高二数学期末试卷及详细答案

高二数学期末试卷及详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=lnx+1的定义域是（）（2分）A.-1,+∞B.-∞,+∞C.-1,0D.-∞,0【答案】A【解析】fx=lnx+1中x+10，所以x-1，定义域为-1,+∞

2.已知向量a=1,2，b=3,-1，则向量a+b的模长为（）（2分）A.3√2B.√10C.2√5D.√13【答案】C【解析】a+b=1+3,2-1=4,1，模长|a+b|=√4²+1²=√17≈

4.12，最接近2√5≈

4.

473.抛掷两个均匀的骰子，得到的点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.7/36【答案】A【解析】点数和为7的组合有1,

6、2,

5、3,

4、4,

3、5,

2、6,1，共6种，概率为6/36=1/

64.若直线y=kx+1与圆x-1²+y²=4相切，则k的值为（）（2分）A.±√3/3B.±√2/2C.±1D.±√3【答案】A【解析】圆心1,0到直线的距离等于半径2，|k1-0+1|/√k²+1=2，解得k=±√3/

35.已知等比数列{a_n}中，a_1=2，a_3=8，则a_5的值为（）（2分）A.16B.24C.32D.64【答案】C【解析】公比q=a_3/a_1=8/2=4，a_5=a_3q²=816=

326.函数y=sin2x+π/3的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】周期T=2π/|ω|=2π/2=π

7.不等式|x-1|2的解集是（）（2分）A.-1,3B.-1,2C.0,2D.-1,3【答案】A【解析】-2x-12，解得-1x

38.设fx=e^x，则fx在点0,1处的切线方程是（）（2分）A.y=xB.y=x+1C.y=e^xD.y=x-1【答案】A【解析】fx=e^x，f0=1，切线方程y-1=1x-0，即y=x+

19.过点1,2且与直线3x-4y+5=0平行的直线方程是（）（2分）A.3x-4y-5=0B.3x-4y+5=0C.4x-3y+5=0D.4x-3y-5=0【答案】D【解析】斜率为3/4，方程4x-3y+c=0，代入1,2得4-6+c=0，c=2，方程为4x-3y-5=

010.已知sinα=1/2，α在第二象限，则cosα的值是（）（2分）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】cos²α=1-sin²α=3/4，α在第二象限cosα0，cosα=-√3/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是奇函数的有（）（4分）A.y=x³B.y=1/xC.y=cosxD.y=tanx【答案】A、B、D【解析】奇函数满足f-x=-fx，x³、1/x、tanx都是奇函数，cosx是偶函数

2.双曲线x²/a²-y²/b²=1的渐近线方程是（）（4分）A.y=±b/axB.y=±a/bxC.x=±b/ayD.x=±a/by【答案】A、C【解析】渐近线方程为y=±b/ax和x=±b/ay

3.下列命题中正确的有（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若ab，则√a√bC.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则lnalnb【答案】C、D【解析】反例a=2，b=-1，则A错误；a=4，b=1，则B错误；C、D均正确

4.在△ABC中，下列条件能确定△ABC的形状的有（）（4分）A.A=60°，b=1，c=2B.a=3，b=4，c=5C.a:b:c=3:4:5D.cosA=1/2【答案】B、C、D【解析】B是直角三角形；C是固定形状的三角形；D是30°-60°-90°三角形

5.函数y=2^x在区间-∞,1上的值域是（）（4分）A.0,1/2B.0,2C.1/2,2D.0,1/2【答案】A【解析】当x→-∞时2^x→0，当x=1时2^x=2，值域为0,2

三、填空题（每题4分，共32分）

1.已知cosα+β=1/2，cosα-β=-1/2，则cosαcosβ-sinαsinβ的值是______（4分）【答案】1/2【解析】cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ=-1/2，cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ=1/

22.抛掷一颗骰子两次，两次点数之和大于9的概率是______（4分）【答案】1/12【解析】大于9的组合有4,

6、5,

5、6,4，共3种，概率为3/36=1/

123.椭圆x²/9+y²/4=1的焦点坐标是______（4分）【答案】±√5,0【解析】c=√9-4=√5，焦点±√5,

04.函数y=√x²-2x+1的值域是______（4分）【答案】[0,+∞【解析】y=√x-1²，最小值为0，值域[0,+∞

5.已知fx=ax²+bx+c，f1=3，f-1=-1，f0=1，则a+b+c的值是______（4分）【答案】3【解析】a+b+c=f1=

36.不等式|3x-2|5的解集是______（4分）【答案】-∞,-1∪3,+∞【解析】3x-2-5或3x-25，解得x-1或x

37.若复数z=1+i，则z²的虚部是______（4分）【答案】0【解析】z²=1+i²=1+2i-1=2i，虚部为

08.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积是______（4分）【答案】15π【解析】侧面积πrl=π35=15π

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若|a||b|，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=-3，b=2，则

942.若sinα=sinβ，则α=β（）（2分）【答案】（×）【解析】sinα=sinβ⇒α=β+2kπ或α=π-β+2kπ

3.过抛物线y²=2px的焦点且垂直于x轴的弦长是p（）（2分）【答案】（×）【解析】弦长为2p

4.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx在a,b上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增不保证连续性

5.若四边形ABCD的对角线互相平分，则ABCD是平行四边形（）（2分）【答案】（√）

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x³-3x+2的单调区间（5分）【答案】解fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，当x∈-∞,-1时fx0，单调递增；当x∈-1,1时fx0，单调递减；当x∈1,+∞时fx0，单调递增单调区间为-∞,-1∪1,+∞单调递增，-1,1单调递减

2.求极限limx→0sinx-x/x²（5分）【答案】解原式=limx→0[sinx/x²-1/x²]=limx→0sinx/x-x/x²=limx→0sinx/x-1/x=0-0=

03.证明等差数列的前n项和S_n=na_1+nn-1/2d（5分）【答案】证明S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+...+a_1+n-1d=na_1+0+1+2+...+n-1d=na_1+nn-1/2d

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=e^x-ax+1，x∈R

（1）证明fx在-∞,+∞上存在唯一零点；

（2）若a0，讨论fx的单调性（12分）【答案】

（1）证明fx=e^x-a，令fx=0得x=lna，当xlna时fx0，单调递减；当xlna时fx0，单调递增fx在x=lna处取最小值flna=1-alna+1，若a=1，fx≥10无零点；若a1，flna=1-alna+1=0，零点唯一；若0a1，flna0，且f0=20，f+∞=+∞，由零点存在性定理，存在零点综上，a0时fx存在唯一零点

（2）讨论当a1时，fx在-∞,lna单调递减，在lna,+∞单调递增；当0a1时，fx在-∞,lna单调递减，在lna,+∞单调递增

2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a²+b²-c²=ab

（1）求角C的大小；

（2）若c=2，求△ABC面积的最大值（12分）【答案】

（1）解由余弦定理cosC=a²+b²-c²/2ab=1/2，得C=π/3

（2）解由a²+b²-c²=ab，得a+b²=c²+3ab，即a+b²=4+3ab，由均值不等式a+b²≥4√3ab，得ab≤4/3，等号成立当a=b面积S=1/2absinC≤1/24/3√3/2=√3/3，最大值为√3/3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2x+5

（1）求fx的极值点；

（2）若关于x的方程fx=k有3个不同实根，求k的取值范围；

（3）讨论fx在[-2,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】

（1）解fx=3x²-6x+2=3x-1²-1，令fx=0得x=1±√3/3，当x∈1-√3/3,1+√3/3时fx0，单调递减；当x∈-∞,1-√3/3和1+√3/3,+∞时fx0，单调递增极小值点x=1+√3/3，极大值点x=1-√3/3

（2）解k=f1+√3/3=7-2√3，k=f1-√3/3=7+2√3，当k∈7-2√3,7+2√3时，fx=k有3个不同实根

（3）解f-2=-1，f-1=4，f1=7，f3=8，最大值为8，最小值为-

12.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1

（1）求证平面PAC⊥平面PBD；

（2）求二面角P-CD-A的平面角大小；

（3）求点A到平面PBC的距离（25分）【答案】

（1）证明取AC中点E，连接BE，PE，PA⊥平面ABCD⇒PA⊥AC，PA⊥BD，ABCD是矩形⇒AC⊥BD，AC⊥PA，AC⊥BD⇒AC⊥平面PBD，AC在平面PAC内⇒平面PAC⊥平面PBD

（2）解取CD中点F，连接AF，PF，由对称性AF⊥CD，PF⊥CD⇒∠AFP是二面角平面角，AF=√2，PF=√5，tan∠AFP=AF/PF=√2/√5=√10/5，∠AFP=arctan√10/5

（3）解取BC中点G，连接AG，PG，AG=√5/2，PG=√5/2，点A到平面PBC的距离为AGsin∠AFP=√10/4。