药学大一高等数学单元试题及参考答案

药学大一高等数学单元试题及参考答案

一、单选题（每题1分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处连续的是（）A.y=|x|B.y=2x+1C.y=1/xD.y=lnx+1【答案】B【解析】函数y=2x+1在x=0处连续，因为其左右极限相等且等于函数值

2.极限limx→2x^2-4/x-2的值为（）A.0B.2C.4D.不存在【答案】C【解析】limx→2x^2-4/x-2=limx→2x+2=

43.函数y=3x^2-6x+2的导数为（）A.6x-6B.6xC.3x-6D.3x^2【答案】A【解析】y=6x-

64.若函数fx在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上（）A.必有最大值和最小值B.未必有最大值和最小值C.必有最大值，未必有最小值D.必有最小值，未必有最大值【答案】A【解析】根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最大值和最小值

5.函数y=2^x在x=1处的切线斜率为（）A.2B.1C.log22D.0【答案】A【解析】y=2^xln2，在x=1处斜率为2ln2≈

1.386，最接近选项A

6.下列级数中，收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/n^2D.∑n=1to∞n【答案】C【解析】p-级数∑n=1to∞1/n^p，当p1时收敛，p=2时收敛

7.函数y=arcsinx的导数为（）A.1/√1-x^2B.1/xC.-1/√1-x^2D.x/√1-x^2【答案】A【解析】y=1/√1-x^

28.若fx=x^3-3x+2，则f0的值为（）A.0B.1C.-1D.3【答案】B【解析】fx=3x^2-3，f0=

19.函数y=lnx^2的导数为（）A.1/xB.2/xC.2lnxD.2/x^2【答案】B【解析】y=1/x^22x=2/x

10.下列函数中，原函数为x^2+1的是（）A.2xB.2x^2C.xD.0【答案】A【解析】∫2xdx=x^2+C

11.函数y=sinx在[0,π]上的积分为（）A.1B.0C.-1D.2【答案】B【解析】∫sinxdx=-cosx|_0^π=--1-1=

212.极限limx→0sinx/x的值为（）A.0B.1C.πD.不存在【答案】B【解析】标准极限limx→0sinx/x=

113.函数y=e^x在x=0处的切线方程为（）A.y=x+1B.y=xC.y=e^xD.y=1【答案】A【解析】y=e^x，y0=1，切线方程y=x+

114.若fx是奇函数，则∫-atoafxdx等于（）A.0B.2faC.2f-aD.a^2【答案】A【解析】奇函数在对称区间上的积分为

015.函数y=1/x-1的垂直渐近线为（）A.x=0B.x=1C.y=0D.y=1【答案】B【解析】分母为0时，x=1为垂直渐近线

16.下列极限中，等于1的是（）A.limx→∞1/xB.limx→0sinx/xC.limx→1x^2-1/x-1D.limx→01-cosx/x^2【答案】B【解析】limx→0sinx/x=

117.函数y=cosx在[0,2π]上的最大值为（）A.1B.0C.-1D.π【答案】A【解析】cosx在x=0时取最大值

118.若函数fx在x=x0处可导，则fx在x=x0处（）A.必连续B.必不连续C.可能不连续D.以上都不对【答案】A【解析】可导必连续

19.函数y=2^x的导数为（）A.2^xB.2^xln2C.ln2D.0【答案】B【解析】y=2^xln

220.下列函数中，在x=0处可导的是（）A.y=|x|B.y=x^2C.y=1/xD.y=lnx【答案】B【解析】y=x^2在x=0处可导，y=2x

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在区间[0,1]上连续？（）A.y=x^2B.y=1/xC.y=arcsinxD.y=lnx【答案】A、C、D【解析】y=1/x在x=0处不连续，其他在[0,1]上连续

2.以下哪些函数是偶函数？（）A.y=x^2B.y=cosxC.y=1/xD.y=arctanx【答案】A、B【解析】y=x^2和y=cosx是偶函数

3.以下哪些函数是奇函数？（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=x^3D.y=1/x【答案】A、C、D【解析】y=sinx、y=x^3和y=1/x是奇函数

4.以下哪些级数收敛？（）A.∑n=1to∞-1^n/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/nD.∑n=1to∞-1^n/n^2【答案】B、D【解析】p-级数∑n=1to∞1/n^p，当p1时收敛

5.以下哪些函数在x=0处可导？（）A.y=2xB.y=x^2C.y=|x|D.y=lnx【答案】A、B【解析】y=2x和y=x^2在x=0处可导

三、填空题（每题2分，共16分）

1.函数y=3x^2-6x+2在x=1处的导数为______【答案】0（2分）【解析】y=6x-6，y1=

02.极限limx→3x^2-9/x-3的值为______【答案】6（2分）【解析】limx→3x^2-9/x-3=limx→3x+3=

63.函数y=sin2x的导数为______【答案】2cos2x（2分）【解析】y=2cos2x

4.函数y=lnx^3的导数为______【答案】3/x（2分）【解析】y=1/x^33x^2=3/x

5.若fx=x^3-3x+2，则f2的值为______【答案】9（2分）【解析】fx=3x^2-3，f2=12-3=

96.函数y=2^x在x=1处的切线斜率为______【答案】2ln2（2分）【解析】y=2^xln2，y1=2ln

27.函数y=arctanx的导数为______【答案】1/1+x^2（2分）【解析】y=1/1+x^

28.若fx是奇函数，则∫-1to1fxdx等于______【答案】0（2分）【解析】奇函数在对称区间上的积分为0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个正数相加，和一定比其中一个数大（）【答案】（√）【解析】正数相加，和必大于每个加数

2.函数y=1/x在x=0处连续（）【答案】（×）【解析】y=1/x在x=0处无定义，不连续

3.函数y=sinx是周期函数（）【答案】（√）【解析】sinx具有周期2π

4.若函数fx在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上必有最大值和最小值（）【答案】（√）【解析】根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最大值和最小值

5.函数y=lnx在x=0处可导（）【答案】（×）【解析】y=lnx在x=0处无定义，不可导

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述导数的定义【答案】导数定义函数fx在点x0处的导数fx0定义为limh→0[fx0+h-fx0]/h，若该极限存在

2.简述极限的保号性【答案】保号性若limx→x0fx=A且A0（或A0），则存在δ0，当0|x-x0|δ时，fx0（或fx0）

3.简述函数连续性的定义【答案】连续性定义函数fx在点x0处连续，当且仅当limx→x0fx=fx0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数y=x^3-3x^2+2的单调性和极值【答案】解y=3x^2-6x，令y=0得x=0或x=2当x0时，y0，函数单调递增；当0x2时，y0，函数单调递减；当x2时，y0，函数单调递增极值x=0时，y=2（极大值）；x=2时，y=0（极小值）

2.分析函数y=1/x-1的渐近线【答案】解函数y=1/x-1有垂直渐近线x=1（分母为0时）无水平渐近线，因为当x→±∞时，y→0，但不是水平线，是斜渐近线y=0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫0to1x^2-2x+1dx【答案】解∫0to1x^2-2x+1dx=∫0to1x^2dx-∫0to12xdx+∫0to11dx=1/3x^3|_0^1-x^2|_0^1+x|_0^1=1/3-0-1-0+1-0=1/3-1+1=1/

32.求解微分方程dy/dx=x^2-1，初始条件y0=1【答案】解dy=x^2-1dx∫dy=∫x^2-1dxy=1/3x^3-x+C由y0=1得C=1所以解为y=1/3x^3-x+1---标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.A

4.A

5.A

6.C

7.A

8.B

9.B

10.A

11.B

12.B

13.A

14.A

15.B

16.B

17.A

18.A

19.B

20.B

二、多选题

1.A、C、D

2.A、B

3.A、C、D

4.B、D

5.A、B

三、填空题

1.

02.

63.2cos2x

4.3/x

5.

96.2ln

27.1/1+x^

28.0

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.导数定义函数fx在点x0处的导数fx0定义为limh→0[fx0+h-fx0]/h，若该极限存在

2.保号性若limx→x0fx=A且A0（或A0），则存在δ0，当0|x-x0|δ时，fx0（或fx0）

3.连续性定义函数fx在点x0处连续，当且仅当limx→x0fx=fx0

六、分析题

1.单调性和极值见答案

2.渐近线见答案

七、综合应用题

1.定积分见答案

2.微分方程见答案。