高中选拔考试真题与答案解析

高中选拔考试真题与答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得极值，则（）A.a+b+c=0B.b^2-4ac=0C.a+b=0D.a=c【答案】C【解析】函数在x=1处取得极值，则f1=2ax+b=0，即2a+b=0，故a+b=0考查导数与极值的关系

2.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，a_2+a_6=12，则公差d等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由a_1+a_5=2a_3=10，a_2+a_6=2a_4=12，得a_4-a_3=2，即公差d=2考查等差数列性质

3.若复数z满足|z|=1，且z^2+z+1=0，则z等于（）A.1B.-1C.iD.-i【答案】D【解析】由z^2+z+1=0，得z=-1±√3i/2，结合|z|=1，得z=-i考查复数基本概念

4.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，BC=2，则AC的长度为（）A.√2B.2√2C.√3D.2√3【答案】B【解析】由正弦定理得AC=BC/sinB/sinA=2/√3/√2=2√2考查正弦定理应用

5.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=5相切，则k的值为（）A.±√5B.±2√5C.±√10D.±2√10【答案】C【解析】圆心0,0到直线距离等于半径√5，即|k0-0+1|/√k^2+1=√5，解得k=±√10考查直线与圆位置关系

6.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名，现要随机抽取4名学生参加活动，则抽到3名男生、1名女生的概率为（）A.1/16B.3/16C.5/16D.7/16【答案】C【解析】P=C30,3C20,1/C50,4=5/16考查超几何分布

7.若函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值，则a等于（）A.eB.e^2C.1/eD.1/e^2【答案】A【解析】fx=e^x-a，f1=e-a=0，得a=e考查导数与极值

8.在空间直角坐标系中，点A1,2,3关于平面x-y=0的对称点为（）A.1,2,-3B.1,-2,3C.-1,2,3D.1,2,3【答案】C【解析】对称变换后x不变，y不变，z变号，得-1,2,3考查点关于平面对称

9.执行以下程序段后，变量s的值为（）s=0foriinrange1,6:s=s+i2A.55B.70C.55D.90【答案】B【解析】s=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55考查循环结构

10.若函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为a，则a等于（）A.1B.3C.2D.0【答案】C【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离和，最小值为3-1=2考查绝对值函数

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题正确的是（）A.若ab，则a^2b^2B.若fx是奇函数，则fx是偶函数C.若数列{a_n}单调递增，则其极限一定存在D.若|z|=1，则z^2=±1【答案】B、D【解析】A错，如a=2b=-3；C错，如1,2,4,8,...不收敛；D中z=±i时z^2=-1考查函数性质

2.以下不等式成立的是（）A.e^x1+xB.log_23log_32C.sinx+cosx≥1D.a+b^2≥4ab【答案】B、D【解析】A对x0成立；B中换底公式得3/log_2e2/log_3e，对；C错，如x=π/4时小于1；D是平方差公式

3.关于函数fx=x^3-3x^2+2的判断正确的是（）A.在-∞,0上单调递增B.在0,2上单调递减C.有2个零点D.有2个极值点【答案】A、B、C【解析】fx=3x^2-6x，解得x=0和x=2为极值点，故B错；f0=2，f2=-2，有零点x=1和x≠0；A对，fx

04.以下数列为等比数列的是（）A.1,1,2,4,7,13,...B.1,-1,1,-1,1,-1,...C.2,4,8,16,32,...D.a,b,2a-2b,4a-8b,...【答案】B、C【解析】B中q=-1；C中q=2；A前三项公比不同；D中q=2a-2b/b=4a-8b/2a-2b=2，q=

25.以下命题正确的是（）A.若四边形ABCD的对角线互相平分，则它是平行四边形B.若fx在[a,b]上连续，则它在a,b上必有零点C.若三角形ABC的三边长为3,4,5，则它是直角三角形D.若向量a=1,2,b=3,4，则|a+b|=|a|+|b|【答案】A、C【解析】B错，需fafb0；D错，向量加法不满足三角不等式；A是平行四边形判定定理；C中3^2+4^2=5^2

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=√x^2+2x+3的定义域为________【答案】-∞,-3]∪[1,+∞【解析】x^2+2x+3≥0，解得x≤-3或x≥

12.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=5相切，则切点的横坐标为________【答案】±√10/√k^2+1【解析】切点满足x^2+kx+1^2=5，解得x=±√10/√k^2+

13.若复数z=1+i，则z^6的实部为________【答案】-8【解析】z^6=1+i^6=64i，实部为

04.在△ABC中，若a=3,b=4,c=5，则∠C的正弦值为________【答案】4/5【解析】由正弦定理sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R，得sinC=5/25=1/

25.执行以下程序段后，变量s的值为________s=0foriinrange1,11:s=s+i%2【答案】25【解析】i=1,3,5,7,9时i%2=1，s=1+3+5+7+9=25

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）【答案】（×）【解析】如a=-1b=-2，但√a不存在

2.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0（）【答案】（×）【解析】需fc存在且为0，如fx=|x|在x=0处不可导

3.若|z|=1，则z^2=1（）【答案】（×）【解析】如z=i时z^2=-

14.若数列{a_n}单调递增，则其极限一定存在（）【答案】（×）【解析】如1,2,4,8,...发散

5.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切，则圆心到直线的距离等于r（）【答案】（√）【解析】相切定义即距离等于半径

五、简答题（每题5分，共15分）

1.证明若函数fx在[a,b]上连续，且fafb0，则存在c∈a,b，使得fc=0【解析】由介值定理，因fx在[a,b]上连续，且fafb0，必存在c∈a,b使fc=

02.计算limx→0sinx-sinx^2/x^3【解析】原式=limx→0[sinx1-x/x^2]=limx→0sinx/sinx1-x/x=11=

13.解方程x^2-3x-4=0【解析】因式分解得x-4x+1=0，解得x=4或x=-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，证明{a_n}是等比数列【证明】a_n+1=2a_n+1，变形为a_n+1+1=2a_n+1，即a_n+1+1为首项为2，公比为2的等比数列，故a_n+1=2^n-1，所以a_n=2^n-1，a_{n+1}/a_n=2，是等比数列

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求其单调区间和极值【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0,2；当x0时fx0，x2时fx0，0x2时fx0；故单调增区间-∞,0,2,+∞，单调减区间0,2；极大值f0=2，极小值f2=-2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，固定成本为a万元，每生产一件产品成本增加b元，市场需求函数为p=100-

0.1q（万元/件），其中p为价格（万元/件），q为需求量（件）问生产多少件产品时利润最大？最大利润是多少？【解析】总收入R=pq=100-

0.1qq=100q-

0.1q^2，总成本C=a+bq，利润L=R-C=100q-

0.1q^2-a+bq=-

0.1q^2+100-bq-a，求导L=-

0.2q+100-b=0，得q=100-b/

0.2=500-b，L=-

0.20，故q=500-b时L最大，L_max=-

0.1500-b^2+100-b500-b-a=-

0.1b^2+90b-50000-a

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2，讨论其单调性、极值、零点分布，并画出大致图像【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0,2；单调增区间-∞,0,2,+∞，单调减区间0,2；极大值f0=2，极小值f2=-2；零点f1=0，f-1=0，f3=-1，故零点为x=-1,x=1；图像大致经过-∞,-1增，-1,0减，0,2减，2,+∞增；过-1,0,0,2,1,0三点---标准答案---

一、单选题

1.C

2.A

3.D

4.B

5.C

6.C

7.A

8.C

9.B

10.C

二、多选题

1.B、D

2.B、D

3.A、B、C

4.B、C

5.A、C

三、填空题

1.-∞,-3]∪[1,+∞

2.±√10/√k^2+

13.-

84.4/

55.25

四、判断题

1.×

2.×

3.×

4.×

5.√

五、简答题

1.介值定理证明

2.limx→0sinx-sinx^2/x^3=

13.x=4或x=-1

六、分析题

1.等比数列证明

2.单调区间∞,0,2,+∞减，0,2增；极大值2，极小值-2

七、综合应用题

1.生产500-b件时利润最大，最大利润为-

0.1b^2+90b-50000-a

2.图像分析见解析。