高数竞赛选拔考试试题及精准答案

高数竞赛选拔考试试题及精准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x→0时，极限存在且不为0的是（）A.fx=sinx/xB.fx=e^x-1C.fx=ln1+xD.fx=tanx/x【答案】B【解析】fx=e^x-1在x→0时，极限为

12.函数fx=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，则a+b的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】fx=3x^2-2ax+b，f1=0，得3-2a+b=0；f1=6-2a=0，得a=3，代入得b=-3，a+b=

03.级数∑n=1to∞-1^n+1n/n+1的敛散性为（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断【答案】B【解析】比值法检验，limn→∞|n+1/n+2|=1，发散，但原级数为交错级数，满足Leibniz判别法，条件收敛

4.曲线y=x^2sin1/xx≠0和y=0在第一象限围成的面积S，当x→0时，S的极限为（）A.0B.1/2C.1D.∞【答案】B【解析】S=∫0to1x^2sin1/xdx，令t=1/x，换元后积分值为1/

25.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的积分值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】fx=|x-1|={x-1,x1;1-x,x≥1}，∫0to11-xdx+∫1to2x-1dx=

16.设函数y=fx在区间[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）A.fξ=fb-fa/b-aB.fξ=fb-fa/b-aC.fξ=fb+fa/2D.fξ=fb-fa/b-a^2【答案】B【解析】拉格朗日中值定理的结论

7.设z=fx,y满足∂²z/∂x∂y=x+y，且f0,0=0，则fx,y为（）A.xy+x^2/2+y^2/2B.x^2y+y^2xC.x^2/2+y^2/2+xyD.x^2y^2【答案】C【解析】先对x积分得∂z/∂y=x^2/2+y+φy，再对y积分得fx,y=x^2/2+xy+y^2/2+ψx，由f0,0=0得ψx=0，φy=

08.下列级数中，绝对收敛的是（）A.∑n=1to∞-1^n+1/n^2B.∑n=1to∞1/nC.∑n=1to∞-1^n+1/sqrtnD.∑n=1to∞1/sqrtn【答案】A【解析】A为Leibniz交错级数，绝对收敛；B为调和级数，发散；C为条件收敛；D为p=1/2的p级数，发散

9.函数y=arctanx在x=0处的泰勒展开式中x^3的系数为（）A.1/3B.1/2C.1D.-1【答案】A【解析】y=1/1+x^2，y=-2x/1+x^2^2，y=-2+4x^2/1+x^2^3，在x=0处y=2，系数为1/

310.设函数fx在[a,b]上连续，且fx≥0，则∫atobsqrtfxdx的几何意义是（）A.以y=sqrtfx为曲边的曲边梯形面积B.以y=sqrtfx为曲边的曲边三角形面积C.以y=fx为曲边的曲边梯形面积D.以y=fx为曲边的曲边三角形面积【答案】B【解析】∫sqrtfxdx表示以y=sqrtfx为曲边的曲边三角形面积

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列说法正确的有（）A.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界B.若fx在[a,b]上可导，则fx在[a,b]上连续C.若fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界D.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上可积E.若fx在[a,b]上可导，则fx在[a,b]上可积【答案】A、B、C、D【解析】连续函数必有界且可积；可导函数必连续；有界且单调函数可积

2.关于函数y=sinx和y=cosx，下列说法正确的有（）A.两者都是周期函数B.两者都是奇函数C.两者都是偶函数D.两者周期相同E.两者图像关于y轴对称【答案】A、D【解析】sinx和cosx都是周期函数，周期为2π；sinx是奇函数，cosx是偶函数；图像关于原点对称

3.关于级数收敛，下列说法正确的有（）A.若级数绝对收敛，则级数条件收敛B.若级数条件收敛，则级数绝对收敛C.若级数发散，则级数绝对收敛D.若级数绝对收敛，则级数发散E.若级数条件收敛，则级数发散【答案】A、E【解析】绝对收敛则条件收敛；条件收敛则不绝对收敛

4.关于微分方程，下列说法正确的有（）A.一阶线性微分方程的一般形式为y+pxy=qxB.可分离变量方程可通过分离变量求解C.齐次微分方程的一般形式为y=fy/xD.全微分方程可通过求全微分求解E.所有微分方程都可化为一阶微分方程求解【答案】A、B、C、D【解析】一阶线性、可分离变量、齐次、全微分方程是常见类型；高阶方程可降阶

5.关于向量，下列说法正确的有（）A.向量的模是向量长度的非负实数B.向量加减法满足交换律和结合律C.向量与数量乘法满足分配律D.向量积的结果是一个向量E.向量积的结果是一个数量【答案】A、B、C【解析】向量模为非负实数；向量加减法满足交换律和结合律；向量与数量乘法满足分配律；向量积结果为向量

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设fx=e^x^2，则f0=______【答案】2【解析】fx=2xe^x^2，f0=

22.曲线y=x^3-3x^2+2在x=2处的曲率半径为______【答案】6【解析】y=3x^2-6x，y=6x-6，曲率K=|y|/|1+y^3|，K2=1/6，曲率半径R=

63.级数∑n=1to∞1/n+1x+1^n在x=0处的收敛域为______【答案】-2,-0]【解析】幂级数收敛半径R=1，中心x=-1，收敛域-2,0]，端点x=0收敛

4.设z=u^2+v^2，u=x+y，v=x-y，则∂²z/∂x²=______【答案】2【解析】∂z/∂x=2u∂u/∂x+2v∂v/∂x=2u+v=4x，∂²z/∂x²=

45.设函数fx在x=0处二阶可导，且f0=1，f0=2，f0=3，则fx在x=0处的三阶泰勒展开式为______【答案】1+2x+3x^2+x^3/2【解析】fx≈f0+f0x+f0x^2+f0x^3/3!

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值（）【答案】（√）【解析】根据最值定理，连续函数在闭区间上必有最值

2.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞|a_n|也收敛（）【答案】（×）【解析】绝对收敛则条件收敛，但条件收敛不一定绝对收敛

3.若函数fx在x=0处可导，则fx在x=0处必连续（）【答案】（√）【解析】可导必连续

4.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界（）【答案】（√）【解析】可积函数必有界

5.若函数fx在[a,b]上单调递增，则fx在[a,b]上必可积（）【答案】（√）【解析】单调函数必可积

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述洛必达法则的适用条件【答案】洛必达法则适用于当极限为0/0或∞/∞型时，分子分母同时求导后极限存在或趋于无穷，且导函数满足连续性和可导性

2.简述函数fx在[a,b]上可积的必要条件【答案】fx在[a,b]上必有界；若fx无界，则不可积

3.简述泰勒级数在近似计算中的优点【答案】泰勒级数将函数表示为多项式，便于计算和近似；误差可通过余项估计，精度可控；对复杂函数可简化运算

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在[a,b]上连续，且fx≥0，证明∫atobfxdx≥0【证明】由定积分定义，∫atobfxdx表示以y=fx为曲边的曲边梯形面积，fx≥0，梯形面积非负，故积分非负

2.设函数fx在[a,b]上二阶可导，且fa=fb=0，fx≥0，证明fx≤0对所有x∈[a,b]成立【证明】由fx≥0，fx为凸函数，在a,b内为凹弧，且fa=fb=0，故fx在a,b内不大于0，又fa=0，fb=0，得fx≤0对所有x∈[a,b]成立

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫0toπxsinxdx【解】令u=x，dv=sinxdx，则du=dx，v=-cosx，∫xsinxdx=-xcosx+∫cosxdx=-xcosx+sinx+C，∫0toπxsinxdx=[-πcosπ+sinπ]-[-0cos0+sin0]=π

2.求解微分方程y+y=e^x【解】此为一阶线性微分方程，px=1，qx=e^x，∫pxdx=∫1dx=x，∫qx∫pxdx=∫e^xdx=e^x，通解y=e^-∫pxdx∫qx∫pxdx+C=e^-xe^x+C=1+Ce^-x，由初始条件可定常数C---完整标准答案---

一、单选题

1.B

2.A

3.B

4.B

5.B

6.B

7.C

8.A

9.A

10.B

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、D

3.A、E

4.A、B、C、D

5.A、B、C

三、填空题

1.

22.

63.-2,-0]

4.

25.1+2x+3x^2+x^3/2

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.洛必达法则适用于当极限为0/0或∞/∞型时，分子分母同时求导后极限存在或趋于无穷，且导函数满足连续性和可导性

2.函数fx在[a,b]上可积的必要条件是fx在[a,b]上必有界

3.泰勒级数在近似计算中的优点是将函数表示为多项式，便于计算和近似；误差可通过余项估计，精度可控；对复杂函数可简化运算

六、分析题

1.由定积分定义，∫atobfxdx表示以y=fx为曲边的曲边梯形面积，fx≥0，梯形面积非负，故积分非负

2.由fx≥0，fx为凸函数，在a,b内为凹弧，且fa=fb=0，故fx在a,b内不大于0，又fa=0，fb=0，得fx≤0对所有x∈[a,b]成立

七、综合应用题

1.令u=x，dv=sinxdx，则du=dx，v=-cosx，∫xsinxdx=-xcosx+∫cosxdx=-xcosx+sinx+C，∫0toπxsinxdx=[-πcosπ+sinπ]-[-0cos0+sin0]=π

2.此为一阶线性微分方程，px=1，qx=e^x，∫pxdx=∫1dx=x，∫qx∫pxdx=∫e^xdx=e^x，通解y=e^-∫pxdx∫qx∫pxdx+C=e^-xe^x+C=1+Ce^-x，由初始条件可定常数C。