青岛三中数学入学试题及答案解析

青岛三中数学入学试题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若集合A={x|x2}，B={x|x≤1}，则A∩B等于（）（2分）A.∅B.{x|x2}C.{x|x≤1}D.{x|1x≤2}【答案】A【解析】集合A包含所有大于2的数，集合B包含所有小于等于1的数，二者没有交集，所以A∩B为空集

2.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.3C.0D.2【答案】B【解析】函数fx表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x在-2和1之间时，距离之和最小，为

33.若向量a=3,4，b=1,-2，则向量a+b等于（）（2分）A.4,2B.2,4C.4,-2D.2,-6【答案】A【解析】向量a+b的坐标为a和b对应坐标相加，即3+1,4-2=4,

24.方程x^2-5x+6=0的解集是（）（2分）A.{2,3}B.{-2,-3}C.{1,6}D.{0,5}【答案】A【解析】方程可以分解为x-2x-3=0，解得x=2或x=

35.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则角C等于（）（2分）A.75°B.105°C.45°D.60°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，所以角C=180°-45°-60°=75°

6.直线y=2x+1与x轴的交点坐标是（）（2分）A.0,1B.1,0C.0,-1D.-1,0【答案】B【解析】令y=0，解得x=-1/2，所以交点坐标为-1/2,0，但选项中没有，可能是题目有误

7.若fx是奇函数，且f1=3，则f-1等于（）（2分）A.1B.-3C.3D.0【答案】B【解析】奇函数满足f-x=-fx，所以f-1=-f1=-

38.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标是（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆的标准方程为x-a^2+y-b^2=r^2，通过配方得到圆心坐标为2,

39.函数y=sinx在区间[0,π]上的最大值是（）（2分）A.1B.-1C.0D.π【答案】A【解析】正弦函数在0到π之间取得最大值

110.若直线l1的斜率为2，直线l2的斜率为-1/2，则l1与l2（）（2分）A.平行B.垂直C.相交D.重合【答案】B【解析】两条直线垂直的条件是斜率的乘积为-1，2-1/2=-1，所以垂直

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.一个集合的元素是唯一的C.若ab，则a^2b^2D.两个奇数之和是偶数【答案】A、B、D【解析】空集是任何集合的子集，集合元素唯一，两个奇数相加为偶数，这些都是正确的命题

2.以下函数中，在定义域内单调递增的有（）（4分）A.y=x^2B.y=3x+2C.y=1/xD.y=sqrtx【答案】B、D【解析】一次函数y=3x+2和平方根函数y=sqrtx在定义域内是单调递增的

3.以下不等式成立的有（）（4分）A.-2^3-1^2B.3/42/3C.|3||-3|D.01/21【答案】B、D【解析】3/4大于2/3，0小于1/2小于1，这两个不等式成立

4.以下函数中，是偶函数的有（）（4分）A.y=x^3B.y=|x|C.y=2x+1D.y=cosx【答案】B、D【解析】绝对值函数y=|x|和余弦函数y=cosx是偶函数

5.以下图形中，是轴对称图形的有（）（4分）A.等腰三角形B.平行四边形C.矩形D.圆【答案】A、C、D【解析】等腰三角形、矩形和圆都是轴对称图形

三、填空题（每题4分，共32分）

1.已知集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B=______（4分）【答案】{1,2,3,4,5}

2.函数y=2cosx的最小正周期是______（4分）【答案】2π

3.若直线l的倾斜角为60°，则其斜率k=______（4分）【答案】√

34.方程x^2+4x+4=0的判别式Δ=______（4分）【答案】

05.在直角坐标系中，点P3,4到原点的距离是______（4分）【答案】

56.若fx是定义在R上的偶函数，且fx在[0,+∞上单调递增，则f-2______f1（4分）【答案】

7.圆x-1^2+y+2^2=4的圆心到直线x-y-1=0的距离是______（4分）【答案】√5/√

28.函数y=tanx在区间-π/2,π/2上是______函数（4分）【答案】增

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】×【解析】当a和b为负数时，此命题不成立

2.任何两个实数之间都有无穷多个有理数（）（2分）【答案】√【解析】实数集是连续的，任何两个实数之间确实有无穷多个有理数

3.若向量a与向量b共线，则必有λ使得a=λb（）（2分）【答案】√【解析】向量共线的定义就是存在实数λ使得a=λb

4.函数y=1/x在定义域内是奇函数（）（2分）【答案】√【解析】函数y=1/x满足f-x=-fx，是奇函数

5.若三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形是直角三角形（）（2分）【答案】√【解析】3^2+4^2=5^2，满足勾股定理，是直角三角形

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述函数奇偶性的定义（5分）【答案】函数fx是偶函数，当且仅当对于所有x在其定义域内，都有f-x=fx；函数fx是奇函数，当且仅当对于所有x在其定义域内，都有f-x=-fx

2.简述三角形的内角和定理（5分）【答案】三角形的内角和定理指出，任何三角形的三个内角之和都等于180度

3.简述直线斜率的定义（5分）【答案】直线斜率表示直线的倾斜程度，定义为直线上升的高度与水平距离的比值，即k=Δy/Δx

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数y=2x^2-4x+1的图像特征（10分）【答案】函数y=2x^2-4x+1是一个二次函数，其图像是开口向上的抛物线顶点坐标为-b/2a,c-b^2/4a，即1,-1对称轴为x=1在-∞,1上单调递减，在1,+∞上单调递增最小值为-

12.分析直线y=2x+1与圆x-1^2+y+2^2=4的位置关系（10分）【答案】圆心坐标为1,-2，半径r=2直线到圆心的距离d=|21-12+2|/√2^2+1^2=√5/√5=1因为dr，所以直线与圆相交

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知点A1,2，点B3,0，求直线AB的方程（25分）【答案】直线AB的斜率k=0-2/3-1=-1直线方程为y-2=-1x-1，即y=-x+

32.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx在区间[-3,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】在区间[-3,-2]上，fx=-2x-1，在[-2,1]上，fx=3，在[1,3]上，fx=2x+1所以最小值为f-2=3，最大值为f3=7。