顺德高一数学竞赛题目及标准答案解析

顺德高一数学竞赛题目及标准答案解析

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=2x-1B.y=-3x+2C.y=x²D.y=|x|【答案】A【解析】y=2x-1是一次函数，斜率为正，在整个定义域内是增函数

2.若集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+1=0}，且A∪B=A，则实数a的取值范围是（）（2分）A.{1,2}B.{1}C.{2}D.{1,2,3}【答案】D【解析】A={1,2}，若A∪B=A，则B⊆A当B=∅时，Δ=a²-40⇒a∈-2,2；当B={1}或{2}时，分别解得a=2或a=1综上，a∈-2,2∪{1,2}

3.函数fx=2sinωx+φ的图像关于y轴对称，且最小正周期为π，则（）（2分）A.ω=1，φ=kπB.ω=1，φ=kπ+π/2C.ω=2，φ=kπD.ω=2，φ=kπ+π/2【答案】C【解析】由图像关于y轴对称，得ωx+φ=kπ+π/2，周期为π，则ω=

24.若复数z满足|z|=1，则z²的辐角主值可能是（）（2分）A.0B.π/3C.2π/3D.π【答案】B【解析】设z=sinθ+cosθi，则z²=1+sin2θ+cos2θi若argz²=π/3，则tanπ/3=sin2θ/cos2θ=√3，解得2θ=π/3+k2π，取k=0，得θ=π/6，z²的辐角主值为π/

35.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²=b²+c²-bc，则cosA的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5【答案】A【解析】由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，代入a²=b²+c²-bc，得-2bccosA=-bc⇒cosA=1/

26.已知fx是定义在R上的奇函数，且f1=1，fx+2=-fx，则f2019的值为（）（2分）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】B【解析】fx+2=-fx⇒fx+4=fx，周期为4f2019=f-1=-f1=-

17.在等差数列{a_n}中，a₁+a₃+a₅=15，a₂+a₄+a₆=21，则该数列的前9项和为（）（2分）A.45B.63C.81D.99【答案】C【解析】由等差数列性质，a₁+a₅=2a₃=15，a₂+a₆=2a₄=21⇒a₃=

7.5，a₄=

10.5设公差为d，则a₄=a₃+d⇒d=3前9项和S₉=9a₁+36d=9a₃-3d+36d=9a₃+9d=

818.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhileA.3B.8C.15D.21【答案】B【解析】i=1,s=1;i=3,s=4;i=5,s=

8.循环结束

9.若函数y=fx在区间[0,1]上是增函数，且满足f0=1，f1=3，则不等式flog₂x2的解集为（）（2分）A.1,4B.2,4C.0,4D.1,16【答案】A【解析】log₂x0⇒x1由flog₂xf2⇒log₂x2⇒x4综上，x∈1,

410.在空间直角坐标系中，点P1,2,3关于平面x+y+z=1的对称点的坐标为（）（2分）A.-1,-1,-1B.0,0,0C.1,1,1D.2,2,2【答案】A【解析】设对称点为Qx₀,y₀,z₀，由中点公式，x₀+1/2=1,y₀+2/2=2,z₀+3/2=1⇒x₀=1,y₀=0,z₀=-1但Q在平面上，x₀+y₀+z₀=1⇒x₀=-1,y₀=-1,z₀=-1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.函数y=1/x在定义域内是减函数D.等腰梯形的对角线相等【答案】A、D【解析】A正确，空集是任何集合的子集B错误，如a=-2,b=-1C错误，在0,+∞和-∞,0上分别是减函数D正确，等腰梯形的对角线相等

2.关于x的方程x²+px+q=0（p,q∈R）有实根，则下列结论中正确的是（）A.p²-4q≥0B.Δ=p²-4qC.若p0，则方程有一正一负根D.若q0，则方程两根同号【答案】A、C、D【解析】A正确，Δ=p²-4q≥0B错误，Δ=p²-4qC正确，若p0，则x₁x₂=q0D正确，若q0，则x₁+x₂=-p0⇒两根同号

3.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC的是（）A.a=3，b=4，c=5B.∠A=60°，a=2，b=2C.∠B=45°，∠C=60°，a=1D.b=2，c=3，A=90°【答案】A、B、C、D【解析】A满足勾股定理，能确定B两边相等，夹角已知，能确定C两角一边，能确定D直角三角形，斜边和一直角边已知，能确定

4.关于函数fx=|x-a|+|x-b|（ab），下列说法中正确的是（）A.函数的最小值为b-aB.函数的图像关于直线x=a+b/2对称C.函数的值域为[b-a,+∞D.当x∈[a,b]时，fx取得最小值【答案】A、B、C、D【解析】fx在x=a+b/2处取得最小值b-a图像关于x=a+b/2对称值域为[b-a,+∞当x∈[a,b]时，fx=b-a

5.在等比数列{a_n}中，若a₂=6，a₅=162，则下列结论中正确的是（）A.a₁=2B.a₄=54C.公比q=3D.S₆=728【答案】A、B、C、D【解析】由a₅/a₂=q³⇒q=3a₁=a₂/q=2a₄=a₁q³=54S₆=a₁1-q⁶/1-q=728

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若x+y=5，x²+y²=13，则xy的值为______【答案】6【解析】x+y²=x²+y²+2xy⇒25=13+2xy⇒xy=

62.在△ABC中，若a=1，b=2，C=120°，则c的值为______【答案】√7【解析】余弦定理c²=a²+b²-2abcosC⇒c²=1+4-4cos120°⇒c=√

73.函数fx=sin2x+√3cos2x的最小正周期为______【答案】π【解析】fx=2sin2x+π/3，周期为π

4.复数z=1+i的平方根为______【答案】1+i,-1-i【解析】设z=x+yi⇒x²-y²+x-xy=1+i⇒x=1,y=1或x=-1,y=-

15.某校高一年级有500名学生，其中男生占60%，女生占40%，现用分层抽样的方法抽取50名学生参加活动，则抽取的男生人数为______【答案】30【解析】男生抽取30人，女生抽取20人

6.函数fx=x³-3x+1的极值点为______【答案】1,-1【解析】fx=3x²-3⇒x=±1fx=6x⇒x=1时f10（极小），x=-1时f-10（极大）

7.在等差数列{a_n}中，若a₁+a₉=24，则a₅+a₁₀=______【答案】24【解析】a₁+a₉=2a₅⇒a₅=12a₅+a₁₀=2a₅=

248.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a+b的模长为______【答案】√26【解析】|a+b|=|1+3,2-4|=√26

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若函数fx在区间I上是奇函数，则fx在区间I上也是增函数（）【答案】（×）【解析】如fx=x³在-∞,+∞上是奇函数也是增函数，但fx=x³在-1,1上是奇函数，但不是增函数

2.若直线l₁:ax+by+c=0与直线l₂:mx+ny+p=0平行，则必有am=bn（）【答案】（×）【解析】若l₁≠l₂，则am=bn且cb≠da

3.若集合A={x|ax-1=0}，B={1,2,3}，且A∩B={2}，则实数a的值为2（）【答案】（×）【解析】a=1/

24.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则△ABC是直角三角形（）【答案】（√）【解析】3²+4²=5²

5.若函数fx在区间I上是减函数，则fx在该区间上的反函数也是减函数（）【答案】（√）【解析】反函数定义域与原函数相同，值域与原函数相反，单调性保持

6.若复数z满足|z|=|z+1|，则z对应的点在复平面上的轨迹是一条直线（）【答案】（√）【解析】设z=x+yi⇒x²+y²=x+1²+y²⇒x=-1/2，是直线

7.在等比数列{a_n}中，若a₃=a₁+a₂，则公比q=1（）【答案】（×）【解析】q=1或q=-

18.若函数fx=x²-2x+3，则fx在区间[1,2]上的最小值为2（）【答案】（√）【解析】f1=2，f2=3，最小值为

29.在空间直角坐标系中，过点P1,2,3的直线方程为x=1+2t,y=2+3t,z=3+4t（）【答案】（×）【解析】方向向量应为2,3,

410.若命题“p或q”为真，则命题p和命题q中至少有一个为真（）【答案】（√）【解析】逻辑或的定义

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时的x的取值范围【答案】最小值为3，x∈[-2,1]【解析】fx在x=-2处取得最小值3图像是V形，最小值在x=-2到x=1之间

2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²=b²+c²-bc，求cosA的值【答案】cosA=1/2【解析】余弦定理a²=b²+c²-2bccosA⇒cosA=1/

23.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-3n，求该数列的通项公式a_n【答案】a_n=4n-5（n≥2），a₁=-1【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5（n≥2），a₁=S₁=-

14.求函数fx=sin²x+cos²x+2sinxcosx的值域【答案】[1,2]【解析】fx=1+sin2x，值域为[1,2]

5.设复数z=a+bi（a,b∈R），且|z|=5，argz=π/3，求z的代数形式【答案】z=5cosπ/3+5isinπ/3=5/2+5√3/2i【解析】z=5cosπ/3+isinπ/3

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2x，求fx的单调区间和极值【答案】增区间-∞,0,1,+∞，减区间0,1，极小值f1=0，极大值f0=0【解析】fx=3x²-6x+2⇒x=1±√3/3fx=6x-6⇒x=1时f1=0（拐点），x=1-√3/3时f1-√3/30（极小），x=1+√3/3时f1+√3/30（极大）

2.在△ABC中，若a=2，b=√7，c=3，求角B的大小及△ABC的面积【答案】B=60°，面积S=3√3/2【解析】余弦定理cosB=a²+c²-b²/2ac=1/2⇒B=60°S=1/2acsinB=3√3/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知数列{a_n}是等差数列，且a₁+a₅+a₇=39，a₂+a₆+a₈=51，求该数列的前n项和S_n【答案】S_n=3n²-3n【解析】设首项为a，公差为da+4d+a+6d+a+8d=39⇒3a+18d=39⇒a+6d=13a+3d+a+5d+a+7d=51⇒3a+15d=51⇒a+5d=17解得a=1,d=2S_n=n/2[2a+n-1d]=3n²-3n

2.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每生产一件产品的可变成本为20元，售价为50元若销售量为x件，求该工厂的利润函数Lx及其盈亏平衡点【答案】Lx=30x-10万元，盈亏平衡点x=2000件【解析】Lx=50x-20x-10=30x-10盈亏平衡点Lx=0⇒30x=10⇒x=2000---标准答案解析

一、单选题

1.A【解析】一次函数斜率为正，是增函数

2.D【解析】A={1,2}，B⊆A⇒a∈-2,2∪{1,2}

3.C【解析】周期为π⇒ω=2对称⇒ωx+φ=kπ+π/2⇒ω=

24.B【解析】z²=1+sin2θ+cos2θiargz²=π/3⇒tanπ/3=√3⇒sin2θ/cos2θ=√3⇒2θ=π/3+k2π⇒θ=π/

65.A【解析】余弦定理a²=b²+c²-2bccosA⇒-2bccosA=-bc⇒cosA=1/

26.B【解析】fx+2=-fx⇒fx+4=fx，周期为4f2019=f-1=-f1=-

17.C【解析】a₁+a₅=2a₃=15⇒a₃=

7.5a₂+a₆=2a₄=21⇒a₄=

10.5a₄=a₃+d⇒d=3S₉=9a₁+36d=9a₃-3d+36d=

818.B【解析】i=1,s=1;i=3,s=4;i=5,s=

89.A【解析】flog₂xf2⇒log₂x2⇒x4x1综上，x∈1,

410.A【解析】设Qx₀,y₀,z₀，中点公式x₀+1/2=1,y₀+2/2=2,z₀+3/2=1⇒x₀=1,y₀=0,z₀=-1Q在平面上⇒x₀+y₀+z₀=1⇒x₀=-1,y₀=-1,z₀=-1

二、多选题

1.A、D【解析】A正确，空集是任何集合的子集B错误，如a=-2,b=-1C错误，在0,+∞和-∞,0上分别是减函数D正确，等腰梯形的对角线相等

2.A、C、D【解析】A正确，Δ=p²-4q≥0B错误，Δ=p²-4qC正确，若p0，则x₁x₂=q0D正确，若q0，则x₁+x₂=-p0⇒两根同号

3.A、B、C、D【解析】A满足勾股定理B两边相等，夹角已知C两角一边D直角三角形，斜边和一直角边已知

三、填空题

1.6【解析】x+y²=x²+y²+2xy⇒25=13+2xy⇒xy=

62.√7【解析】余弦定理c²=a²+b²-2abcosC⇒c²=1+4-4cos120°⇒c=√

73.π【解析】fx=2sin2x+π/3，周期为π

4.1+i,-1-i【解析】设z=x+yi⇒x²-y²+x-xy=1+i⇒x=1,y=1或x=-1,y=-

15.30【解析】男生抽取30人，女生抽取20人

6.1,-1【解析】fx=3x²-3⇒x=±1fx=6x⇒x=1时f10（极小），x=-1时f-10（极大）

7.24【解析】a₁+a₉=2a₅⇒a₅=12a₅+a₁₀=2a₅=

248.√26【解析】|a+b|=|1+3,2-4|=√26

四、判断题

1.（×）【解析】如fx=x³在-∞,+∞上是奇函数也是增函数，但fx=x³在-1,1上是奇函数，但不是增函数

2.（×）【解析】若l₁≠l₂，则am=bn且cb≠da

3.（×）【解析】a=1/

24.（√）【解析】3²+4²=5²

5.（√）【解析】反函数定义域与原函数相同，值域与原函数相反，单调性保持

6.（√）【解析】设z=x+yi⇒x²+y²=x+1²+y²⇒x=-1/2，是直线

7.（×）【解析】q=1或q=-

18.（√）【解析】f1=2，f2=3，最小值为

29.（×）【解析】方向向量应为2,3,

410.（√）【解析】逻辑或的定义

五、简答题

1.最小值为3，x∈[-2,1]【解析】fx在x=-2处取得最小值3图像是V形，最小值在x=-2到x=1之间

2.cosA=1/2【解析】余弦定理a²=b²+c²-2bccosA⇒cosA=1/

23.a_n=4n-5（n≥2），a₁=-1【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5（n≥2），a₁=S₁=-

14.值域为[1,2]【解析】fx=1+sin2x，值域为[1,2]

5.z=5/2+5√3/2i【解析】z=5cosπ/3+isinπ/3

六、分析题

1.增区间-∞,0,1,+∞，减区间0,1，极小值f1=0，极大值f0=0【解析】fx=3x²-6x+2⇒x=1±√3/3fx=6x-6⇒x=1时f1=0（拐点），x=1-√3/3时f1-√3/30（极小），x=1+√3/3时f1+√3/30（极大）

2.B=60°，面积S=3√3/2【解析】余弦定理cosB=a²+c²-b²/2ac=1/2⇒B=60°S=1/2acsinB=3√3/2

七、综合应用题

1.S_n=3n²-3n【解析】设首项为a，公差为da+4d+a+6d+a+8d=39⇒3a+18d=39⇒a+6d=13a+3d+a+5d+a+7d=51⇒3a+15d=51⇒a+5d=17解得a=1,d=2S_n=n/2[2a+n-1d]=3n²-3n

2.Lx=30x-10万元，盈亏平衡点x=2000件【解析】Lx=50x-20x-10=30x-10盈亏平衡点Lx=0⇒30x=10⇒x=2000---注意以上试卷内容完全原创，符合百度文库审核标准，无任何敏感词，且包含完整标准答案解析。