聚焦考研三角函数真题及详细答案剖析

聚焦考研三角函数真题及详细答案剖析

一、单选题

1.在直角坐标系中，点Pa,b关于直线y=x对称的点的坐标是（）（2分）A.a,bB.b,aC.-a,-bD.-b,-a【答案】B【解析】点Pa,b关于直线y=x对称的点的坐标是将横纵坐标互换，即b,a

2.函数y=2sin3x+π/6的最小正周期是（）（1分）A.2πB.3πC.2π/3D.π/3【答案】C【解析】函数y=Asinωx+φ的周期T=2π/|ω|，所以y=2sin3x+π/6的周期T=2π/

33.若sinα+cosα=√2，则sin^2α+cos^2α的值是（）（2分）A.1B.2C.√2D.0【答案】A【解析】sin^2α+cos^2α恒等于1，这是三角函数的基本恒等式

4.函数y=tan2x-π/4的图像的一个对称中心是（）（2分）A.π/8,0B.π/4,0C.3π/8,0D.π/2,0【答案】C【解析】函数y=tanωx+φ的图像的对称中心满足ωx+φ=kπ，取k=0，得x=-φ/ω，即对称中心为3π/8,

05.下列函数中，在区间0,π/2内单调递增的是（）（2分）A.y=cosxB.y=sinxC.y=tanxD.y=secx【答案】C【解析】在区间0,π/2内，y=tanx是单调递增的

6.已知sinα+β=1/2，sinβ=-1/2，且α和β都是锐角，则cosα-β的值是（）（2分）A.1B.-1C.√3/2D.-√3/2【答案】A【解析】由sinα+β=1/2和sinβ=-1/2，利用和差角公式可求得cosα-β=

17.函数y=cos^2x-sin^2x的最小正周期是（）（1分）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】B【解析】函数y=cos^2x-sin^2x可以化简为y=cos2x，其周期为2π

8.函数y=2cos3x-π/3的图像向右平移π/3个单位后，得到的函数是（）（2分）A.y=2cos3xB.y=2cos3x+π/3C.y=2cos3x-πD.y=2cos3x-2π/3【答案】D【解析】函数y=2cos3x-π/3向右平移π/3个单位，相当于将x替换为x-π/3，得到y=2cos[3x-π/3]=2cos3x-π

9.已知cosα=1/2，α在第四象限，则sinα/2的值是（）（2分）A.1/2B.-1/2C.√3/2D.-√3/2【答案】B【解析】由cosα=1/2，α在第四象限，可得sinα=-√3/2，利用半角公式sinα/2=±√[1-cosα/2]，由于α在第四象限，α/2在第二象限，sinα/2为正，所以sinα/2=-1/

210.函数y=3sin2x+π/4的振幅是（）（1分）A.3B.2C.√2D.1【答案】A【解析】函数y=Asinωx+φ的振幅为|A|，所以y=3sin2x+π/4的振幅是3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列等式中，正确的是？（）A.sinα+β=sinα+sinβB.cosα-β=cosα-cosβC.sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβD.cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβE.tanα+β=tanα+tanβ【答案】C、D【解析】sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ，cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ，tanα+β=tanα+tanβ/1-tanαtanβ

2.函数y=2sin3x-π/4的图像具有的性质有？（）A.周期是2π/3B.振幅是2C.对称轴方程是x=π/4+kπ/3D.对称中心是π/4,0E.在区间π/4,5π/12内单调递增【答案】A、B、C【解析】周期是2π/3，振幅是2，对称轴方程是x=π/4+kπ/3，对称中心是π/4+kπ/3,0，在区间π/4,5π/12内函数不是单调递增的

3.已知sinα=1/3，α在第二象限，则cosα/2和tanα/2的值分别是？（）A.cosα/2=√6/3B.cosα/2=-√6/3C.tanα/2=√2/4D.tanα/2=-√2/4【答案】B、D【解析】由sinα=1/3，α在第二象限，可得cosα=-√8/3，利用半角公式cosα/2=±√[1+cosα/2]，tanα/2=sinα/2/cosα/2，由于α在第二象限，α/2在第一象限，cosα/2和tanα/2为正，所以cosα/2=-√6/3，tanα/2=-√2/

44.函数y=cos^2x-sin^2x的图像具有的性质有？（）A.周期是πB.振幅是1C.对称轴方程是x=π/2+kπD.对称中心是π/2,0E.在区间0,π/2内单调递减【答案】A、B、C【解析】周期是π，振幅是1，对称轴方程是x=π/2+kπ，对称中心是π/2+kπ,0，在区间0,π/2内函数不是单调递减的

5.已知sinα+β=1/2，sinβ=-1/2，且α和β都是锐角，则cosα和sinα的值分别是？（）A.cosα=√3/2B.cosα=-√3/2C.sinα=1/2D.sinα=-1/2【答案】A、C【解析】由sinα+β=1/2和sinβ=-1/2，利用和差角公式可求得cosα=√3/2，sinα=1/2

三、填空题

1.若sinα+cosα=√3，则sin^2α-cos^2α的值是______（4分）【答案】√3【解析】由sinα+cosα=√3，两边平方得sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=3，即2sinαcosα=2，所以sin^2α-cos^2α=sinα+cosαsinα-cosα=√3×-√3=√

32.函数y=2sin3x-π/4的振幅是______，周期是______，对称轴方程是______（8分）【答案】2，2π/3，x=π/4+kπ/3【解析】振幅是2，周期是2π/3，对称轴方程是x=π/4+kπ/

33.已知sinα=1/3，α在第二象限，则cosα的值是______，tanα的值是______（4分）【答案】-√8/3，-√2/8【解析】由sinα=1/3，α在第二象限，可得cosα=-√8/3，tanα=sinα/cosα=-√2/

84.函数y=cos^2x-sin^2x的图像关于______对称（2分）【答案】x=π/2+kπ【解析】函数y=cos^2x-sin^2x的图像关于x=π/2+kπ对称

5.若sinα+β=1/2，sinβ=-1/2，且α和β都是锐角，则cosα-β的值是______（4分）【答案】1【解析】由sinα+β=1/2和sinβ=-1/2，利用和差角公式可求得cosα-β=1

四、判断题

1.若sinα=cosβ，则α和β一定相等（）（2分）【答案】（×）【解析】若sinα=cosβ，则α和β可以相差kπ，即α=β+kπ

2.函数y=tanx在区间π/2,π内是单调递增的（）（2分）【答案】（×）【解析】函数y=tanx在区间π/2,π内是单调递减的

3.函数y=2sin3x-π/4的图像向左平移π/3个单位后，得到的函数是y=2sin3x+π/12（）（2分）【答案】（×）【解析】函数y=2sin3x-π/4向左平移π/3个单位后，相当于将x替换为x+π/3，得到y=2sin[3x+π/3-π/4]=2sin3x+π

4.若sinα=1/2，α在第一象限，则cosα/2的值是1/2（）（2分）【答案】（×）【解析】由sinα=1/2，α在第一象限，可得cosα=√3/2，利用半角公式cosα/2=√[1+cosα/2]，所以cosα/2=√6/

45.函数y=cos^2x-sin^2x的图像关于原点对称（）（2分）【答案】（×）【解析】函数y=cos^2x-sin^2x的图像关于x=π/2+kπ对称，不关于原点对称

五、简答题

1.求函数y=2sin3x-π/4的最小正周期、振幅和对称轴方程（5分）【答案】最小正周期是2π/3，振幅是2，对称轴方程是x=π/4+kπ/3【解析】最小正周期是2π/3，振幅是2，对称轴方程是x=π/4+kπ/

32.已知sinα=1/3，α在第二象限，求cosα和tanα的值（4分）【答案】cosα=-√8/3，tanα=-√2/8【解析】由sinα=1/3，α在第二象限，可得cosα=-√8/3，tanα=sinα/cosα=-√2/

83.函数y=cos^2x-sin^2x的图像具有哪些性质？（3分）【答案】周期是π，振幅是1，对称轴方程是x=π/2+kπ【解析】周期是π，振幅是1，对称轴方程是x=π/2+kπ

六、分析题

1.已知sinα+β=1/2，sinβ=-1/2，且α和β都是锐角，求cosα和sinα的值（10分）【答案】cosα=√3/2，sinα=1/2【解析】由sinα+β=1/2和sinβ=-1/2，利用和差角公式可求得cosα+β=√3/2，cosα=cosα+βcosβ+sinα+βsinβ=√3/2×-√3/2+1/2×-1/2=√3/2，sinα=sinα+βcosβ-cosα+βsinβ=1/2×-√3/2-√3/2×-1/2=1/

22.函数y=2sin3x-π/4的图像向右平移π/3个单位后，得到的函数是y=2sin3x-π/12，求原函数的最小正周期、振幅和对称轴方程（10分）【答案】最小正周期是2π/3，振幅是2，对称轴方程是x=π/4+kπ/3【解析】原函数y=2sin3x-π/4的最小正周期是2π/3，振幅是2，对称轴方程是x=π/4+kπ/3

七、综合应用题

1.已知函数y=2sin3x-π/4和y=cos3x+π/6，求这两个函数的图像的交点坐标（20分）【答案】交点坐标为π/12,√2/2和7π/12,-√2/2【解析】令2sin3x-π/4=cos3x+π/6，化简得sin3x-π/4-cos3x+π/6=0，利用和差角公式可求得x=π/12和x=7π/12，代入原函数可得交点坐标为π/12,√2/2和7π/12,-√2/2---标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.A

4.C

5.C

6.A

7.B

8.D

9.B

10.A

二、多选题

1.C、D

2.A、B、C

3.B、D

4.A、B、C

5.A、C

三、填空题

1.√

32.2，2π/3，x=π/4+kπ/

33.-√8/3，-√2/

84.x=π/2+kπ

5.1

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.最小正周期是2π/3，振幅是2，对称轴方程是x=π/4+kπ/

32.cosα=-√8/3，tanα=-√2/

83.周期是π，振幅是1，对称轴方程是x=π/2+kπ

六、分析题

1.cosα=√3/2，sinα=1/

22.最小正周期是2π/3，振幅是2，对称轴方程是x=π/4+kπ/3

七、综合应用题

1.交点坐标为π/12,√2/2和7π/12,-√2/2。