高等代数2期末易错试题及答案

高等代数2期末易错试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个矩阵是可逆的？（）A.\\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}30\\03\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}11\\12\end{pmatrix}\【答案】B【解析】矩阵B是可逆的，因为它的行列式不为零（行列式为9）

2.如果矩阵A是\3\times3\矩阵，且\\text{det}A=2\，则\\text{det}3A\等于多少？A.2B.6C.18D.54【答案】D【解析】\\text{det}3A=3^3\cdot\text{det}A=27\cdot2=54\

3.下列哪个向量是线性无关的？A.\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}3\\6\\9\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}\【答案】B【解析】B选项中的向量是标准基向量，线性无关

4.下列哪个是特征值\\lambda=2\的特征向量？A.\\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\【答案】B【解析】\\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\是矩阵\\begin{pmatrix}20\\02\end{pmatrix}\的特征向量

5.如果向量组\\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\是线性无关的，增加一个向量\\mathbf{v}_4\后，向量组\\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}\的秩最多是多少？A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】增加一个向量后，秩最多增加

16.下列哪个是二次型的标准形？A.\x_1^2+2x_2^2+3x_3^2\B.\x_1^2+x_2^2+x_3^2\C.\x_1^2-x_2^2+x_3^2\D.\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\【答案】B【解析】B选项是标准形，因为只有平方项，没有交叉项

7.下列哪个矩阵是正定矩阵？A.\\begin{pmatrix}12\\21\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}10\\0-1\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\【答案】B【解析】B选项是正定矩阵，因为它的特征值都为正

8.下列哪个是线性方程组有解的充要条件？A.系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B.系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C.增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩D.系数矩阵的秩等于未知数的个数【答案】A【解析】线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

9.下列哪个是欧几里得空间中的标准正交基？A.\\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}\B.\\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\}\C.\\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\D.\\{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3\}\【答案】A【解析】A选项是标准正交基，因为每个向量长度为1且两两正交

10.下列哪个是线性变换？A.\fx=x^2\B.\fx=x+1\C.\fx=\sinx\D.\fx=\frac{1}{x}\【答案】B【解析】B选项是线性变换，因为满足线性条件\fax+by=afx+bfy\

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是矩阵的特征值和特征向量的性质？（）A.特征向量不为零B.特征值可以是复数C.不同特征值对应的特征向量线性无关D.特征值乘积等于行列式E.特征向量可以相同【答案】A、B、C、D【解析】特征向量不为零，特征值可以是复数，不同特征值对应的特征向量线性无关，特征值乘积等于行列式，特征向量不可以相同

2.以下哪些是线性方程组解的性质？（）A.线性方程组有唯一解B.线性方程组无解C.线性方程组有无穷多解D.系数矩阵的秩决定解的情况E.增广矩阵的秩决定解的情况【答案】A、B、C、D、E【解析】线性方程组解的情况由系数矩阵和增广矩阵的秩决定，可以唯一解、无解或无穷多解

3.以下哪些是二次型的性质？（）A.二次型可以正定B.二次型可以负定C.二次型可以半正定D.二次型可以半负定E.二次型可以不确定【答案】A、B、C、D、E【解析】二次型可以是正定、负定、半正定、半负定或不确定

4.以下哪些是向量空间的基本性质？（）A.零向量存在B.加法封闭性C.数乘封闭性D.乘法分配律E.结合律【答案】A、B、C、D、E【解析】向量空间的基本性质包括零向量存在、加法封闭性、数乘封闭性、乘法分配律和结合律

5.以下哪些是矩阵变换的性质？（）A.矩阵乘法满足交换律B.矩阵乘法满足结合律C.单位矩阵是矩阵乘法的单位元D.逆矩阵存在E.矩阵乘法满足分配律【答案】B、C、E【解析】矩阵乘法满足结合律、单位矩阵是单位元、满足分配律，但不满足交换律，逆矩阵不一定存在

三、填空题（每题4分，共32分）

1.如果矩阵A是\2\times2\矩阵，且\\text{det}A=3\，则\\text{det}A^T\等于______【答案】3【解析】矩阵的行列式与其转置矩阵的行列式相等

2.如果向量\\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\是线性无关的，则\\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_1\是否线性无关？答案是______【答案】是【解析】线性无关向量组的线性组合仍然是线性无关的

3.如果矩阵A是可逆的，且\\mathbf{b}\是线性方程组Ax=b的解，则x等于______【答案】A\^{-1}\mathbf{b}\【解析】x=A\^{-1}\mathbf{b}\

4.如果二次型Qx=x^TAx是正定的，则矩阵A的行列式______【答案】大于0【解析】正定矩阵的行列式大于

05.如果向量组\\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\的秩是2，则向量组中任意两个向量是否线性无关？答案是______【答案】是【解析】秩为2说明存在两个线性无关的向量

6.如果线性变换T满足Tx+y=Tx+Ty和Tcx=cTx，则T是______【答案】线性变换【解析】满足这两个条件的变换是线性变换

7.如果矩阵A是\3\times3\矩阵，且\\text{det}A=1\，则\\text{det}2A\等于______【答案】8【解析】\\text{det}2A=2^3\cdot\text{det}A=8\

8.如果向量\\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\是线性相关的，则存在不全为0的数a,b,c使得______【答案】a\\mathbf{v}_1\+b\\mathbf{v}_2\+c\\mathbf{v}_3\=0【解析】线性相关的向量组存在不全为0的数使得线性组合为零向量

四、判断题（每题2分，共20分）

1.如果矩阵A是可逆的，则其转置矩阵A^T也是可逆的（）【答案】（√）【解析】可逆矩阵的转置矩阵也是可逆的

2.如果向量\\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\是线性无关的，则\\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_1\也是线性无关的（）【答案】（√）【解析】线性无关向量组的线性组合仍然是线性无关的

3.如果线性方程组有解，则其解一定是唯一的（）【答案】（×）【解析】线性方程组有解不一定是唯一的，可能有无穷多解

4.如果二次型Qx=x^TAx是负定的，则矩阵A的特征值都小于0（）【答案】（√）【解析】负定矩阵的特征值都小于

05.如果向量组\\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\的秩是3，则向量组中任意三个向量是否线性无关？答案是（）【答案】（√）【解析】秩为3说明向量组是线性无关的

6.如果线性变换T满足Tx+y=Tx+Ty和Tcx=cTx，则T是线性的（）【答案】（√）【解析】满足这两个条件的变换是线性变换

7.如果矩阵A是\2\times2\矩阵，且\\text{det}A=1\，则\\text{det}2A\等于4（）【答案】（×）【解析】\\text{det}2A=2^2\cdot\text{det}A=4\

8.如果向量\\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\是线性相关的，则存在不全为0的数a,b,c使得a\\mathbf{v}_1\+b\\mathbf{v}_2\+c\\mathbf{v}_3\=0（）【答案】（√）【解析】线性相关的向量组存在不全为0的数使得线性组合为零向量

9.如果矩阵A是可逆的，则其行列式不为0（）【答案】（√）【解析】可逆矩阵的行列式不为

010.如果线性方程组无解，则其系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩（）【答案】（×）【解析】线性方程组无解时，系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述矩阵的特征值和特征向量的定义【答案】矩阵A的特征值\\lambda\和特征向量\\mathbf{v}\满足方程A\\mathbf{v}\=\\lambda\mathbf{v}\，其中\\mathbf{v}\是非零向量

2.简述线性方程组有解的充要条件【答案】线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

3.简述二次型的标准形【答案】二次型的标准形是指通过正交变换将二次型化为平方和的形式，即\x_1^2+a_2x_2^2+a_3x_3^2\

4.简述向量空间的基本性质【答案】向量空间的基本性质包括零向量存在、加法封闭性、数乘封闭性、乘法分配律和结合律

5.简述矩阵变换的性质【答案】矩阵变换的性质包括矩阵乘法满足结合律、单位矩阵是矩阵乘法的单位元、满足分配律

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\21\end{pmatrix}\的特征值和特征向量【答案】计算特征多项式\\text{det}A-\lambdaI=\text{det}\begin{pmatrix}1-\lambda2\\21-\lambda\end{pmatrix}=1-\lambda^2-4=\lambda^2-2\lambda-3\解特征方程\\lambda^2-2\lambda-3=0\，得\\lambda_1=3\，\\lambda_2=-1\对\\lambda_1=3\，解方程A-3I\\mathbf{v}\=0，得特征向量\\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\对\\lambda_2=-1\，解方程A+I\\mathbf{v}\=0，得特征向量\\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\

2.分析二次型Qx=x^TAx，其中A=\\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\的正定性【答案】计算特征多项式\\text{det}A-\lambdaI=\text{det}\begin{pmatrix}2-\lambda1\\12-\lambda\end{pmatrix}=2-\lambda^2-1=\lambda^2-4\lambda+3\解特征方程\\lambda^2-4\lambda+3=0\，得\\lambda_1=3\，\\lambda_2=1\因为特征值都为正，所以二次型Qx是正定的

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知线性方程组\\begin{cases}x+2y+3z=1\\2x+5y+7z=2\\3x+7y+10z=3\end{cases}\，求其解【答案】写成矩阵形式\\begin{pmatrix}123\\257\\3710\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\计算系数矩阵的行列式\\text{det}\begin{pmatrix}123\\257\\3710\end{pmatrix}=15\cdot10-7\cdot7-22\cdot10-7\cdot3+32\cdot7-5\cdot3=150-49-220-21+314-15=1+2-3=0\因为行列式为0，所以系数矩阵不可逆，需要进一步判断是否有解计算增广矩阵的行列式\\text{det}\begin{pmatrix}1231\\2572\\37103\end{pmatrix}=15\cdot10-7\cdot7-22\cdot10-7\cdot3+32\cdot7-5\cdot3=150-49-220-21+314-15=1+2-3=0\因为增广矩阵的行列式也为0，所以方程组可能有解或无解通过行变换判断解的情况\\begin{pmatrix}1231\\2572\\37103\end{pmatrix}\xrightarrow{R2-2R1}\begin{pmatrix}1231\\0110\\37103\end{pmatrix}\xrightarrow{R3-3R1}\begin{pmatrix}1231\\0110\\0110\end{pmatrix}\xrightarrow{R3-R2}\begin{pmatrix}1231\\0110\\0000\end{pmatrix}\得到同解方程组\\begin{cases}x+2y+3z=1\\y+z=0\end{cases}\令z=t，则y=-t，x=1-2y-3z=1-2-t-3t=1+2t-3t=1-t所以解为\\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-t\\-t\\t\end{pmatrix}\，其中t为任意实数

2.已知二次型Qx=x^TAx，其中A=\\begin{pmatrix}12\\21\end{pmatrix}\，求其标准形【答案】计算特征多项式\\text{det}A-\lambdaI=\text{det}\begin{pmatrix}1-\lambda2\\21-\lambda\end{pmatrix}=1-\lambda^2-4=\lambda^2-2\lambda-3\解特征方程\\lambda^2-2\lambda-3=0\，得\\lambda_1=3\，\\lambda_2=-1\对\\lambda_1=3\，解方程A-3I\\mathbf{v}\=0，得特征向量\\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\对\\lambda_2=-1\，解方程A+I\\mathbf{v}\=0，得特征向量\\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\将特征向量单位化\\mathbf{u}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\，\\mathbf{u}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\构造正交矩阵P\P=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\对角化矩阵A\P^TAP=\begin{pmatrix}30\\0-1\end{pmatrix}\所以二次型的标准形为\3y_1^2-y_2^2\---标准答案

一、单选题

1.A

2.D

3.B

4.B

5.B

6.B

7.B

8.A

9.A

10.B

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、B、C、D、E

3.A、B、C、D、E

4.A、B、C、D、E

5.B、C、E

三、填空题

1.

32.是

3.A\^{-1}\mathbf{b}\

4.大于

05.是

6.线性变换

7.

88.a\\mathbf{v}_1\+b\\mathbf{v}_2\+c\\mathbf{v}_3\=0

四、判断题

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

6.√

7.×

8.√

9.√

10.×

五、简答题

1.矩阵A的特征值\\lambda\和特征向量\\mathbf{v}\满足方程A\\mathbf{v}\=\\lambda\mathbf{v}\，其中\\mathbf{v}\是非零向量

2.线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

3.二次型的标准形是指通过正交变换将二次型化为平方和的形式，即\x_1^2+a_2x_2^2+a_3x_3^2\

4.向量空间的基本性质包括零向量存在、加法封闭性、数乘封闭性、乘法分配律和结合律

5.矩阵变换的性质包括矩阵乘法满足结合律、单位矩阵是矩阵乘法的单位元、满足分配律

六、分析题

1.计算特征多项式\\text{det}A-\lambdaI=\text{det}\begin{pmatrix}1-\lambda2\\21-\lambda\end{pmatrix}=1-\lambda^2-4=\lambda^2-2\lambda-3\解特征方程\\lambda^2-2\lambda-3=0\，得\\lambda_1=3\，\\lambda_2=-1\对\\lambda_1=3\，解方程A-3I\\mathbf{v}\=0，得特征向量\\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\对\\lambda_2=-1\，解方程A+I\\mathbf{v}\=0，得特征向量\\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\

2.计算特征多项式\\text{det}A-\lambdaI=\text{det}\begin{pmatrix}2-\lambda1\\12-\lambda\end{pmatrix}=2-\lambda^2-1=\lambda^2-4\lambda+3\解特征方程\\lambda^2-4\lambda+3=0\，得\\lambda_1=3\，\\lambda_2=1\因为特征值都为正，所以二次型Qx是正定的

七、综合应用题

1.写成矩阵形式\\begin{pmatrix}123\\257\\3710\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\计算系数矩阵的行列式\\text{det}\begin{pmatrix}123\\257\\3710\end{pmatrix}=150-49-220-21+314-15=1+2-3=0\因为行列式为0，所以系数矩阵不可逆，需要进一步判断是否有解计算增广矩阵的行列式\\text{det}\begin{pmatrix}1231\\2572\\37103\end{pmatrix}=150-49-220-21+314-15=1+2-3=0\因为增广矩阵的行列式也为0，所以方程组可能有解或无解通过行变换判断解的情况\\begin{pmatrix}1231\\2572\\37103\end{pmatrix}\xrightarrow{R2-2R1}\begin{pmatrix}1231\\0110\\37103\end{pmatrix}\xrightarrow{R3-3R1}\begin{pmatrix}1231\\0110\\0110\end{pmatrix}\xrightarrow{R3-R2}\begin{pmatrix}1231\\0110\\0000\end{pmatrix}\得到同解方程组\\begin{cases}x+2y+3z=1\\y+z=0\end{cases}\令z=t，则y=-t，x=1-2y-3z=1-2-t-3t=1+2t-3t=1-t所以解为\\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-t\\-t\\t\end{pmatrix}\，其中t为任意实数

2.计算特征多项式\\text{det}A-\lambdaI=\text{det}\begin{pmatrix}1-\lambda2\\21-\lambda\end{pmatrix}=1-\lambda^2-4=\lambda^2-2\lambda-3\解特征方程\\lambda^2-2\lambda-3=0\，得\\lambda_1=3\，\\lambda_2=-1\对\\lambda_1=3\，解方程A-3I\\mathbf{v}\=0，得特征向量\\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\对\\lambda_2=-1\，解方程A+I\\mathbf{v}\=0，得特征向量\\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\将特征向量单位化\\mathbf{u}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\，\\mathbf{u}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\构造正交矩阵P\P=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\对角化矩阵A\P^TAP=\begin{pmatrix}30\\0-1\end{pmatrix}\所以二次型的标准形为\3y_1^2-y_2^2\。