荣成三中数学竞赛题目与答案展示

荣成三中数学竞赛题目与答案展示

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_3=8，则a_5等于（）（2分）A.12B.14C.16D.18【答案】C【解析】由等差数列性质，a_3=a_1+2d，得8=2+2d，解得d=3所以a_5=a_1+4d=2+4×3=

142.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点距离

33.若复数z满足z^2=1，则z的取值是（）（2分）A.1B.-1C.1或-1D.i或-i【答案】C【解析】解方程z^2=1，得z=±

14.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积为（）（2分）A.15πB.20πC.25πD.30π【答案】A【解析】侧面积=πrl=π×3×5=15π

5.若sinα=1/2，且α为第二象限角，则cosα的值为（）（2分）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】由sin^2α+cos^2α=1，得cosα=-√1-sin^2α=-√1-1/2^2=-√3/

26.已知A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值是（）（2分）A.1B.2C.1或1/2D.1或2【答案】D【解析】A={1,2}，若B=∅，则a=0；若B={1}，则a=1；若B={2}，则a=1/2综上，a=0或1/2或

17.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√3，c=1，则角B的大小是（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】C【解析】由余弦定理，cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+1-3/2×2×1=1/2，得B=60°

8.设函数fx=x^3-3x^2+2，则fx在区间[-1,3]上的最大值是（）（2分）A.0B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或2比较f-1=0，f0=2，f2=-2，f3=2，最大值为

39.在直角坐标系中，点Pa,b关于直线x-y=0对称的点的坐标是（）（2分）A.a,bB.b,aC.-a,-bD.-b,-a【答案】B【解析】点P关于y=x的对称点为b,a

10.执行以下程序段后，变量s的值是（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhile（2分）A.3B.8C.15D.10【答案】B【解析】i=1,s=1;i=3,s=4;i=5,s=8最终s=8

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若sinα=sinβ，则α=βD.若|a|=|b|，则a=bE.等腰三角形的底角相等【答案】A、E【解析】A正确，空集是任何集合的子集；B错误，如a=-2b=-3，但a^2=4b^2=9；C错误，sinα=sinβ推不出α=β+2kπ或α=π-β；D错误，|a|=|b|推不出a=b，如a=1,b=-1；E正确，等腰三角形的底角相等

2.函数y=1/x-1的图像具有的性质有（）（4分）A.关于原点对称B.关于y轴对称C.在定义域内单调递减D.与直线x=1垂直E.是奇函数【答案】B、D【解析】y=1/x-1图像关于y=x对称，不是关于原点或y轴对称，也不是奇函数；在x1和x1时分别单调递减；与直线x=1垂直

3.以下数列中，是等比数列的有（）（4分）A.{a_n}，其中a_n=2nB.{b_n}，其中b_n=3^nC.{c_n}，其中c_n=2n+1D.{d_n}，其中d_n=2^nE.{e_n}，其中e_n=n^2【答案】B、D【解析】B中b_{n+1}/b_n=3^n+1/3^n=3为常数；D中d_{n+1}/d_n=2^n+1/2^n=2为常数其他数列不是等比数列

4.在△ABC中，若fA=sinAcosA，则fA的最大值是（）（4分）A.1/2B.1/4C.1/8D.sqrt2/4E.sqrt3/4【答案】A【解析】fA=1/2sin2A，最大值为1/

25.以下不等式成立的有（）（4分）A.-3^2-2^2B.log_23log_24C.1/2^-31/3^-3D.a^2+b^2≥2abE.√2+√3√5【答案】C、D、E【解析】A错误，94；B错误，log_232；C正确，1/827；D正确，a^2+b^2-2ab=a-b^2≥0；E正确，√2+√3√5

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若复数z=1+i，则|z|的值是______（4分）【答案】√2【解析】|z|=√1^2+1^2=√

22.函数fx=|x-1|+|x+2|在x=______时取得最小值3（4分）【答案】-1/2【解析】fx在x=-1/2时取得最小值

33.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√3，c=1，则cosB的值是______（4分）【答案】1/2【解析】由余弦定理，cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+1-3/2×2×1=1/

24.等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_5=13，则其通项公式a_n=______（4分）【答案】2n+3【解析】由a_5=a_1+4d，得13=5+4d，解得d=2所以a_n=a_1+n-1d=5+n-1×2=2n+

35.执行以下程序段后，变量s的值是______（4分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhile（4分）【答案】8【解析】i=1,s=1;i=3,s=4;i=5,s=8最终s=8

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-2b=-3，但a^2=4b^2=

92.等腰三角形的底角相等（）（2分）【答案】（√）【解析】等腰三角形的底角相等是基本性质

3.若|a|=|b|，则a=b（）（2分）【答案】（×）【解析】|a|=|b|推不出a=b，如a=1,b=-

14.空集是任何集合的子集（）（2分）【答案】（√）【解析】空集是任何集合的子集和真子集

5.函数y=1/x-1是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】函数图像不关于原点对称，不是奇函数

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值为3，最小值为-2【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或2比较f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2，最大值为3，最小值为-

22.已知A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，求a的取值集合（5分）【答案】{0,1,1/2}【解析】A={1,2}，若B=∅，则a=0；若B={1}，则a=1；若B={2}，则a=1/2综上，a=0或1/2或

13.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√3，c=1，求cosA和cosC的值（5分）【答案】cosA=3/4，cosC=5/4【解析】由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=3+1-4/2×√3×1=0；cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=4+3-1/2×2×√3=5/4

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=|x-1|+|x+2|，（10分）

（1）作出函数的图像；（5分）

（2）求函数的最小值及取得最小值时的x的值（5分）【答案】

（1）图像由三段直线组成x≤-2时，y=-x+2-x=-2x-4；-2x1时，y=-x+2+x-1=-3；x≥1时，y=x-1+x+2=2x+1

（2）最小值为-3，取得最小值时的x的值是-2x

12.已知数列{a_n}是等比数列，a_1=3，a_5=81，求（10分）

（1）数列的公比q；（5分）

（2）数列的通项公式a_n；（5分）【答案】

（1）由a_5=a_1q^4，得81=3q^4，解得q=3

（2）a_n=a_1q^n-1=3×3^n-1=3^n

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√3，c=1，求（25分）

（1）cosB的值；（5分）

（2）角B的大小；（5分）

（3）△ABC的面积S（5分）

（4）若D是BC边上的中点，求AD的长度（5分）【答案】

（1）cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+1-3/2×2×1=1/2

（2）B=60°

（3）S=1/2acsinB=1/2×2×1×√3/2=√3/2

（4）AD=√a^2+c/2^2-2×a×c/2cosB=√4+1/4-2=√17/4=√17/

22.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求（25分）

（1）函数的极值点；（5分）

（2）函数的单调区间；（5分）

（3）函数在区间[-2,3]上的最大值和最小值；（5分）

（4）作出函数在区间[-2,3]上的大致图像（5分）【答案】

（1）fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或2fx=6x-6，f0=-60，f2=60，所以x=0为极大值点，x=2为极小值点

（2）在-∞,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增

（3）f-2=-10，f0=2，f2=-2，f3=2最大值为2，最小值为-10

（4）图像由三段曲线组成x∈[-2,0]时，y=x^3-3x^2+2；x∈0,2]时，y=x^3-3x^2+2；x∈[2,3]时，y=x^3-3x^2+2。