解析函数考试题型与配套答案

解析函数考试题型与配套答案

一、单选题

1.下列哪个函数在其定义域内是单调递增的？（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=sinx【答案】A【解析】y=-2x+1是一次函数，斜率为负，图像为直线，在整个定义域内单调递减，故A不符合题意；y=x^2是二次函数，图像为抛物线，开口向上，在x0时单调递增，在x0时单调递减，故B不符合题意；y=1/x是反比例函数，图像为双曲线，在x0时单调递减，在x0时单调递增，故C不符合题意；y=sinx是正弦函数，图像为波浪线，在0到π/2内单调递增，在π/2到π内单调递减，故D不符合题意

2.函数fx=x^3-x在x=0处的导数为（）（1分）A.0B.1C.-1D.3【答案】A【解析】fx=3x^2-1，f0=30^2-1=-1，故A正确

3.函数fx=e^x在x=1处的切线方程为（）（2分）A.y=ex-1B.y=exC.y=e^xD.y=ex+1【答案】A【解析】fx=e^x，f1=e，切点为1,e，所以切线方程为y-e=ex-1，即y=ex-

14.函数fx=lnx在x=1处的导数为（）（1分）A.1B.0C.ln1D.1/x【答案】D【解析】fx=1/x，f1=1/1=1，故D正确

5.函数fx=sinx在x=π/2处的导数为（）（1分）A.0B.1C.-1D.cosπ/2【答案】B【解析】fx=cosx，fπ/2=cosπ/2=0，故B正确

6.函数fx=cosx在x=π处的导数为（）（1分）A.0B.1C.-1D.sinπ【答案】C【解析】fx=-sinx，fπ=-sinπ=0，故C正确

7.函数fx=tanx在x=π/4处的导数为（）（1分）A.1B.√2C.√2/2D.2【答案】B【解析】fx=sec^2x，fπ/4=sec^2π/4=√2，故B正确

8.函数fx=cotx在x=π/4处的导数为（）（1分）A.1B.-√2C.-√2/2D.-2【答案】B【解析】fx=-csc^2x，fπ/4=-csc^2π/4=-√2，故B正确

9.函数fx=arcsinx在x=0处的导数为（）（1分）A.1B.0C.1/√2D.1/2【答案】D【解析】fx=1/√1-x^2，f0=1/√1-0^2=1/2，故D正确

10.函数fx=arccosx在x=0处的导数为（）（1分）A.1B.0C.-1/√2D.-1/2【答案】C【解析】fx=-1/√1-x^2，f0=-1/√1-0^2=-1/2，故C正确

11.函数fx=arctanx在x=0处的导数为（）（1分）A.1B.0C.1/√2D.1/2【答案】D【解析】fx=1/1+x^2，f0=1/1+0^2=1/2，故D正确

12.函数fx=arccotx在x=0处的导数为（）（1分）A.1B.0C.-1/√2D.-1/2【答案】A【解析】fx=-1/1+x^2，f0=-1/1+0^2=-1，故A正确

13.函数fx=log_ax在x=1处的导数为（）（2分）A.0B.1C.log_aaD.1/a【答案】D【解析】fx=1/xlna，f1=1/1lna=1/a，故D正确

14.函数fx=a^x在x=0处的导数为（）（2分）A.0B.1C.log_aaD.lna【答案】B【解析】fx=a^xlna，f0=a^0lna=lna，故B正确

15.函数fx=sinxcosx在x=π/4处的导数为（）（2分）A.1/2B.√2/2C.√2D.1【答案】D【解析】fx=cos^2x-sin^2x，fπ/4=cos^2π/4-sin^2π/4=1/2-1/2=0，故D正确

16.函数fx=sinx+cosx在x=π/4处的导数为（）（2分）A.1B.√2C.√2/2D.0【答案】B【解析】fx=cosx-sinx，fπ/4=cosπ/4-sinπ/4=√2/2-√2/2=0，故B正确

17.函数fx=sinx+cosx在x=π/4处的导数为（）（2分）A.1B.√2C.√2/2D.0【答案】B【解析】fx=cosx-sinx，fπ/4=cosπ/4-sinπ/4=√2/2-√2/2=0，故B正确

18.函数fx=sinx+cosx在x=π/4处的导数为（）（2分）A.1B.√2C.√2/2D.0【答案】B【解析】fx=cosx-sinx，fπ/4=cosπ/4-sinπ/4=√2/2-√2/2=0，故B正确

19.函数fx=sinx+cosx在x=π/4处的导数为（）（2分）A.1B.√2C.√2/2D.0【答案】B【解析】fx=cosx-sinx，fπ/4=cosπ/4-sinπ/4=√2/2-√2/2=0，故B正确

20.函数fx=sinx+cosx在x=π/4处的导数为（）（2分）A.1B.√2C.√2/2D.0【答案】B【解析】fx=cosx-sinx，fπ/4=cosπ/4-sinπ/4=√2/2-√2/2=0，故B正确

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在其定义域内是奇函数？（）A.y=x^3B.y=1/xC.y=sinxD.y=cosxE.y=tanx【答案】A、B、C、E【解析】奇函数满足f-x=-fx，A、B、C、E均满足条件，D不满足，故选A、B、C、E

2.以下哪些函数在其定义域内是偶函数？（）A.y=x^2B.y=1/x^2C.y=cosxD.y=sinxE.y=cotx【答案】A、B、C【解析】偶函数满足f-x=fx，A、B、C均满足条件，D、E不满足，故选A、B、C

3.以下哪些函数在其定义域内是周期函数？（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=tanxD.y=secxE.y=cscx【答案】A、B、C、D、E【解析】周期函数满足fx+T=fx，A、B、C、D、E均满足条件，故选A、B、C、D、E

4.以下哪些函数在其定义域内是单调函数？（）A.y=xB.y=-2x+1C.y=x^2D.y=1/xE.y=lnx【答案】A、B、D、E【解析】单调函数满足在定义域内单调递增或单调递减，A、B、D、E均满足条件，C不满足，故选A、B、D、E

5.以下哪些函数在其定义域内是连续函数？（）A.y=x^2B.y=1/xC.y=√xD.y=lnxE.y=tanx【答案】A、C、D、E【解析】连续函数在定义域内无间断点，A、C、D、E均满足条件，B不满足，故选A、C、D、E

三、填空题

1.函数fx=x^2-4x+3的导数为______（4分）【答案】2x-

42.函数fx=sin2x的导数为______（4分）【答案】2cos2x

3.函数fx=e^3x的导数为______（4分）【答案】3e^3x

4.函数fx=ln3x的导数为______（4分）【答案】1/x

5.函数fx=arctan2x的导数为______（4分）【答案】2/1+4x^

26.函数fx=log_2x的导数为______（4分）【答案】1/xln

27.函数fx=a^x在x=0处的导数为______（4分）【答案】lna

8.函数fx=sinx+cosx在x=π/4处的导数为______（4分）【答案】√

29.函数fx=x^3-x在x=0处的导数为______（4分）【答案】-

110.函数fx=e^x在x=1处的导数为______（4分）【答案】e

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x^2在x=1处的导数为2（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=2x，f1=21=2，故正确

2.函数fx=sinx在x=π/2处的导数为1（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=cosx，fπ/2=cosπ/2=0，故错误

3.函数fx=cosx在x=π处的导数为-1（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=-sinx，fπ=-sinπ=0，故错误

4.函数fx=tanx在x=π/4处的导数为1（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=sec^2x，fπ/4=sec^2π/4=√2，故错误

5.函数fx=cotx在x=π/4处的导数为-1（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=-csc^2x，fπ/4=-csc^2π/4=-√2，故错误

五、简答题（每题2-5分，共10分）

1.简述函数单调性的定义（2分）【答案】函数在某个区间内，如果对于任意两个自变量x1和x2，当x1x2时，总有fx1fx2，则称函数在该区间内单调递增；如果对于任意两个自变量x1和x2，当x1x2时，总有fx1fx2，则称函数在该区间内单调递减

2.简述函数连续性的定义（3分）【答案】函数fx在点x0处连续，当且仅当满足以下三个条件

①fx0存在；

②limx→x0fx存在；

③limx→x0fx=fx

03.简述函数导数的定义（5分）【答案】函数fx在点x0处的导数定义为fx0=limh→0[fx0+h-fx0]/h，其中极限存在如果函数fx在定义域内的每一点都可导，则称函数fx在定义域内可导

六、分析题（每题10-15分，共25分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2x在x=1处的单调性和极值（10分）【答案】fx=3x^2-6x+2，f1=31^2-61+2=-1，fx=6x-6，f1=61-6=0，fx=6，f1=60，故x=1处为极小值点，极小值为f1=1^3-31^2+21=0在x=1左侧单调递增，在x=1右侧单调递减

2.分析函数fx=sinx+cosx在[0,2π]内的单调性和极值（15分）【答案】fx=cosx-sinx，令fx=0，得cosx=sinx，即tanx=1，x=π/4，3π/4fx=-sinx-cosx，fπ/4=-√2/2-√2/2=-√20，故x=π/4处为极大值点，极大值为fπ/4=√2/2+√2/2=√2f3π/4=-√2/2-√2/2=-√20，故x=3π/4处为极小值点，极小值为f3π/4=√2/2-√2/2=0在[0,π/4]内单调递增，在[π/4,3π/4]内单调递减，在[3π/4,2π]内单调递增

七、综合应用题（每题20-25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求函数的导数，并分析函数的单调性和极值（20分）【答案】fx=3x^2-6x+2，令fx=0，得x=1±√3/3fx=6x-6，f1±√3/3=61±√3/3-6=±2√30，故x=1±√3/3处为极值点x=1-√3/3处为极大值点，极大值为f1-√3/3=1-√3/3^3-31-√3/3^2+21-√3/3=2+√3/3x=1+√3/3处为极小值点，极小值为f1+√3/3=1+√3/3^3-31+√3/3^2+21+√3/3=-2-√3/3在-∞,1-√3/3内单调递增，在1-√3/3,1+√3/3内单调递减，在1+√3/3,+∞内单调递增

2.已知函数fx=sinx+cosx，求函数的导数，并分析函数的单调性和极值（25分）【答案】fx=cosx-sinx，令fx=0，得cosx=sinx，即tanx=1，x=π/4，3π/4fx=-sinx-cosx，fπ/4=-√2/2-√2/2=-√20，故x=π/4处为极大值点，极大值为fπ/4=√2/2+√2/2=√2f3π/4=-√2/2-√2/2=-√20，故x=3π/4处为极小值点，极小值为f3π/4=√2/2-√2/2=0在[0,π/4]内单调递增，在[π/4,3π/4]内单调递减，在[3π/4,2π]内单调递增---答案结束---。