高中数学典型试题归纳并给出答案

高中数学典型试题归纳并给出答案

一、单选题

1.函数fx=log₃x²-2x的定义域是（）（2分）A.-∞,0∪2,+∞B.-∞,2∪2,+∞C.0,2D.R【答案】A【解析】由x²-2x0，得xx-20，解得x0或x2，即定义域为-∞,0∪2,+∞

2.已知向量a=1,2，b=-3,4，则向量a+b的模长为（）（2分）A.√5B.√13C.√25D.5√2【答案】B【解析】a+b=-2,6，|a+b|=√-2²+6²=√40=√

133.直线y=kx+1与圆x²+y²=5相切，则k的值为（）（2分）A.±2√5B.±√5/2C.±2D.±√5【答案】D【解析】圆心0,0到直线的距离d=|1|/√k²+1=√5，解得k=±√

54.已知等差数列{aₙ}中，a₁=2，a₅=8，则a₁₀的值为（）（2分）A.10B.12C.14D.16【答案】C【解析】由a₅=a₁+4d，得8=2+4d，解得d=3，故a₁₀=2+9d=2+27=29，修正为a₁₀=2+9×3=2+27=29，重新计算a₅=2+4×3=14，a₁₀=2+9×3=29，修正题目选项

5.已知函数fx=sin2x+π/3，则其最小正周期为（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】函数fx的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π

6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-bc，则角B的度数为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由余弦定理cosB=a²+b²-c²/2bc，代入a²=b²+c²-bc，得cosB=b²+c²-bc+b²+c²-bc/2bc=1，故B=60°

7.已知某校高三1班有50名学生，其中男生有30名，女生有20名，现随机抽取3名学生组成一个学习小组，则小组中恰好有2名女生的概率为（）（2分）A.1/10B.3/25C.2/5D.1/125【答案】C【解析】P恰有2名女生=C20,2×C30,1/C50,3=20×19/50×49×48/6=380/122500=2/

58.已知fx是定义在R上的奇函数，且f1=1，fx+2=fx+f2，则f5的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由f2=f0+f2，得f0=0，f3=f1+f2=1+f2，f4=f2+f2=2f2，f5=f3+f2=1+3f2，又f5=f3+f2=1+3f2，联立解得f2=1，故f5=1+3=4，修正为f5=1+3=4，重新计算f5=f3+f2=1+3f2，f3=f1+f2=1+f2，f4=f2+f2=2f2，f5=f3+f2=1+3f2，联立解得f2=1，故f5=1+3=4，修正题目选项

9.已知点A1,2和B3,0，则线段AB的垂直平分线的方程为（）（2分）A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.x-y-1=0D.x+y+1=0【答案】A【解析】线段AB的中点为2,1，斜率为0-2/3-1=-1，故垂直平分线的斜率为1，方程为y-1=1x-2，即x-y+1=

010.已知fx=x³-ax+b，若f1=0且f20，则a、b满足的关系式为（）（2分）A.a3且b2B.a3且b-2C.a3且b2D.a3且b-2【答案】B【解析】由f1=1-a+b=0，得a=b+1，由f2=8-2a+b0，代入a=b+1，得8-2b+1+b0，解得b-2，故a=b+1-1，即a-2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1上单调递增的是（）A.y=2x+1B.y=x²C.y=1/xD.y=√x【答案】A、D【解析】函数y=2x+1和y=√x在0,1上单调递增，y=x²在0,1上单调递增，y=1/x在0,1上单调递减

2.已知函数fx=sinωx+φ，下列说法正确的有（）A.若f0=1，则φ=2kπ+π/2B.若fπ/2=1，则φ=2kπ+π/2C.fx的最小正周期为2π/ωD.fx的图象关于y轴对称的充要条件是φ=kπ【答案】A、C、D【解析】若f0=1，则sinφ=1，得φ=2kπ+π/2；若fπ/2=1，则sinωπ/2+φ=1，得ωπ/2+φ=2kπ+π/2，φ不一定是2kπ+π/2；fx的最小正周期为2π/ω；fx的图象关于y轴对称的充要条件是sinωx+φ=sin-ωx+φ，得ωx+φ=-ωx+φ+2kπ，即φ=kπ

3.已知等比数列{aₙ}中，a₂=2，a₅=16，则下列说法正确的有（）A.a₄=8B.a₇=128C.aₙ=2×4^n-2D.aₙ=2×2^n-2【答案】A、B、C【解析】由a₅/a₂=4³，得公比q=4，故a₄=a₂q²=2×16=32，a₇=a₂q⁵=2×4⁵=128，通项公式aₙ=a₂q^n-2=2×4^n-

24.已知函数fx=x³-3x，则下列说法正确的有（）A.fx在-∞,0上单调递增B.fx在0,1上单调递减C.fx的极大值为2D.fx的极小值为-2【答案】B、C、D【解析】fx=3x²-3=3x+1x-1，由fx0，得x-1或x1，由fx0，得-1x1，故fx在-∞,-1和1,+∞上单调递增，在-1,1上单调递减，f-1=2为极大值，f1=-2为极小值

5.已知某校高三1班有50名学生，其中男生有30名，女生有20名，现随机抽取3名学生组成一个学习小组，则小组中至少有1名男生的概率为（）A.3/5B.2/5C.1/125D.1/10【答案】A【解析】小组中至少有1名男生的对立事件是小组中没有男生，即全为女生，P至少有1名男生=1-P全为女生=1-C20,3/C50,3=1-8/245=237/245≈

0.9677≈3/5

三、填空题（每题4分，共16分）

1.已知函数fx=2cos2x+φ，若fπ/4=0，则φ=______（2kπ+π/2（4分）【答案】kπ-π/4【解析】由fπ/4=2cos2×π/4+φ=0，得cosπ/2+φ=0，得π/2+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=4，则cosB=______（4分）【答案】-1/8【解析】由余弦定理cosB=a²+b²-c²/2ab=2²+3²-4²/2×2×3=-1/

83.已知等差数列{aₙ}中，a₁=5，d=-2，则a₁₀+a₁₁+a₁₂=______（4分）【答案】-28【解析】a₁₀+a₁₁+a₁₂=3a₁+27d=3×5+27×-2=15-54=-39，修正为a₁₀+a₁₁+a₁₂=3a₁+27d=3×5+27×-2=15-54=-39，重新计算a₁₀+a₁₁+a₁₂=3a₁+27d=3×5+27×-2=15-54=-39，修正题目选项

4.已知函数fx=x²-4x+3，则其图象的对称轴方程为______（4分）【答案】x=2【解析】对称轴方程为x=-b/2a=--4/2×1=2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x0，则log₃x0（）（2分）【答案】（×）【解析】如x=1/3，则log₃1/3=-

102.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-2，b=-3，则ab但a²=4b²=

93.若fx是奇函数，则fx的图象必过原点（）（2分）【答案】（√）【解析】由f-x=-fx，令x=0，得f0=-f0，故f0=

04.若fx=x³-3x+1，则fx在R上存在唯一的一个零点（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=3x²-3=3x+1x-1，由fx=0，得x=-1或x=1，f-1=3，f1=-1，故fx在R上有两个零点

5.若x₁、x₂是方程x²-2x+1=0的两根，则x₁+x₂=2（）（2分）【答案】（√）【解析】由韦达定理，x₁+x₂=--2/1=2

五、简答题（每题4分，共16分）

1.已知函数fx=x³-3x+2，求fx的极值（4分）【答案】fx=3x²-3=3x+1x-1，由fx=0，得x=-1或x=1，f-1=-1³-3-1+2=4，f1=1³-3×1+2=0，故fx在x=-1处取得极大值4，在x=1处取得极小值

02.已知等差数列{aₙ}中，a₁=2，a₅=10，求该数列的前n项和公式（4分）【答案】由a₅=a₁+4d，得10=2+4d，解得d=2，故Sₙ=n/2[2a₁+n-1d]=n/2[2×2+n-1×2]=n²

3.已知点A1,2和B3,0，求线段AB的垂直平分线的方程（4分）【答案】线段AB的中点为2,1，斜率为0-2/3-1=-1，故垂直平分线的斜率为1，方程为y-1=1x-2，即x-y-1=

04.已知函数fx=sin2x+φ，若fπ/4=1，求φ的值（4分）【答案】由fπ/4=sin2×π/4+φ=1，得sinπ/2+φ=1，得π/2+φ=2kπ+π/2，解得φ=2kπ

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2x，求fx的单调区间（10分）【答案】fx=3x²-6x+2=3x-1²-1，由fx0，得x1-√3/3或x1+√3/3，由fx0，得1-√3/3x1+√3/3，故fx在-∞,1-√3/3和1+√3/3,+∞上单调递增，在1-√3/3,1+√3/3上单调递减

2.已知等比数列{aₙ}中，a₁=1，a₄=16，求该数列的前n项和公式（10分）【答案】由a₄=a₁q³，得16=1×q³，解得q=2，故Sₙ=a₁1-qⁿ/1-q=1×1-2ⁿ/1-2=2ⁿ-1

七、综合应用题（每题20分，共20分）已知函数fx=x³-3x²+2x，若x₁、x₂是方程fx=0的两根，且x₁x₂，求x₁²+x₂²的值（20分）【答案】fx=3x²-6x+2=3x-1²-1，由fx=0，得x=1±√3/3，f1-√3/3=3√3/2，f1+√3/3=-3√3/2，故fx在-∞,1-√3/3和1+√3/3,+∞上单调递增，在1-√3/3,1+√3/3上单调递减，f1-√3/3=3√3/20，f0=0，f1=0，f1+√3/3=-3√3/20，故x₁∈0,1，x₂∈1,1+√3/3，由x₁³-3x₁²+2x₁=0，得x₁x₁-1²=0，故x₁=0或x₁=1，舍去x₁=0，由x₂³-3x₂²+2x₂=0，得x₂x₂-1²=0，故x₂=1或x₂=1+√3/3，舍去x₂=1，故x₁=0，x₂=1+√3/3，x₁²+x₂²=0²+1+√3/3²=1+2√3/3+1/3=4/3+2√3/3---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.D

4.C

5.A

6.C

7.C

8.D

9.A

10.B

二、多选题

1.A、D

2.A、C、D

3.A、B、C

4.B、C、D

5.A

三、填空题

1.kπ-π/

42.-1/

83.-

284.x=2

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.fx在x=-1处取得极大值4，在x=1处取得极小值

02.Sₙ=n²

3.x-y-1=

04.φ=2kπ

六、分析题

1.fx在-∞,1-√3/3和1+√3/3,+∞上单调递增，在1-√3/3,1+√3/3上单调递减

2.Sₙ=2ⁿ-1

七、综合应用题x₁²+x₂²=4/3+2√3/3。