速水入学考试难题及答案揭秘

速水入学考试难题及答案揭秘

一、单选题

1.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）（2分）A.y=2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=2^x【答案】C【解析】函数y=1/x在区间（0，+∞）上单调递减

2.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_2=7，则a_5的值为（）（2分）A.13B.15C.17D.19【答案】C【解析】由等差数列性质得，a_2-a_1=a_5-a_4，所以a_5=a_4+a_2-a_1又因为a_2-a_1=4，所以a_5=a_4+4又因为a_1=3，a_2=7，所以a_4=a_3+4=7，所以a_5=11+4=15所以a_5的值为

173.在直角坐标系中，点Pa，b到原点的距离为（）（2分）A.|a|B.|b|C.√a^2+b^2D.a+b【答案】C【解析】点Pa，b到原点的距离为√a^2+b^

24.若sinθ=1/2，且θ是第二象限的角，则cosθ的值为（）（2分）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】由sinθ=1/2，且θ是第二象限的角，得cosθ=-√1-sin^2θ=-√3/

25.以下哪个是勾股定理的逆定理？（）（2分）A.a^2+b^2=c^2B.c^2=a^2+b^2C.a^2=c^2-b^2D.a+b^2=c^2【答案】B【解析】勾股定理的逆定理是如果三角形的三边长a，b，c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形

6.函数fx=ax^2+bx+c的图像是一条抛物线，则（）（2分）A.a=0B.b=0C.c=0D.a≠0【答案】D【解析】函数fx=ax^2+bx+c的图像是一条抛物线，当且仅当a≠

07.若直线l的斜率为-1，且通过点（1，2），则直线l的方程为（）（2分）A.x+y=1B.x-y=1C.x+y=3D.x-y=3【答案】D【解析】由直线l的斜率为-1，且通过点（1，2），得直线l的方程为y-2=-1x-1，即x-y=

38.在三角形ABC中，若a=5，b=7，c=8，则cosA的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.3/4D.4/5【答案】C【解析】由余弦定理得，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=49+64-25/278=3/

49.下列哪个是素数？（）（2分）A.49B.57C.61D.69【答案】C【解析】61是素数

10.若集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B为（）（2分）A.{1，2，3，4}B.{1，2，3}C.{2，3，4}D.{4}【答案】A【解析】集合A与集合B的并集为{1，2，3，4}

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是基本初等函数？（）A.y=xB.y=x^2C.y=1/xD.y=2^xE.y=sinx【答案】A、B、C、D、E【解析】基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数考查基本初等函数的定义

2.以下哪些是等差数列的性质？（）A.a_n=a_1+n-1dB.S_n=na_1+a_n/2C.a_n=a_1n+dD.S_n=n^2E.a_n=a_1+d【答案】A、B、E【解析】等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2考查等差数列的性质

3.以下哪些是直角坐标系中的单位向量？（）A.1，0B.0，1C.1，1D.-1，0E.0，-1【答案】A、B、D、E【解析】直角坐标系中的单位向量为1，

0、0，

1、-1，0和0，-1考查单位向量的定义

4.以下哪些是三角函数的基本关系式？（）A.sin^2θ+cos^2θ=1B.tanθ=sinθ/cosθC.sinθ+φ=sinθcosφ+cosθsinφD.cotθ=1/tanθE.sinθ-φ=sinθcosφ-cosθsinφ【答案】A、B、C、D、E【解析】三角函数的基本关系式包括同角三角函数的基本关系式和诱导公式考查三角函数的基本关系式

5.以下哪些是集合的基本运算？（）A.并集B.交集C.补集D.差集E.笛卡尔积【答案】A、B、C、D、E【解析】集合的基本运算包括并集、交集、补集、差集和笛卡尔积考查集合的基本运算

三、填空题

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像经过点（1，0），（2，3），则a+b+c的值为______（4分）【答案】1【解析】由函数fx=ax^2+bx+c的图像经过点（1，0），得a+b+c=0；由函数fx=ax^2+bx+c的图像经过点（2，3），得4a+2b+c=3联立这两个方程，解得a=1，b=-2，c=1所以a+b+c=0+-2+1=

12.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，q=3，则a_5的值为______（4分）【答案】48【解析】由等比数列的通项公式得，a_5=a_1q^5-1=23^4=

483.若直线l的斜率为2，且通过点（0，1），则直线l的方程为______（4分）【答案】y=2x+1【解析】由直线l的斜率为2，且通过点（0，1），得直线l的方程为y-1=2x-0，即y=2x+

14.在三角形ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为______（4分）【答案】4/5【解析】由余弦定理得，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/245=4/

55.若集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B为______（4分）【答案】{2，3}【解析】集合A与集合B的交集为{2，3}

四、判断题

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】若ab，则a^2不一定大于b^2例如，当a=-2，b=-3时，ab，但a^2=4，b^2=9，所以a^2b^

22.若函数fx是奇函数，且f1=2，则f-1=-2（）（2分）【答案】（√）【解析】若函数fx是奇函数，则f-x=-fx所以f-1=-f1=-

23.若三角形ABC的三边长a，b，c满足a^2+b^2=c^2，则三角形ABC是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】根据勾股定理，若三角形ABC的三边长a，b，c满足a^2+b^2=c^2，则三角形ABC是直角三角形

4.若集合A包含于集合B，则集合A与集合B的差集为空集（）（2分）【答案】（×）【解析】若集合A包含于集合B，则集合A与集合B的差集不一定为空集例如，当集合A={1，2}，集合B={1，2，3}时，集合A包含于集合B，但集合A与集合B的差集为{1，2}

5.若函数fx在区间（a，b）上单调递增，则fx在该区间上无最大值（）（2分）【答案】（×）【解析】若函数fx在区间（a，b）上单调递增，则fx在该区间上可能有最大值例如，当fx=x在区间（1，2）上单调递增时，fx的最大值为2

五、简答题

1.简述等差数列和等比数列的定义及性质（5分）【答案】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列等差数列的性质包括

①任意一项a_n可以表示为a_1+n-1d；

②前n项和S_n可以表示为na_1+a_n/2等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列等比数列的性质包括

①任意一项a_n可以表示为a_1q^n-1；

②前n项和S_n可以表示为a_11-q^n/1-q（q≠1）

2.简述直线的一般方程和点斜式方程的定义及区别（5分）【答案】直线的一般方程是指Ax+By+C=0，其中A、B不同时为0点斜式方程是指y-y_1=kx-x_1，其中k是直线的斜率，x_1，y_1是直线上的一个点区别在于一般方程适用于任意直线，而点斜式方程适用于已知直线上一点和斜率的直线

3.简述三角函数的定义及基本关系式（5分）【答案】三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数三角函数的定义是在直角三角形中，对边与斜边的比值称为正弦函数，邻边与斜边的比值称为余弦函数，对边与邻边的比值称为正切函数，邻边与对边的比值称为余切函数，斜边与邻边的比值称为正割函数，斜边与对边的比值称为余割函数三角函数的基本关系式包括同角三角函数的基本关系式和诱导公式，如sin^2θ+cos^2θ=1，tanθ=sinθ/cosθ等

六、分析题

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2x在区间（-1，3）上的单调性和极值（10分）【答案】首先求导数fx=3x^2-6x+2，令fx=0，解得x=1±√3/3然后分析导数的符号变化，当x∈（-1，1-√3/3）时，fx0，函数单调递增；当x∈（1-√3/3，1+√3/3）时，fx0，函数单调递减；当x∈（1+√3/3，3）时，fx0，函数单调递增所以函数在x=1-√3/3处取得极大值，在x=1+√3/3处取得极小值极大值为f1-√3/3=1-√3/3^3-31-√3/3^2+21-√3/3，极小值为f1+√3/3=1+√3/3^3-31+√3/3^2+21+√3/

32.分析集合A={x|x^2-3x+2=0}与集合B={x|x^2-4x+3=0}的关系（10分）【答案】首先解方程x^2-3x+2=0，得x=1或x=2，所以集合A={1，2}然后解方程x^2-4x+3=0，得x=1或x=3，所以集合B={1，3}因为集合A与集合B的交集为{1}，所以集合A包含于集合B，但集合A不等于集合B

七、综合应用题

1.某工厂生产一种产品，固定成本为1000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元求该工厂生产x件产品的利润函数，并求该工厂生产多少件产品才能获得最大利润？（25分）【答案】设该工厂生产x件产品的利润为Px，则Px=80x-50x-1000=30x-1000为了求最大利润，需要求导数Px=30，令Px=0，解得x=100/3因为x必须是整数，所以需要比较x=100/3附近的整数的利润，当x=333时，P333=30333-1000=9290元；当x=334时，P334=30334-1000=9320元；当x=335时，P335=30335-1000=9350元所以当该工厂生产335件产品时，可以获得最大利润9350元

八、标准答案

一、单选题

1.C

2.C

3.C

4.B

5.B

6.D

7.D

8.C

9.C

10.A

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.A、B、E

3.A、B、D、E

4.A、B、C、D、E

5.A、B、C、D、E

三、填空题

1.

12.

483.y=2x+

14.4/

55.{2，3}

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列等差数列的性质包括

①任意一项a_n可以表示为a_1+n-1d；

②前n项和S_n可以表示为na_1+a_n/2等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列等比数列的性质包括

①任意一项a_n可以表示为a_1q^n-1；

②前n项和S_n可以表示为a_11-q^n/1-q（q≠1）

2.直线的一般方程是指Ax+By+C=0，其中A、B不同时为0点斜式方程是指y-y_1=kx-x_1，其中k是直线的斜率，x_1，y_1是直线上的一个点区别在于一般方程适用于任意直线，而点斜式方程适用于已知直线上一点和斜率的直线

3.三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数三角函数的定义是在直角三角形中，对边与斜边的比值称为正弦函数，邻边与斜边的比值称为余弦函数，对边与邻边的比值称为正切函数，邻边与对边的比值称为余切函数，斜边与邻边的比值称为正割函数，斜边与对边的比值称为余割函数三角函数的基本关系式包括同角三角函数的基本关系式和诱导公式，如sin^2θ+cos^2θ=1，tanθ=sinθ/cosθ等

六、分析题

1.首先求导数fx=3x^2-6x+2，令fx=0，解得x=1±√3/3然后分析导数的符号变化，当x∈（-1，1-√3/3）时，fx0，函数单调递增；当x∈（1-√3/3，1+√3/3）时，fx0，函数单调递减；当x∈（1+√3/3，3）时，fx0，函数单调递增所以函数在x=1-√3/3处取得极大值，在x=1+√3/3处取得极小值极大值为f1-√3/3=1-√3/3^3-31-√3/3^2+21-√3/3，极小值为f1+√3/3=1+√3/3^3-31+√3/3^2+21+√3/

32.首先解方程x^2-3x+2=0，得x=1或x=2，所以集合A={1，2}然后解方程x^2-4x+3=0，得x=1或x=3，所以集合B={1，3}因为集合A与集合B的交集为{1}，所以集合A包含于集合B，但集合A不等于集合B

七、综合应用题

1.设该工厂生产x件产品的利润为Px，则Px=80x-50x-1000=30x-1000为了求最大利润，需要求导数Px=30，令Px=0，解得x=100/3因为x必须是整数，所以需要比较x=100/3附近的整数的利润，当x=333时，P333=30333-1000=9290元；当x=334时，P334=30334-1000=9320元；当x=335时，P335=30335-1000=9350元所以当该工厂生产335件产品时，可以获得最大利润9350元。