高智商学霸专属考试题目及详细答案

高智商学霸专属考试题目及详细答案

一、单选题

1.下列数中，最接近π的是（）（1分）A.

3.14B.

3.14159C.

3.1416D.

3.1415【答案】C【解析】π的近似值是

3.14159，C选项的

3.1416最接近

2.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则下列说法正确的是（）（2分）A.a0,b=0B.a0,b=0C.a=0,b0D.a=0,b0【答案】A【解析】函数开口向上，则a0；顶点在x轴上，则判别式Δ=b^2-4ac=0，且a≠0，所以b=

03.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_3=8，则公比q为（）（1分）A.2B.3C.4D.2或-2【答案】A【解析】a_3=a_1q^2，即8=2q^2，解得q=

24.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且A∪B={1,2}，则实数a的值为（）（2分）A.3B.4C.5D.任意实数【答案】B【解析】A={1,2}，因为A∪B={1,2}，所以B中必须包含1或2，代入检验得a=

45.在直角坐标系中，点Pa,b到直线l3x-4y+5=0的距离为5，则点P的轨迹方程为（）（2分）A.x^2+y^2=25B.x^2+y^2=16C.3x-4y=0D.x-3^2+y-4^2=25【答案】A【解析】点到直线的距离公式为d=|Ax+By+C|/√A^2+B^2，代入得|3a-4b+5|=5√3^2+4^2=25，整理得a^2+b^2=

256.若复数z满足|z|=1，且z^2+z+1=0，则z的值为（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】D【解析】|z|=1说明z在单位圆上，结合z^2+z+1=0，解得z=-1/2+i√3/2或z=-1/2-i√3/2，只有z=-i符合条件

7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面，PA=AD，则二面角A-PBC的平面角为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】B【解析】取BC中点E，连接AE，PE，因为PA⊥底面，PE⊥BC，所以∠APE是二面角的平面角，由直角三角形PEA得tan∠APE=PE/PA=1，所以∠APE=45°

8.若函数fx=sinωx+φ的图像向左平移π/4个单位后与y轴交于点0,1，则φ的值为（）（2分）A.π/4B.3π/4C.π/2D.π【答案】C【解析】平移后函数为fx=sinωx+φ+ωπ/4，令x=0得sinφ+ωπ/4=1，所以φ+ωπ/4=π/2+2kπ，取k=0得φ=π/

29.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2-bc，则角A的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA，代入得bc=2bccosA，所以cosA=1/2，即A=60°

10.若实数x满足x^2+4x-5≥0，则函数y=x^2+2x+1在x的取值范围内的最大值为（）（2分）A.1B.5C.10D.无最大值【答案】C【解析】x^2+4x-5≥0解得x≤-5或x≥1，函数y=x^2+2x+1在x≥1时单调递增，当x=1时y=4，在x≤-5时单调递减，当x=-5时y=16，所以最大值为10

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1上单调递减的有（）A.y=-2x+1B.y=1/xC.y=x^2D.y=lnx【答案】A、B【解析】y=-2x+1是一次函数，斜率为-2，单调递减；y=1/x是反比例函数，在0,1上单调递减；y=x^2是二次函数，在0,1上单调递增；y=lnx是对数函数，在0,1上单调递增

2.若向量a=1,2，b=3,-4，则下列说法正确的有（）A.|a+b|=√10B.a·b=-5C.a与b的夹角为钝角D.a与b垂直【答案】A、B、C【解析】a+b=4,-2，|a+b|=√4^2+-2^2=√20=2√5；a·b=13+2-4=-5；cosa,b=a·b/|a||b|=-5/√5√25=-1/√50，所以夹角为钝角

3.若函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-2=-14，f0=2，f2=0，所以有两个零点

4.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则下列说法正确的有（）A.△ABC是直角三角形B.sinA:sinB:sinC=3:4:5C.cosA=-4/5D.△ABC是锐角三角形【答案】A、B【解析】由勾股定理3^2+4^2=5^2，所以△ABC是直角三角形；由正弦定理sinA:a=sinB:b=sinC:c，所以sinA:sinB:sinC=a:b:c=3:4:

55.若复数z=m+mim∈R的模为√2，则z的平方为（）A.1B.-1C.2iD.-2i【答案】A、D【解析】|z|=√m^2+m^2=√2，解得m=±1，所以z=1+i或z=-1-i，z^2=1+i^2=2i或z^2=-1-i^2=-2i

三、填空题

1.若等差数列{a_n}中，a_1=5，a_4=11，则a_10=______（4分）【答案】21【解析】公差d=a_4-a_1/4-1=6/3=2，a_10=a_1+9d=5+18=

212.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b=______（4分）【答案】2【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，代入得√3/sin60°=b/sin45°，解得b=

23.若函数fx=x^2+px+q的图像经过点1,0和2,1，则p+q=______（4分）【答案】1【解析】代入得1+p+q=0，2+2p+q=1，解得p=-2，q=1，所以p+q=-

14.在直角坐标系中，点P到点A1,0和点B0,1的距离之和为√2，则点P的轨迹方程为______（4分）【答案】x+y=1【解析】这是以A、B为焦点，长轴为√2的椭圆，短轴为√√2^2-1^2=1，中心在1/2,1/2，方程为x-1/2^2+y-1/2^2=1/2^2，整理得x+y=

15.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a+b的坐标为______，向量a与b的夹角余弦值为______（4分）【答案】4,-2；-1/√5【解析】a+b=4,-2；cosa,b=a·b/|a||b|=-5/√5√25=-1/√5

四、判断题

1.若函数fx是奇函数，则其图像一定关于原点对称（）（2分）【答案】（√）【解析】奇函数定义f-x=-fx，所以图像关于原点对称

2.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则ab但a^2b^

23.若三角形的三条高相交于一点，则这个点一定是三角形的垂心（）（2分）【答案】（√）【解析】这是垂心定义

4.若函数fx=sinx+φ的图像与y轴交于点0,1，则φ=2kπ+π/2（k∈Z）（）（2分）【答案】（√）【解析】sinφ=1，所以φ=2kπ+π/

25.若复数z=m+mim∈R的模为√2，则z的平方为-1（）（2分）【答案】（×）【解析】z=1+i或z=-1-i，z^2=2i或z^2=-2i，不等于-1

五、简答题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的单调区间（2分）【答案】解fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，当x0时，fx0，函数单调递增；当0x2时，fx0，函数单调递减；当x2时，fx0，函数单调递增所以单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,

22.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，求角B的余弦值（2分）【答案】解由余弦定理cosB=a^2+c^2-b^2/2ac，代入a=3k，b=4k，c=5k得cosB=9k^2+25k^2-16k^2/23k5k=18k^2/30k^2=3/

53.若复数z=a+bia,b∈R满足|z|=1且z^2+z+1=0，求实数a、b的值（2分）【答案】解由|z|=1得a^2+b^2=1，由z^2+z+1=0得a^2-b^2+a+2abi+1=0，所以a^2-b^2+a+1=0且b=0，解得a=-1/2，b=0

六、分析题

1.已知数列{a_n}是等比数列，且a_1=2，a_4=8，求数列的通项公式，并判断该数列的前n项和S_n是否存在最大值（5分）【答案】解设公比为q，由a_4=a_1q^3得8=2q^3，解得q=2，所以通项公式a_n=22^n-1=2^n，前n项和S_n=21-2^n/1-2=2^n+1-2，因为指数函数单调递增，所以S_n无最大值

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的零点个数为2，求证fx在[-2,2]上单调递减（10分）【答案】证明fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，当x∈[-2,0时，fx≥0，函数单调递增；当x∈0,2]时，fx≤0，函数单调递减；又因为f-2=-14，f0=2，f2=0，所以fx在[-2,2]上只有一个零点x=0，矛盾所以fx在[-2,2]上单调递减

七、综合应用题已知函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的零点个数为2，求证fx在[-2,2]上单调递减，并求函数在该区间上的最大值和最小值（20分）【答案】证明fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，当x∈[-2,0时，fx≥0，函数单调递增；当x∈0,2]时，fx≤0，函数单调递减；又因为f-2=-14，f0=2，f2=0，所以fx在[-2,2]上只有一个零点x=0，矛盾所以fx在[-2,2]上单调递减因为单调递减，所以最大值在左端点取得，最小值在右端点取得，所以fxmax=f-2=-14，fxmin=f2=0

八、综合应用题已知函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的零点个数为2，求证fx在[-2,2]上单调递减，并求函数在该区间上的最大值和最小值（25分）【答案】证明fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，当x∈[-2,0时，fx≥0，函数单调递增；当x∈0,2]时，fx≤0，函数单调递减；又因为f-2=-14，f0=2，f2=0，所以fx在[-2,2]上只有一个零点x=0，矛盾所以fx在[-2,2]上单调递减因为单调递减，所以最大值在左端点取得，最小值在右端点取得，所以fxmax=f-2=-14，fxmin=f2=0。