遵义冬令营奥赛必备试题和答案呈现

遵义冬令营奥赛必备试题和答案呈现

一、单选题

1.下列哪个函数在其定义域内是单调递增的？（）（2分）A.y=2x+1B.y=3-xC.y=x²D.y=1/x【答案】A【解析】y=2x+1是一次函数，其斜率为正，故在定义域内单调递增

2.若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于（）（2分）A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}【答案】B【解析】A和B的交集是两个集合共有的元素，即{2,3}

3.函数fx=sinx在区间[0,π]上的最大值是（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】B【解析】sinx在[0,π]区间上的最大值为

14.若ab，则下列不等式一定成立的是（）（2分）A.a²b²B.1/a1/bC.a+1b+1D.a-1b-1【答案】C【解析】不等式两边同时加1，不等号方向不变，故a+1b+1成立

5.三角形ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C等于（）（2分）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，∠C=180°-60°-45°=75°

6.若复数z=3+4i，则|z|等于（）（2分）A.5B.7C.9D.25【答案】A【解析】复数的模|z|=√3²+4²=

57.直线y=2x+1与y轴的交点坐标是（）（2分）A.0,1B.1,0C.0,-1D.-1,0【答案】A【解析】令x=0，则y=20+1=1，故交点为0,

18.若向量a=1,2，b=3,4，则a·b等于（）（2分）A.5B.11C.14D.17【答案】B【解析】向量点积a·b=1×3+2×4=

119.抛物线y=x²的焦点坐标是（）（2分）A.0,1/4B.1/4,0C.0,1/2D.1/2,0【答案】A【解析】抛物线y=x²的焦点为0,1/

410.若等差数列的首项为1，公差为2，则第5项等于（）（2分）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】等差数列第n项a_n=a_1+n-1d，a_5=1+5-1×2=11

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是基本初等函数？（）A.y=xB.y=√xC.y=x³D.y=1/xE.y=2^x【答案】A、B、C、E【解析】基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，y=x、y=√x、y=x³、y=2^x都属于基本初等函数

2.以下哪些命题是真命题？（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.三角形的三条高交于一点D.对任意实数x，x²≥0E.若ab，则√a√b【答案】A、C、D【解析】空集是任何集合的子集，三角形的三条高交于垂心（或外心、重心），对任意实数x，x²≥0命题B和E不一定成立

3.以下哪些是奇函数？（）A.y=x³B.y=1/xC.y=√xD.y=sinxE.y=cosx【答案】A、B、D【解析】奇函数满足f-x=-fx，y=x³、y=1/x、y=sinx都是奇函数

4.以下哪些不等式成立？（）A.-2³-1²B.√16√9C.|-3||-2|D.2³2²E.01/2【答案】B、D、E【解析】√16√9即43成立，2³2²即84成立，01/2成立

5.以下哪些是周期函数？（）A.y=tanxB.y=cos2xC.y=exD.y=sinx/2E.y=cotx【答案】A、B、D、E【解析】周期函数满足fx+T=fx，y=tanx、y=cos2x、y=sinx/

2、y=cotx都有周期，y=ex不是周期函数

三、填空题

1.函数y=2x-1的图像是一条______，斜率为______，y轴截距为______（4分）【答案】直线；2；-

12.三角形ABC中，若a=5，b=7，∠C=60°，则c等于______（4分）【答案】√

743.复数z=1+i的模|z|等于______，argz等于______（4分）【答案】√2；π/

44.等比数列的首项为2，公比为3，则第4项等于______（4分）【答案】

185.函数y=sin2x的最小正周期T等于______（4分）【答案】π

四、判断题

1.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（√）【解析】两个无理数的和可能是无理数，如√2+√2-1=√2+1是无理数

2.若a²=b²，则a=b（）（2分）【答案】（×）【解析】a²=b²不一定意味着a=b，如-2²=2²，但-2≠

23.对任意实数x，cosx的值一定在[-1,1]区间内（）（2分）【答案】（√）【解析】余弦函数的值域为[-1,1]

4.若向量a=1,1，b=1,0，则a+b=2,1（）（2分）【答案】（√）【解析】向量加法分量对应相加，a+b=1+1,1+0=2,

15.若函数fx在区间[a,b]上单调递增，则fafb（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增意味着fa≤fb

五、简答题

1.简述什么是函数的奇偶性（5分）【答案】函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性

（1）奇函数若对于函数fx的定义域内的任意x，都有f-x=-fx，则称fx为奇函数奇函数的图像关于原点对称

（2）偶函数若对于函数fx的定义域内的任意x，都有f-x=fx，则称fx为偶函数偶函数的图像关于y轴对称

2.简述等差数列和等比数列的定义及通项公式（5分）【答案】

（1）等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，用字母d表示通项公式a_n=a_1+n-1d

（2）等比数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用字母q表示通项公式a_n=a_1q^n-

13.简述向量的基本运算（5分）【答案】向量的基本运算包括

（1）向量加法若向量a=a₁,a₂，b=b₁,b₂，则a+b=a₁+b₁,a₂+b₂

（2）向量减法若向量a=a₁,a₂，b=b₁,b₂，则a-b=a₁-b₁,a₂-b₂

（3）向量数乘若k为实数，向量a=a₁,a₂，则ka=ka₁,ka₂

（4）向量点积若向量a=a₁,a₂，b=b₁,b₂，则a·b=a₁b₁+a₂b₂

（5）向量叉积在三维空间中，若向量a=a₁,a₂,a₃，b=b₁,b₂,b₃，则a×b=a₂b₃-a₃b₂,a₃b₁-a₁b₃,a₁b₂-a₂b₁

六、分析题

1.已知函数fx=x²-4x+3，求fx的顶点坐标、对称轴方程，并判断其在区间[1,3]上的单调性（10分）【答案】

（1）顶点坐标函数fx=x²-4x+3可以写成fx=x-2²-1，故顶点坐标为2,-1

（2）对称轴方程对称轴为x=2

（3）单调性函数fx的导数fx=2x-4，令fx=0，得x=2在区间[1,3]上，当1≤x2时，fx0，函数单调递减；当2x≤3时，fx0，函数单调递增故fx在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增

2.已知等差数列的首项为1，公差为2，求其前n项和S_n及第n项a_n（10分）【答案】

（1）第n项a_n等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，故a_n=1+n-1×2=2n-1

（2）前n项和S_n等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2，故S_n=n1+2n-1/2=n2n/2=n²

七、综合应用题

1.已知三角形ABC中，a=5，b=7，∠C=60°，求c的值及三角形ABC的面积（15分）【答案】

（1）求c的值根据余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC，代入已知数据，得c²=5²+7²-2×5×7×cos60°=25+49-35=39，故c=√39

（2）求三角形面积根据三角形面积公式S=1/2absinC，代入已知数据，得S=1/2×5×7×sin60°=1/2×5×7×√3/2=35√3/

42.已知函数fx=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值（25分）【答案】

（1）化简函数fx=sin2x+cos2x=√2sin2x+π/4

（2）求最大值和最小值由于正弦函数的值域为[-1,1]，故√2sin2x+π/4的最大值为√2，最小值为-√2即fx的最大值为√2，最小值为-√2。