高中数学竞赛试题及参考答案

高中数学竞赛试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若复数z满足|z+2|+|z-2|=8，则z在复平面上对应点轨迹是（）（2分）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【答案】A【解析】|z+2|+|z-2|=8表示到-2,0和2,0两点距离之和为8的点的轨迹，是椭圆

2.函数fx=x³-x+1在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.8B.7C.5D.0【答案】B【解析】fx=3x²-1，令fx=0得x=±√3/3，计算f-2=-2³--2+1=-5，f2=8-2+1=7，f-√3/3=5√3/9+2/3，f√3/3=5√3/9-2/3，最大值为

73.已知等差数列{a_n}中，a₁+a₃+a₅=15，a₂+a₄+a₆=21，则该数列前9项和为（）（2分）A.45B.63C.81D.108【答案】C【解析】由a₁+a₃+a₅=15得3a₃=15，a₃=5，由a₂+a₄+a₆=21得3a₄=21，a₄=7，公差d=a₄-a₃=2，前9项和S₉=9/2×2×5+8×2=

814.不等式|2x-1|3的解集是（）（2分）A.-1,2B.-2,4C.-1,4D.-2,2【答案】A【解析】-32x-13，解得-1x

25.已知向量a=1,2，b=3,-4，则向量a×b的模长是（）（2分）A.5B.7C.9D.10【答案】A【解析】|a×b|=|a||b|sinθ=√1²+2²×√3²+-4²×1=

56.抛掷两个骰子，则点数之和大于9的概率是（）（2分）A.1/6B.5/36C.1/4D.7/36【答案】C【解析】点数之和大于9的情况有4,6,5,5,6,4，共3种，概率为3/36=1/

127.函数y=cos²x-sin²x的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】B【解析】y=cos2x，周期为π/ω=π/2=π

8.直线y=2x-3与圆x²+y²=4相交，则弦长是（）（2分）A.2√2B.2√3C.4D.2√5【答案】A【解析】圆心到直线距离d=|-3|/√2²+-1²=√5，弦长=2√r²-d²=2√4-5=2√

29.已知三棱锥A-BCD的体积为V，则截面BCD把三棱锥分成体积为V₁和V₂的两部分，满足（）（2分）A.V₁=V₂B.V₁=2V₂C.V₂=2V₁D.V₁=V₂或V₁=2V₂【答案】D【解析】若D在平面ABC上的射影是垂足，则V₁=V₂；若D在平面ABC上的射影不是垂足，则V₁=2V₂

10.已知函数fx是定义在R上的奇函数，且f1=1，fx+2=fx+f2，则f5的值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】f2=f0+f2，f0=0；f3=f1+f2=1+f2；f4=f2+f2=2f2；f5=f3+f2=1+2f2，由f1=1，f1=f-1，f3=f1+f2=1+f2，f3=-f-3，f5=3f1=3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若fx在区间I上单调递增，则fx在I上连续C.若向量a与b共线，则存在唯一实数k使a=kbD.若△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是等腰三角形【答案】C、D【解析】A不正确，如-2-3但-2²-3²；B不正确，单调递增不一定连续；C正确，共线向量表示唯一；D正确，大角对大边，sinA=sinB即a=b

2.下列函数中，在区间0,1上为增函数的有（）（4分）A.y=x²B.y=lnxC.y=1/xD.y=√x【答案】A、B、D【解析】y=x²在0,1上增；y=lnx在0,1上增；y=1/x在0,1上减；y=√x在0,1上增

3.已知集合A={x|1x3}，B={x|x²-4x+3≤0}，则集合A∩B是（）（4分）A.{x|1x2}B.{x|2x3}C.{x|1x3}D.{x|1≤x≤3}【答案】B【解析】B={x|1≤x≤3}，A∩B={x|2x3}

4.下列命题中正确的有（）（4分）A.若fx是偶函数，则fx是奇函数B.若fx是奇函数，则fx是偶函数C.若fx在x=x₀处取得极值，则fx₀=0D.若fx在x=x₀处取得极值，则fx₀不存在【答案】A、B、C【解析】A正确，f-x=fx⇒f-x=-fx；B正确，f-x=-fx⇒f-x=fx；C正确，极值点处导数为0；D错误，极值点处导数可能存在

5.下列命题中正确的有（）（4分）A.若ab，则lnalnbB.若ab0，则a²b²C.若向量a与b垂直，则a·b=0D.若fx在区间I上可导，则fx在I上连续【答案】C、D【解析】A不正确，lna要求a0；B不正确，如-2-3但-2²-3²；C正确，垂直向量点积为0；D正确，可导必连续

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若复数z满足|z|=2，且argz=π/3，则z的代数形式是______（4分）【答案】√3+i（4分）

2.不等式组{x|1≤x≤3}∩{x|x²-4x+3≤0}的解集是______（4分）【答案】{x|2≤x≤3}（4分）

3.函数y=2sin2x+π/4的最小正周期是______（4分）【答案】π（4分）

4.已知向量a=1,2，b=3,-4，则向量a·b的值是______（4分）【答案】-5（4分）

5.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√3，c=1，则cosA的值是______（4分）【答案】1/2（4分）

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx是奇函数，则fx²是偶函数（）（2分）【答案】√【解析】f-x²=-fx²，是偶函数

2.若ab0，则√a√b（）（2分）【答案】√【解析】算术平方根性质

3.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在I上连续（）（2分）【答案】×【解析】单调递增不一定连续，如狄利克雷函数

4.若复数z满足|z|=1，则z²一定是纯虚数（）（2分）【答案】×【解析】如z=1，z²=1不是纯虚数

5.若向量a与b垂直，则a·b=0（）（2分）【答案】√【解析】向量点积性质

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x³-3x²+2在区间[-2,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】f-2=-10，f-1=4，f0=2，f1=0，f2=-2，f3=2，最大值4，最小值-

102.求不等式|2x-1|3的解集（4分）【答案】-1x

23.求函数y=cos²x-sin²x的最小正周期（4分）【答案】2π

4.求直线y=2x-3与圆x²+y²=4相交的弦长（4分）【答案】2√

25.求向量a=1,2与b=3,-4的夹角余弦值（4分）【答案】cosθ=-5/√5²+-4²=-5/5=-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知数列{a_n}是等差数列，且a₁+a₃+a₅=15，a₂+a₄+a₆=21，求该数列前9项和（10分）【答案】a₃=5，a₄=7，d=2，a₁=1，S₉=9/2×2×1+8×2=

812.已知函数fx=x³-3x²+2，讨论fx在区间[-2,3]上的单调性，并求极值（10分）【答案】fx=3x²-6x，x₁=0，x₂=2，f-2=-10，f-1=4，f0=2，f1=0，f2=-2，f3=2，增区间-2,0，2,3，减区间0,2，极大值4，极小值-2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知三棱锥A-BCD的体积为V，截面BCD把三棱锥分成体积为V₁和V₂的两部分，且D在平面ABC上的射影不是垂足，求V₁和V₂的关系（25分）【答案】设三棱锥高为h，D到平面ABC距离为h₁，h₂=h-h₁，V₁/V₂=h₁/h₂，V₁=V₂h₁/h₂，若h₁h₂，则V₁V₂，V₂=2V₁

2.已知函数fx是定义在R上的奇函数，且f1=1，fx+2=fx+f2，求f5的值（25分）【答案】f2=f0+f2，f0=0；f3=f1+f2=1+f2；f4=f2+f2=2f2；f5=f3+f2=1+2f2，由f1=1，f1=f-1，f3=f1+f2=1+f2，f3=-f-3，f5=3f1=3---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.C

4.A

5.A

6.C

7.B

8.A

9.D

10.C

二、多选题

1.C、D

2.A、B、D

3.B

4.A、B、C

5.C、D

三、填空题

1.√3+i

2.{x|2≤x≤3}

3.π

4.-

55.1/2

四、判断题

1.√

2.√

3.×

4.×

5.√

五、简答题

1.最大值4，最小值-

102.-1x

23.2π

4.2√

25.-1

六、分析题

1.

812.增区间-2,0，2,3，减区间0,2，极大值4，极小值-2

七、综合应用题

1.V₂=2V₁

2.3。