高中数学创新试题及参考解答

高中数学创新试题及参考解答

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.1B.5C.7D.11【答案】C【解析】fx=3x²-3，令fx=0，得x=±1，f-2=-1，f-1=3，f1=-1，f2=5，f2=7最大

2.已知点A1,2，B3,0，则线段AB的垂直平分线方程为（）（2分）A.2x-y-3=0B.2x+y-5=0C.x-2y+3=0D.x+2y-5=0【答案】A【解析】中点2,1，斜率-1/2，方程2x-y-3=

03.若复数z满足|z-1|=1，则z的辐角主值的范围是（）（2分）A.0,π/2B.π/4,3π/4C.π/2,πD.π,3π/2【答案】B【解析】单位圆上，辐角在π/4,3π/

44.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=10，S_10=40，则a_6+a_7+a_8+a_9+a_10的值为（）（2分）A.30B.40C.50D.60【答案】C【解析】S_10-S_5=a_6+a_7+a_8+a_9+a_10=30，但加上a_5=0，故总和

505.抛掷两颗骰子，记事件A为“点数之和大于8”，事件B为“点数之和为偶数”，则PA|B等于（）（2分）A.1/6B.1/4C.5/12D.1/2【答案】C【解析】B包含1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,2,6,3,1,3,3,3,5,4,2,4,4,4,6,5,1,5,3,5,5,6,2,6,4,6,6，共18种，A包含3,6,4,5,4,6,5,4,5,6,6,3,6,4,6,5,6,6，共9种，PA|B=9/18=1/

26.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-bc，则角B等于（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】C【解析】由余弦定理a²=b²+c²-2bccosB，得cosB=1/2，故B=60°

7.函数fx=log_ax+1在区间-1,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是（）（2分）A.0,1B.1,2C.2,+∞D.0,1∪1,+∞【答案】C【解析】a1且定义域-1,+∞

8.圆O的半径为1，点P在圆外，则OP的最小值为（）（2分）A.0B.1C.2D.无穷大【答案】B【解析】OP≥半径

9.若函数fx=x²+2kx+1在x=1处取得极值，则k的值为（）（2分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】D【解析】fx=2x+2k，x=1时f1=0，得k=-

110.在空间直角坐标系中，点A1,0,0，B0,1,0，C0,0,1，则△ABC的面积为（）（2分）A.√2/2B.√3/2C.1D.√3【答案】B【解析】向量AB=-1,1,0，向量AC=-1,0,1，面积=1/2|AB×AC|=√3/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的是？（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.若fx是奇函数，则f0=0D.若|z|=1，则z²=1【答案】A、C【解析】A正确，空集是任何集合的真子集；B错误，如a=-2b=-1；C正确，奇函数图像过原点；D错误，z=±i时z²=

12.下列函数中，在区间0,1上单调递减的是？（）（4分）A.y=2x-1B.y=x²C.y=1/xD.y=lnx【答案】C、D【解析】y=1/x在0,1上单调递减，y=lnx在0,1上单调递增

3.下列不等式成立的是？（）（4分）A.2^10010^30B.3^102^15C.log_2100log_327D.√2^100√3^50【答案】A、B、D【解析】A:两边取对数ln2100ln1030；B:两边取对数ln310ln215；C:log_2100/log_327=100log_32/271；D:两边取对数100ln250ln

34.下列图形中，一定是正多边形的是？（）（4分）A.各内角相等的四边形B.各边相等的四边形C.各对角线相等的四边形D.各外角相等的四边形【答案】D【解析】正多边形定义要求各边相等且各角相等，A可能是梯形；B可能是菱形；C可能是矩形；D一定是正多边形

5.下列说法正确的是？（）（4分）A.等差数列的任意两项之差是常数B.等比数列的任意两项之比是常数C.等差数列前n项和是二次函数D.等比数列前n项和是指数函数【答案】A、B【解析】A正确，定义；B正确，定义；C错误，Sn=na_1+a_n/2是线性函数；D错误，Sn=a_11-q^n/1-q是分式函数

三、填空题（每题4分，共24分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，则fx的极小值点是______（4分）【答案】2【解析】fx=3x²-6x，x=0或2，f2=-2是极小值

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则sinC=______（4分）【答案】√6/4【解析】角C=75°，sinC=sin45°+30°=sin75°=√6+√2/

43.若复数z=1+i，则z^4的实部为______（4分）【答案】0【解析】z^4=4，实部为

04.设等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则a_1+a_2+...+a_10=______（4分）【答案】110【解析】S_10=101+2910/2=

1105.抛掷三颗骰子，点数之和为10的概率是______（4分）【答案】27/216【解析】总情况6^3=216，满足情况有27种见附录

6.已知函数fx=e^x，则fx的反函数f^-1x=______（4分）【答案】lnx【解析】y=e^x，x=lny，f^-1x=lnx

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x0，则e^x1+x（）（2分）【答案】（×）【解析】e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+...1+x

2.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx在该区间上有最小值但没有最大值（）（2分）【答案】（×）【解析】端点值可能是最大值，如fx=x在0,1上，f0=0是min，f1=1是max

3.若三角形的三条高相等，则该三角形是等边三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】三条高相等即三条中线相等，是等边三角形

4.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0（）（2分）【答案】（√）【解析】极值点处导数为0（费马定理）

5.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n²}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】如a_n=n，a_n²=n²不是等差数列

五、简答题（每题5分，共20分）

1.求函数fx=x³-6x²+9x+4的单调区间和极值（5分）【答案】fx=3x²-12x+9=3x-1²，x=1时取得极大值f1=8，无极小值，单调递增区间-∞,1和1,+∞

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和边c（5分）【答案】角C=75°，由正弦定理b/a=sinB/sinA，b=√3sin45°/sin60°=√2，c/a=sinC/sinA，c=√3sin75°/sin60°=√6+√

23.求函数fx=2cos²x-sin2x的值域（5分）【答案】fx=1+cos2x-sin2x=1-√2sin2x-π/4，值域[-1-√2,1-√2]

4.求等差数列{a_n}的前n项和S_n，若S_5=10，S_10=40，求a_1和d（5分）【答案】S_n=n/2[2a_1+n-1d]，S_5=5/2[2a_1+4d]=10，S_10=10/2[2a_1+9d]=40，解得a_1=0，d=2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-px+q，若fx在x=1和x=-1处取得极值，求p和q的值，并讨论fx的单调性（10分）【答案】fx=3x²-p，x=1和x=-1时f1=3-p=0，f-1=3-p=0，得p=3，fx=x³-3x+q，fx=3x²-1=3x+1x-1，fx在-∞,-1和1,+∞上单调递增，在-1,1上单调递减

2.已知数列{a_n}是等比数列，前n项和为S_n，若S_3=6，S_6=42，求通项公式a_n（10分）【答案】S_n=a_11-q^n/1-q，S_3=a_11-q³/1-q=6，S_6=a_11-q^6/1-q=42，解得a_1=2，q=2，a_n=22^n-1=2^n

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=√7，c=2，求角B的大小，并判断△ABC是否为直角三角形（25分）【答案】cosB=a²+c²-b²/2ac=9+4-7/232=1/2，B=60°，不是直角三角形

2.已知函数fx=x³-3x²+2，若关于x的方程fx=k有三个不同的实根，求实数k的取值范围，并画出函数大致图像（25分）【答案】fx=3x²-6x=3xx-2，fx在-∞,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增，f0=2，f2=-2，k的取值范围是-2,2图像过0,2，2,-2，在-∞,0上升，在0,2下降，在2,+∞上升---答案部分---

一、单选题

1.C

2.A

3.B

4.C

5.C

6.C

7.C

8.B

9.D

10.B

二、多选题

1.A、C

2.C、D

3.A、B、D

4.D

5.A、B

三、填空题

1.

22.√6/

43.

04.

1105.27/

2166.lnx

四、判断题

1.×

2.×

3.√

4.√

5.×

五、简答题

1.极大值8，单调递增区间-∞,1和1,+∞

2.b=√2，c=√6+√

23.值域[-1-√2,1-√2]

4.a_1=0，d=2

六、分析题

1.p=3，单调递增-∞,-1和1,+∞，单调递减-1,

12.a_n=2^n

七、综合应用题

1.B=60°，不是直角三角形

2.k∈-2,2---附录---抛掷三颗骰子点数和为10的情况1,4,5,1,5,4,2,3,5,2,4,4,2,5,3,3,2,5,3,3,4,3,4,3,4,1,5,4,2,4,4,3,3,5,1,4,5,2,3,5,3,2,共27种。