高中数学新教材面试题目与答案

高中数学新教材面试题目与答案

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=2x+1B.y=-3x+2C.y=x^2D.y=1/x【答案】A【解析】函数y=2x+1是一次函数，其斜率为正，故在整个定义域内是增函数

2.若集合A={1,2,3},B={2,3,4},则集合A与B的交集是（）（2分）A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}【答案】B【解析】集合A与B的公共元素为2和3，故交集为{2,3}

3.函数fx=sinx在区间[0,π]上的最大值是（）（2分）A.1B.-1C.0D.π【答案】A【解析】正弦函数sinx在0到π区间内最大值为

14.下列命题中，真命题是（）（2分）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有无数个子集C.两个集合的并集一定是真集D.两个集合的交集一定是空集【答案】A【解析】空集是所有集合的子集，这是集合论的基本性质

5.若直线l的方程为y=mx+b，且直线l经过点1,2，则当m=2时，b的值为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】将点1,2代入方程y=mx+b，得2=21+b，解得b=

06.下列不等式中，正确的是（）（2分）A.3^22^3B.-3^2-2^3C.2^-12^0D.2^02^1【答案】B【解析】-3^2=9，-2^3=-8，故9-8成立

7.函数y=cosx在区间[0,2π]上的零点个数为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】cosx=0的解为x=π/2,3π/2,5π/2,7π/2，共4个零点

8.若向量a=1,2，b=3,4，则向量a与b的点积为（）（2分）A.1B.2C.7D.10【答案】D【解析】a·b=13+24=3+8=

119.下列图形中，不是轴对称图形的是（）（2分）A.等边三角形B.矩形C.等腰梯形D.圆【答案】C【解析】等腰梯形不是轴对称图形

10.函数fx=e^x在区间-∞,0上的单调性是（）（2分）A.递增B.递减C.先增后减D.先减后增【答案】B【解析】指数函数e^x在-∞,0区间内是递减的

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是基本初等函数？（）A.y=xB.y=x^2C.y=sinxD.y=cosxE.y=e^x【答案】A、B、C、D、E【解析】基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数

2.以下哪些命题是真命题？（）A.对任意实数x，x^2≥0B.若ab，则a^2b^2C.空集是任何集合的子集D.两个集合的并集一定是真集E.两个集合的交集一定是空集【答案】A、C【解析】A是真命题，因为平方非负；C是真命题，空集是任何集合的子集

3.以下哪些函数在其定义域内是奇函数？（）A.y=xB.y=x^3C.y=sinxD.y=cosxE.y=1/x【答案】A、B、C、E【解析】奇函数满足f-x=-fx，x、x^

3、sinx和1/x都是奇函数

4.以下哪些不等式成立？（）A.3^22^3B.-3^2-2^3C.2^-12^0D.2^02^1E.√21【答案】B、E【解析】B和E成立，其他不成立

5.以下哪些命题是真命题？（）A.对任意实数x，x^2≥0B.若ab，则a^2b^2C.空集是任何集合的子集D.两个集合的并集一定是真集E.两个集合的交集一定是空集【答案】A、C【解析】A是真命题，因为平方非负；C是真命题，空集是任何集合的子集

三、填空题

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像经过点1,0，2,0，且对称轴为x=

1.5，则a的值为______，b的值为______，c的值为______（4分）【答案】-2，-6，9【解析】由对称轴公式x=-b/2a=

1.5，解得b=-6，代入过点1,0，2,0方程组，解得a=-2，c=

92.函数fx=|x-1|在区间[0,3]上的最小值为______，最大值为______（4分）【答案】0，2【解析】|x-1|在x=1处取最小值0，在x=3处取最大值

23.若向量a=3,4，b=1,2，则向量a与b的夹角θ满足cosθ=______（4分）【答案】3/5【解析】cosθ=a·b/|a||b|=31+42/5√5=11/5√5=3/

54.函数fx=sin2x在区间[0,π/2]上的零点个数为______（4分）【答案】2【解析】sin2x=0的解为x=0,π/2,π，但在[0,π/2]内只有0和π/

25.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x-1=0}，则集合A与B的并集为______（4分）【答案】{1,2}【解析】A={1,2}，B={1}，并集为{1,2}

四、判断题

1.两个集合的交集一定是空集（）（2分）【答案】（×）【解析】两个集合的交集可以是空集，也可以非空集

2.函数y=x^3在区间-∞,0上是增函数（）（2分）【答案】（×）【解析】函数y=x^3在整个实数域上是增函数，包括-∞,

03.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则1-2但1^2-2^

24.函数y=1/x在区间0,1上是增函数（）（2分）【答案】（×）【解析】函数y=1/x在0,1上是减函数

5.对任意实数x，x^2≥0（）（2分）【答案】（√）【解析】平方非负是实数的基本性质

五、简答题

1.简述函数单调性的定义（5分）【答案】函数单调性定义设函数fx的定义域为I，若对任意x1,x2∈I，且x1x2，都有fx1≤fx2（或fx1≥fx2），则称fx在I上单调递增（或单调递减）

2.简述集合交集的定义（5分）【答案】集合交集定义设A和B是两个集合，A与B的交集记作A∩B，是指同时属于集合A和集合B的所有元素组成的集合

3.简述向量点积的定义及其性质（5分）【答案】向量点积定义设向量a=a1,a2，b=b1,b2，则a与b的点积定义为a·b=a1b1+a2b2性质

①a·b=b·a（交换律）

②a+b·c=a·c+b·c（分配律）

③λa·b=λa·b（数乘结合律）

④a·a=|a|^2（自身点积）

六、分析题

1.分析函数fx=x^3-3x+2的单调性和极值（10分）【答案】求导数fx=3x^2-3=3x^2-1=3x-1x+1令fx=0，解得x=1，x=-1分析单调性当x∈-∞,-1时，fx0，函数单调递增；当x∈-1,1时，fx0，函数单调递减；当x∈1,+∞时，fx0，函数单调递增求极值f-1=-1^3-3-1+2=4，为极大值；f1=1^3-31+2=0，为极小值图像分析函数在x=-1处有极大值4，在x=1处有极小值

02.分析函数fx=e^x在区间-∞,0上的性质（10分）【答案】求导数fx=e^x分析单调性在-∞,0区间内，e^x0，故fx0，函数单调递增分析凹凸性求二阶导数fx=e^x，在-∞,0区间内，e^x0，故fx0，函数是凹函数分析极限当x→-∞时，e^x→0，故fx→0图像分析函数在-∞,0上是单调递增且凹函数，且当x→-∞时，函数值趋近于0

七、综合应用题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值（20分）【答案】求导数fx=3x^2-6x+2令fx=0，解得x=1±√3/3分析单调性当x∈-∞,1-√3/3时，fx0，函数单调递增；当x∈1-√3/3,1+√3/3时，fx0，函数单调递减；当x∈1+√3/3,+∞时，fx0，函数单调递增求极值f1-√3/3=1-√3/3^3-31-√3/3^2+21-√3/3；f1+√3/3=1+√3/3^3-31+√3/3^2+21+√3/3计算端点值f-1=-1^3-3-1^2+2-1=-6；f3=3^3-33^2+23=0比较极值和端点值，最大值为max{f1-√3/3,f1+√3/3,f-1,f3}，最小值为min{f1-√3/3,f1+√3/3,f-1,f3}具体计算f1-√3/3=2√3/3-4/3；f1+√3/3=-2√3/3+4/3比较后得最大值为f-1=-6，最小值为f1-√3/3=2√3/3-4/

32.已知集合A和B，其中A={x|x^2-4x+3=0}，B={x|x^2-6x+8=0}，求集合A与B的交集和并集（20分）【答案】求集合A x^2-4x+3=0，解得x=1，x=3，故A={1,3}求集合B x^2-6x+8=0，解得x=2，x=4，故B={2,4}求交集A∩B={x|x∈A且x∈B}，显然A与B没有公共元素，故A∩B=∅求并集A∪B={x|x∈A或x∈B}，故A∪B={1,2,3,4}综合应用集合A与B的交集为空集，并集为{1,2,3,4}---标准答案（附在文档最后一页）

一、单选题

1.A

2.B

3.A

4.A

5.B

6.B

7.D

8.D

9.C

10.B

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.A、C

3.A、B、C、E

4.B、E

5.A、C

三、填空题

1.-2，-6，

92.0，

23.3/

54.

25.{1,2}

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.函数单调性定义设函数fx的定义域为I，若对任意x1,x2∈I，且x1x2，都有fx1≤fx2（或fx1≥fx2），则称fx在I上单调递增（或单调递减）

2.集合交集定义设A和B是两个集合，A与B的交集记作A∩B，是指同时属于集合A和集合B的所有元素组成的集合

3.向量点积定义设向量a=a1,a2，b=b1,b2，则a与b的点积定义为a·b=a1b1+a2b2性质

①a·b=b·a（交换律）

②a+b·c=a·c+b·c（分配律）

③λa·b=λa·b（数乘结合律）

④a·a=|a|^2（自身点积）

六、分析题

1.函数fx=x^3-3x+2的单调性和极值极大值4，极小值

02.函数fx=e^x在区间-∞,0上的性质单调递增，凹函数，当x→-∞时，函数值趋近于0

七、综合应用题

1.函数fx=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值最大值-6，最小值2√3/3-4/

32.集合A与B的交集和并集交集∅，并集{1,2,3,4}。