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自考概率论精选考试题及答案解析
一、单选题
1.袋中有5个红球，4个白球，从中任取3个，则取得3个红球的概率为（）（2分）A.5/27B.5/12C.5/9D.10/21【答案】B【解析】从9个球中取3个的总取法为C9,3=84种，其中3个红球的取法为C5,3=10种，故概率为10/84=5/42选项B最接近正确答案，但计算有误，正确答案应为5/
422.随机变量X的分布列为X012P1/31/61/2则EX等于（）（1分）A.1B.5/3C.2D.3【答案】C【解析】EX=0×1/3+1×1/6+2×1/2=5/
33.若事件A的概率PA=
0.6，事件B的概率PB=
0.7，且A、B独立，则PA∪B等于（）（2分）A.
0.28B.
0.88C.
0.94D.
0.42【答案】C【解析】PA∪B=PA+PB-PAPB=
0.6+
0.7-
0.6×
0.7=
0.
944.随机变量X服从标准正态分布N0,1，则PX1等于（）（2分）A.
0.1587B.
0.8413C.
0.5D.
0.3413【答案】A【解析】PX1=1-PX≤1=1-
0.8413=
0.
15875.一批产品中有10%的次品，现从中随机抽取4件，则至少有一件次品的概率为（）（2分）A.
0.1B.
0.6561C.
0.3439D.
0.9【答案】B【解析】至少有一件次品的概率=1-没有次品的概率=1-
0.9^4=
0.
65616.设随机变量X的方差为σ^2，则X的标准化变量Y=X-EX/σ的方差为（）（1分）A.σ^2B.1C.0D.σ【答案】B【解析】VarY=VarX-EX/σ=1/σ^2VarX=1/σ^2σ^2=
17.设事件A、B互斥，PA=
0.3，PB=
0.4，则PA|B等于（）（2分）A.0B.
0.3C.
0.4D.
0.7【答案】A【解析】A、B互斥，则PA∩B=0，故PA|B=PA∩B/PB=
08.设随机变量X的期望为2，方差为4，则随机变量Y=3X-5的期望和方差分别为（）（2分）A.1,36B.1,4C.1,12D.1,9【答案】C【解析】EY=3EX-5=3×2-5=1，VarY=9VarX=9×4=
369.若随机变量X的概率密度函数为fx=1/2e^{-x/2}（x≥0），则X的期望为（）（2分）A.1B.2C.1/2D.4【答案】B【解析】EX=∫_{0}^{+∞}x·1/2e^{-x/2}dx=
210.设随机变量X、Y独立，且X~N1,9，Y~N0,4，则Z=2X-Y的分布为（）（2分）A.N2,13B.N1,13C.N2,5D.N1,5【答案】C【解析】EZ=2EX-EY=2×1-0=2，VarZ=4VarX+VarY=4×9+4=40
二、多选题（每题4分，共20分）
1.以下哪些是随机事件？（）A.掷一枚硬币，出现正面B.掷一颗骰子，出现点数为7C.从一副扑克牌中抽一张红桃D.从标准正态分布中随机取一个值小于0【答案】A、C、D【解析】随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件B是不可能事件
2.以下哪些是随机变量的性质？（）A.期望的线性性质B.方差的非负性C.独立随机变量的和的方差D.随机变量的概率密度函数必须非负【答案】A、B、C、D【解析】这些都是随机变量的基本性质
3.以下哪些分布是常见的离散分布？（）A.二项分布B.泊松分布C.正态分布D.几何分布【答案】A、B、D【解析】正态分布是连续分布
4.以下哪些是条件概率的性质？（）A.PA|B=PAB.PA|B+PA|B=1C.PA|B≥0D.PA|B=PA∩B/PB【答案】B、C、D【解析】A不一定成立
5.以下哪些是期望的性质？（）A.EaX+b=aEX+bB.EX+Y=EX+EYC.EXY=EXEYD.EX^2=EX^2【答案】A、B【解析】C只对独立随机变量成立，D不一定成立
三、填空题
1.若事件A、B相互独立，PA=
0.6，PB=
0.7，则PA∩B等于______（2分）【答案】
0.
422.随机变量X的期望为3，方差为4，则EX^2等于______（2分）【答案】
253.设随机变量X服从二项分布Bn,p，且EX=6，VarX=4，则n和p的值分别为______和______（4分）【答案】12,1/
24.若随机变量X的概率密度函数为fx=2x（0≤x≤1），则P
0.5X1等于______（4分）【答案】
0.
255.设随机变量X、Y独立，且X~N1,4，Y~N0,9，则EXY等于______（4分）【答案】0
四、判断题
1.若事件A、B互斥，则PA|B=0（）（2分）【答案】（√）【解析】A、B互斥，则PA∩B=0，故PA|B=PA∩B/PB=
02.随机变量的期望一定存在（）（2分）【答案】（×）【解析】有些随机变量的期望可能不存在，如Cauchy分布
3.若随机变量X、Y独立，则PX≤x,Y≤y=PX≤xPY≤y（）（2分）【答案】（√）【解析】独立性定义就是指随机变量的取值相互不影响
4.随机变量的方差一定是非负的（）（2分）【答案】（√）【解析】方差的定义是E[X-EX^2]，平方项一定非负
5.若随机变量X的概率密度函数为fx，则∫_{-∞}^{+∞}fxdx=1（）（2分）【答案】（√）【解析】概率密度函数的积分为1是概率密度的基本性质
五、简答题
1.简述随机变量的期望和方差的意义（5分）【答案】期望是随机变量取值的平均值，反映了随机变量的集中趋势；方差是随机变量取值与期望差的平方的平均值，反映了随机变量的离散程度期望和方差是描述随机变量分布特征的两个重要参数
2.简述独立随机变量的性质（5分）【答案】独立随机变量是指随机变量的取值相互不影响独立随机变量的性质包括期望的线性性质成立，方差的加和性质成立，积的期望等于期望的积（仅对独立成立），条件概率等于原概率等
3.简述二项分布的定义和性质（5分）【答案】二项分布是描述n次独立重复试验中事件A发生k次的概率分布性质包括期望为np，方差为np1-p，是离散分布，是二项式展开的离散模拟
六、分析题
1.分析随机变量的期望和方差在统计学中的重要性（10分）【答案】期望和方差是统计学中的两个重要参数，期望反映了数据的集中趋势，方差反映了数据的离散程度在参数估计、假设检验、置信区间等统计推断中，期望和方差是构建统计模型的基础例如，在正态分布中，期望决定了分布的位置，方差决定了分布的形状；在参数估计中，无偏估计量的方差越小，估计越精确；在假设检验中，检验统计量的分布依赖于总体的期望和方差等
2.分析独立随机变量在概率论中的作用（10分）【答案】独立随机变量在概率论中起着重要作用首先，独立性是概率论中最基本的概念之一，是许多概率模型和理论的基础其次，独立随机变量的性质使得概率计算和统计推断大大简化例如，独立随机变量的和的分布可以由各自的分布决定，独立随机变量的积的期望等于期望的积等最后，在实际应用中，许多随机现象可以近似看作是独立随机变量的组合，如股票价格、保险理赔等
七、综合应用题
1.某射手每次射击命中目标的概率为
0.8，现连续射击5次，求至少命中3次的概率（25分）【答案】设X为5次射击中命中的次数，X~B5,
0.8至少命中3次的概率为PX≥3=PX=3+PX=4+PX=5PX=3=C5,3×
0.8^3×
0.2^2=10×
0.512×
0.04=
0.2048PX=4=C5,4×
0.8^4×
0.2^1=5×
0.4096×
0.2=
0.4096PX=5=C5,5×
0.8^5×
0.2^0=1×
0.32768×1=
0.32768故PX≥3=
0.2048+
0.4096+
0.32768=
0.
942082.设随机变量X的概率密度函数为fx=2x（0≤x≤1），求X的期望和方差（25分）【答案】EX=∫_{0}^{1}x·2xdx=2∫_{0}^{1}x^2dx=2×1/3x^3|_{0}^{1}=2/3EX^2=∫_{0}^{1}x^2·2xdx=2∫_{0}^{1}x^3dx=2×1/4x^4|_{0}^{1}=1/2VarX=EX^2-[EX]^2=1/2-2/3^2=1/2-4/9=1/18。
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