x+3，求

（1）fx在区间[1,3]上的平均值

（2）fx在区间[1,3]上的最大值和最小值

（3）画出fx的图形【答案】

（1）平均值=∫1to3x^2-4x+3dx/3-1=-2/3/2=-1/3

（2）fx=2x-4，驻点x=2，f1=0，f2=-1，f3=0，最小值-1，最大值0

（3）图形为开口向上的抛物线，顶点2,-1，x=1和x=3处与x轴相交

2.已知向量场F=y^2-2x,y^3-x^2,2z，求

（1）F在点1,1,1处的散度

（2）F在点1,1,1处的旋度

（3）F是否为保守场【答案】

（1）∇·F=∂y^2-2x/∂x+∂y^3/∂y+∂2z/∂z=-2+3+2=3

（2）∇×F=-∂2z/∂y+∂y^3/∂z、∂2z/∂z-∂y^2-2x/∂z、∂y^2-2x/∂y-∂y^3/∂x=-0-

0、0-

0、2y-3y^2=-

0、

0、2y-3y^2，在1,1,1处为-1,0,-1

（3）F不是保守场，因为旋度不为零---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.C

4.A

5.C

6.B

7.D

8.A

9.A

10.D

二、多选题

1.A、B、D

2.A、C、D

3.C、D

4.A、C、D

5.A、B、C

三、填空题

1.1+x+x^2/

22.1和-

33.x+y=

24.3/2

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.见答案

2.见答案。