西宁市中数学创新试题及答案一览

西宁市中数学创新试题及答案一览

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点在x轴上，则f-1与f1的大小关系是（）（2分）A.f-1f1B.f-1f1C.f-1=f1D.无法确定【答案】C【解析】函数图象开口向上且顶点在x轴上，说明a0且判别式Δ=b^2-4ac=0此时fx取得最小值0，对称轴为x=-b/2af-1和f1分别是函数在x=-1和x=1时的函数值，由于对称性，f-1=f

12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=c^2且2ab=c^2，则角C的度数是（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】根据题意，a^2+b^2=c^2且2ab=c^2，代入余弦定理cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=-1/2，可得角C=90°

3.某班级有m名男生和n名女生，现要从中选出一名班干部，若选到男生的概率是2/5，则m/n的值是（）（2分）A.2/3B.3/2C.4/5D.5/4【答案】A【解析】选到男生的概率P=男生人数/总人数=m/m+n=2/5，解得m/n=2/

34.将抛物线y=2x^2的图象先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（）（2分）A.y=2x+3^2+2B.y=2x-3^2+2C.y=2x+3^2-2D.y=2x-3^2-2【答案】B【解析】抛物线y=2x^2的顶点为0,0，向左平移3个单位后顶点为-3,0，再向上平移2个单位后顶点为-3,2，解析式为y=2x+3^2+

25.若关于x的一元二次方程x^2+mx+n=0的两个实数根为α和β，且满足α^2+β^2=10，αβ=3，则m的值是（）（2分）A.±4B.±2√7C.±4√2D.±2√3【答案】A【解析】根据根与系数的关系，α+β=-m，αβ=n=3又α^2+β^2=α+β^2-2αβ=m^2-6=10，解得m=±

46.在直角坐标系中，点A1,2关于直线y=x对称的点的坐标是（）（2分）A.1,2B.2,1C.-1,-2D.-2,-1【答案】B【解析】点A1,2关于直线y=x对称的点的坐标为2,

17.若函数fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fx=x^2-2x，则当x0时，fx的解析式是（）（2分）A.-x^2-2xB.x^2-2xC.-x^2+2xD.x^2+2x【答案】C【解析】由于fx是奇函数，当x0时，fx=-f-x=--x^2-2-x=-x^2+2x

8.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2=b^2+c^2-2bccosA，则角A的度数是（）（2分）A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】C【解析】根据题意，a^2=b^2+c^2-2bccosA，由余弦定理可知cosA=0，即角A=90°

9.某校进行体育测试，其中跳远成绩的频率分布直方图如下（每组数据包含组内最小值，不包含组内最大值），则跳远成绩在

2.00-

2.49米之间的频率是（）（2分）（此处应有直方图，但无法绘制，请自行绘制）A.

0.1B.

0.2C.

0.3D.

0.4【答案】B【解析】根据频率分布直方图，跳远成绩在

2.00-

2.49米之间的频率为

0.

210.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+2=0}，且A∪B=A，则实数m的取值范围是（）（2分）A.{1,3}B.{-1,4}C.{1,2,3}D.R【答案】D【解析】集合A={1,2}，由于A∪B=A，则B⊆A解得m=1或m=3或B为空集，即m取值范围为R

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.三个连续偶数的平方和一定能被9整除C.若ab，则√a√bD.一元二次方程x^2+px+q=0有两个相等实数根的充要条件是p^2-4q=0【答案】A、B、D【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A正确；三个连续偶数可表示为2n、2n+

2、2n+4，其平方和为12n^2+24n+16=43n^2+6n+4，一定能被9整除，故B正确；若ab0，则√a√b，但当a、b为负数时，命题不成立，故C错误；一元二次方程x^2+px+q=0有两个相等实数根的充要条件是判别式Δ=p^2-4q=0，故D正确

2.下列函数中，在其定义域内是增函数的有（）（4分）A.y=x^3B.y=1/xC.y=√xD.y=2x+1【答案】A、C、D【解析】函数y=x^3在R上是增函数，故A正确；函数y=1/x在-∞,0和0,+∞上分别单调递减，故B错误；函数y=√x在[0,+∞上是增函数，故C正确；函数y=2x+1在R上是增函数，故D正确

3.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足下列条件中的两个，则第三个不一定成立的有（）（4分）

①a:b:c=3:4:5

②sinA:sinB:sinC=3:4:5

③cosA+cosB+cosC=1A.

①②B.

①③C.

②③D.

①②③【答案】B、C【解析】若a:b:c=3:4:5，则△ABC是直角三角形，cosA=-1/2，cosB=3/4，cosC=3/4，cosA+cosB+cosC=7/4≠1，故

①③不成立；若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则△ABC不一定是直角三角形，故

②③不一定成立；若cosA+cosB+cosC=1，则△ABC不一定是直角三角形，故

①②不一定成立

4.关于x的方程x^2+px+q=0有实数根，则下列结论正确的有（）（4分）A.p^2-4q≥0B.Δ=p^2-4qC.若方程有两个不等实数根，则p0D.若方程有两个负实数根，则q0【答案】A、B、D【解析】一元二次方程x^2+px+q=0有实数根的充要条件是判别式Δ=p^2-4q≥0，故A正确，B正确；若方程有两个不等实数根，则Δ=p^2-4q0，但p的符号不能确定，故C错误；若方程有两个负实数根α、β，则α+β=-p0，αβ=q0，故D正确

5.在直角坐标系中，点A1,2关于直线x+y-1=0对称的点的坐标是（）（4分）A.1,0B.0,1C.-1,0D.0,-1【答案】B【解析】直线x+y-1=0的斜率为-1，点A1,2到直线的垂线方程为y-2=-1x-1，即y=-x+3垂足坐标为1,0，点A关于直线x+y-1=0对称的点的坐标为0,1

三、填空题（每空2分，共16分）

1.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值是______（4分）【答案】3【解析】函数y=|x-1|+|x+2|的图象是V形，最小值为顶点处的纵坐标，即

32.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则cosB=______（4分）【答案】3/5【解析】由余弦定理cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=3^2+5^2-4^2/235=3/

53.若关于x的一元二次方程x^2+mx+n=0的两个实数根为α和β，且满足α+β=4，αβ=3，则m=______，n=______（4分）【答案】-4，3【解析】根据根与系数的关系，m=-4，n=

34.在直角坐标系中，点A1,2关于原点对称的点的坐标是______（4分）【答案】-1,-2【解析】点A1,2关于原点对称的点的坐标为-1,-2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】当ab0或a0b时，a^2b^2；但当0ab时，a^2b^2例如，a=-1，b=0，则a^2=1，b^2=0，a^2b^2不成立

2.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（×）【解析】例如，√2和-√2都是无理数，但它们的和为0，是有理数

3.若关于x的一元二次方程x^2+mx+n=0有两个相等实数根，则m^2-4n=0（）（2分）【答案】（√）【解析】一元二次方程x^2+mx+n=0有两个相等实数根的充要条件是判别式Δ=m^2-4n=

04.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2=b^2+c^2，则△ABC是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】由勾股定理可知，若a^2=b^2+c^2，则△ABC是直角三角形

5.函数y=kx+b（k≠0）是一次函数（）（2分）【答案】（√）【解析】函数y=kx+b（k≠0）是定义在R上的单调函数，是一次函数

五、简答题（每题4分，共12分）

1.解方程x^2-3x-4=0（4分）【答案】x=-1或x=4【解析】因式分解得x-4x+1=0，解得x=-1或x=

42.已知点A1,2和点B3,0，求直线AB的斜率和倾斜角（4分）【答案】斜率k=-1，倾斜角θ=135°【解析】直线AB的斜率k=0-2/3-1=-1，倾斜角θ=arctan-1=135°

3.若集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|x^2-ax+6=0}，且B⊆A，求实数a的取值范围（4分）【答案】a=3或a=5或a∈[-3,3]【解析】集合A={2,3}，当B为空集时，Δ=a^2-240，解得-√24a√24；当B={2}时，代入x=2得a=5；当B={3}时，代入x=3得a=3；当B={2,3}时，a=5或a=3综上，a=3或a=5或a∈[-3,3]

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fx=x^2-2x，求fx的解析式，并判断fx在-∞,0上的单调性（10分）【答案】fx=-x^2-2x（x0），fx在-∞,0上是减函数【解析】由于fx是奇函数，当x0时，fx=-f-x=--x^2-2-x=-x^2-2x任取x1x20，fx1-fx2=x1^2+2x1-x2^2-2x2=x1-x2x1+x2+2x1-x2=x1-x2x1+x2+20，故fx在-∞,0上是减函数

2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足下列条件

（1）a=3，b=4，c=5；

（2）cosA+cosB+cosC=1求△ABC的面积（10分）【答案】面积S=6【解析】由条件

（1）可知△ABC是直角三角形，∠C=90°由条件（2可知cosA+cosB+cosC=1，即cosA+cosB+1=1，cosA+cosB=0由余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=4^2+5^2-3^2/245=12/20=3/5，cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=3^2+5^2-4^2/235=24/30=4/5cosA+cosB=3/5+4/5=7/5≠0，故矛盾重新分析由cosA+cosB=0可知A=B，故△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°，∠C=90°面积S=1/2ab=1/2×3×4=6

七、综合应用题（每题20分，共40分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每生产一件产品的可变成本为20元，售价为50元若工厂计划月产量为x件，求

（1）月成本Cx和月收入Rx的函数关系式；

（2）当月产量x为多少件时，工厂不亏本？（20分）【答案】

（1）Cx=10×10^4+20x，Rx=50x

（2）当Rx≥Cx时，50x≥10×10^4+20x，解得x≥2000，即当月产量x为2000件或更多时，工厂不亏本【解析】

（1）月成本Cx=固定成本+可变成本=10×10^4+20x，月收入Rx=售价×产量=50x

（2）不亏本的条件是月收入≥月成本，即Rx≥Cx50x≥10×10^4+20x，解得x≥2000故当月产量x为2000件或更多时，工厂不亏本

2.在直角坐标系中，点A1,2和点B3,0，求

（1）直线AB的方程；

（2）点C2,y到直线AB的距离d（20分）【答案】

（1）直线AB的方程为x+y-3=0

（2）点C2,y到直线AB的距离d=|2+y-3|/√2=|y-1|/√2【解析】

（1）直线AB的斜率k=0-2/3-1=-1，截距b=2，故直线AB的方程为y=-x+3，即x+y-3=0

（2）点C2,y到直线AB的距离d=|Ax0+By0+C|/√A^2+B^2，其中直线方程为Ax+By+C=0，点x0,y0为2,y代入得d=|12+y0-3|/√1^2+1^2=|2-3|/√2=|y-1|/√2---答案部分---

一、单选题

1.C

2.D

3.A

4.B

5.A

6.B

7.C

8.C

9.B

10.D

二、多选题

1.A、B、D

2.A、C、D

3.B、C

4.A、B、D

5.B

三、填空题

1.

32.3/

53.-4，

34.-1,-2

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.x=-1或x=

42.斜率k=-1，倾斜角θ=135°

3.a=3或a=5或a∈[-3,3]

六、分析题

1.fx=-x^2-2x（x0），fx在-∞,0上是减函数

2.面积S=6

七、综合应用题

1.Cx=10×10^4+20x，Rx=50x，x≥

20002.直线AB的方程为x+y-3=0，d=|y-1|/√2。