高数二上期末考题及参考答案

高数二上期末考题及参考答案

一、单选题（每题1分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（1分）A.y=|x|B.y=x^2C.y=lnx+1D.y=e^x【答案】A【解析】绝对值函数在x=0处不可导

2.极限limx→∞3x^2+5x+2/5x^2-3x+1的值是（）（1分）A.0B.1C.3/5D.5/3【答案】C【解析】分子分母同除以x^2得3+5/x+2/x^2/5-3/x+1/x^2→

33.函数fx=x^3-3x+1的极值点是（）（1分）A.x=1B.x=-1C.x=0D.x=±1【答案】D【解析】fx=3x^2-3=0得x=±1，f1=-60，f-1=-60，均为极大值点

4.曲线y=xe^x的拐点是（）（1分）A.0,0B.1,1C.-1,1/eD.2,e^2【答案】C【解析】y=e^xx+1,y=e^xx+2,令y=0得x=-2，x=-1时y0，拐点为-1,1/e

5.下列级数中，收敛的是（）（1分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/n^2D.∑n=1to∞1/n^3【答案】C【解析】p-级数当p1收敛，1/n^2p=2收敛

6.函数y=arctanx的导数是（）（1分）A.1/1+x^2B.-1/1+x^2C.x/1+x^2D.1-x/1+x^2【答案】A【解析】arctanx的导数为1/1+x^

27.积分∫from0to1x^2dx的值是（）（1分）A.1/3B.1/4C.1/6D.1/2【答案】A【解析】∫x^2dx=x^3/3|_0^1=1/

38.函数y=cosx的积分∫from0toπcosxdx的值是（）（1分）A.0B.1C.πD.2π【答案】A【解析】∫cosxdx=sinx|_0^π=sinπ-sin0=

09.微分方程y-2y=0的通解是（）（1分）A.y=Ce^2xB.y=Ce^-2xC.y=2xD.y=C【答案】A【解析】y=Ce^∫2dx=Ce^2x

10.函数y=lnx+1在x=0处的泰勒展开式的前三项是（）（1分）A.1-x+x^2B.1+x+x^2C.1-x^2D.x-x^2【答案】A【解析】fx=ln1+x的泰勒展开为x-x^2/2+x^3/3+...，前三项为1-x+x^

211.下列向量组线性无关的是（）（1分）A.α=1,0,0,β=0,1,0,γ=0,0,1B.α=1,1,1,β=2,2,2,γ=3,3,3C.α=1,1,0,β=1,0,1,γ=0,1,1D.α=1,2,3,β=2,3,4,γ=3,4,5【答案】C【解析】选项C的向量组行列式不为0，线性无关

12.矩阵A=1,2;3,4的逆矩阵是（）（1分）A.-4,2;3,-1B.4,-2;-3,1C.-1,2;3,-4D.1,-2;-3,4【答案】A【解析】detA=-2,adjA=-4,2;3,-1,A^-1=adjA/detA=-4,2;3,-

113.向量空间R^3的维数是（）（1分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】R^3由3个基向量张成，维数为

314.矩阵B=1,0;0,1是（）（1分）A.正交矩阵B.可逆矩阵C.奇异矩阵D.以上都是【答案】D【解析】B是单位矩阵，满足正交、可逆、非奇异条件

15.向量1,2,3与2,3,4的夹角余弦值是（）（1分）A.1/√14B.3/√77C.√77/14D.7/√77【答案】B【解析】cosθ=1×2+2×3+3×4/√1^2+2^2+3^2×√2^2+3^2+4^2=3/√

7716.曲面z=x^2+y^2在点1,1,2处的切平面方程是（）（1分）A.z=2B.x+y-z=0C.x+y+z=2D.x-y+z=2【答案】B【解析】z_x=2x|x=1=2,z_y=2y|y=1=2,切平面方程2x-1+2y-1-z-2=0→x+y-z=

017.函数fx,y=x^2+y^2在约束x+y=1下的最小值是（）（1分）A.0B.1/2C.1D.2【答案】B【解析】Lx,y,λ=x^2+y^2+λx+y-1,L_x=2x+λ=0,L_y=2y+λ=0→x=y=1/

218.级数∑n=1to∞1/n+1是（）（1分）A.收敛B.发散C.条件收敛D.绝对收敛【答案】B【解析】与调和级数1/n比较，发散

19.函数y=1/x^2+1的积分∫from0to1dy的值是（）（1分）A.1B.1/2C.π/4D.π/2【答案】C【解析】∫from0to11/x^2+1dx=arctanx|_0^1=π/

420.函数y=e^x的积分∫from0to1e^xdx的值是（）（1分）A.eB.e-1C.1D.e+1【答案】B【解析】∫e^xdx=e^x|_0^1=e-1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在x→∞时极限存在？（）A.limx→∞x^2+1/xB.limx→∞sinxC.limx→∞1-x/xD.limx→∞x^3+1/x^2【答案】C【解析】选项A极限为∞，B无极限，C极限为-1，D极限为∞

2.以下哪些向量组线性相关？（）A.α=1,0,0,β=0,1,0,γ=0,0,1B.α=1,1,1,β=1,2,3,γ=2,3,4C.α=1,1,0,β=1,0,1,γ=0,1,1D.α=1,2,3,β=2,3,4,γ=3,4,5【答案】B、D【解析】B、D的向量组行列式为0，线性相关

3.以下哪些函数在定义域内连续？（）A.y=1/xB.y=√xC.y=lnx+1D.y=arctanx【答案】B、C、D【解析】1/x在x≠0处连续，√x、lnx+

1、arctanx处处连续

4.以下哪些级数收敛？（）A.∑n=1to∞1/n^2B.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/nD.∑n=1to∞1/n^3【答案】A、B、D【解析】1/n^

2、-1^n/n、1/n^3均收敛，1/n发散

5.以下哪些矩阵是可逆矩阵？（）A.A=1,0;0,1B.B=1,2;3,4C.C=1,0;0,0D.D=1,2;2,5【答案】A、D【解析】A是单位矩阵，D的行列式不为0，均可逆

三、填空题（每题2分，共16分）

1.极限limx→0sinx/x的值是______【答案】

12.函数y=2x^3-3x^2的导数是______【答案】6x^2-6x

3.积分∫from0toπ/2cosxdx的值是______【答案】

14.微分方程y-4y=0的通解是______【答案】Ce^2x+Ce^-2x

5.级数∑n=1to∞1/n!的值是______【答案】e

6.向量1,2,3与1,1,1的夹角余弦值是______【答案】√11/

67.曲面z=xy在点1,1,1处的切平面方程是______【答案】z=

28.函数fx=x^2在[0,1]上的黎曼和（取中点）是______【答案】1/3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x=x0处可导，则fx在x=x0处连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

2.若级数∑a_n收敛，则级数∑|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】如a_n=-1^n/n，收敛但绝对值级数发散

3.若向量组α,β,γ线性无关，则α,β线性无关（）（2分）【答案】（√）【解析】线性无关组的部分向量仍线性无关

4.若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式不为0（）（2分）【答案】（√）【解析】可逆矩阵的行列式不为

05.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值（）（2分）【答案】（√）【解析】根据极值定理，连续函数在闭区间必有最值

五、简答题（每题3分，共15分）

1.简述函数极限与数列极限的区别【答案】函数极限描述fx随x→x0的变化趋势，数列极限描述a_n随n→∞的变化趋势函数极限有左右极限之分，数列极限无左右之别

2.简述定积分的几何意义【答案】定积分∫fromatobfxdx表示函数fx在[a,b]上的曲边梯形面积（fx≥0时）或代数面积之和（fx≤0时）

3.简述向量空间的基本性质【答案】向量空间V满足加法封闭、数乘封闭、存在零向量、存在负向量、结合律、分配律等八条性质

4.简述线性无关的定义【答案】向量组α_1,α_2,...,α_n线性无关是指若x_1α_1+x_2α_2+...+x_nα_n=0，则必有x_1=x_2=...=x_n=

05.简述泰勒级数的定义【答案】fx的泰勒级数是fx在x=x0处的n阶导数表示的无穷级数fx0+fx0x-x0/1!+...+f^nx0x-x0^n/n!+...

六、分析题（每题5分，共10分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在[0,3]上的极值点【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2,令fx=0得x=0,2f0=-60,为极大值点；f2=60,为极小值点f0=2,f2=-2,f3=2极大值点为x=0，极小值点为x=

22.分析级数∑n=1to∞1/nn+1的敛散性【答案】a_n=1/nn+1=1/n-1/n+1，部分和S_n=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/n+1=1-1/n+1→1n→∞，级数收敛

七、综合应用题（每题10分，共20分）

1.计算定积分∫from0toπsin^2xdx【答案】∫from0toπsin^2xdx=∫from0toπ1-cos2x/2dx=π/2-0=π/

22.求解微分方程y-3y-2y=0的通解【答案】特征方程r^2-3r-2=0→r=2,-1通解y=Ce^2x+Ce^-x

八、参考答案

一、单选题

1.A

2.C

3.D

4.C

5.C

6.A

7.A

8.A

9.A

10.A

11.C

12.A

13.C

14.D

15.B

16.B

17.B

18.B

19.C

20.B

二、多选题

1.C

2.B、D

3.B、C、D

4.A、B、D

5.A、D

三、填空题

1.

12.6x^2-6x

3.

14.Ce^2x+Ce^-2x

5.e

6.√11/

67.z=

28.1/3

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

4.见答案

5.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.见答案

2.见答案。