高等数学12期末试题及答案详解

高等数学1-2期末试题及答案详解

一、单选题（每题1分，共10分）

1.函数fx在点x₀处可导是fx在x₀处连续的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】fx在x₀处可导，则fx在x₀处一定连续，但fx在x₀处连续不一定可导故选A

2.下列函数中，在x→0时，极限存在的是（）A.sin1/xB.e^1/xC.1/xD.logx【答案】D【解析】当x→0时，sin1/x和e^1/x振荡无极限，1/x趋于无穷大，logx在x→0时极限为负无穷，只有logx极限存在故选D

3.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）A.fξ=0B.fξ=fa+fb/2C.fξ=fa-fbD.fξ=kk为任意常数【答案】B【解析】根据介值定理，连续函数在区间内必取区间端点的平均值故选B

4.函数y=x^3在[0,2]上的平均变化率是（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】平均变化率=f2-f0/2-0=8-0/2=4故选C

5.若fx是偶函数，且f1=3，则f-1的值是（）A.-3B.3C.0D.无法确定【答案】B【解析】偶函数满足f-x=fx，故f-1=f1=3故选B

6.极限limx→2x^2-4/x-2的值是（）A.0B.2C.4D.无穷大【答案】C【解析】limx→2x^2-4/x-2=limx→2x+2=4故选C

7.若函数y=sinx在区间[0,π]上是增函数，则x的取值范围是（）A.[0,π/2]B.[π/2,π]C.[0,π]D.无法确定【答案】A【解析】sinx在[0,π/2]上单调递增故选A

8.若fx=x^2+ax+b，且f1=3，f2=5，则a+b的值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】f1=1+a+b=3，f2=4+2a+b=5，解得a=1,b=2，故a+b=3故选B

9.若函数fx在x₀处可导，则下列说法正确的是（）A.fx在x₀处一定连续B.fx在x₀的左右极限一定存在C.fx在x₀处一定可微D.fx在x₀处一定可积【答案】A【解析】函数在某点可导必在该点连续故选A

10.下列级数中，收敛的是（）A.∑n=1→∞1/nB.∑n=1→∞-1^n/nC.∑n=1→∞1/n^2D.∑n=1→∞1/n^3【答案】C【解析】调和级数发散，交错调和级数条件收敛，p-级数当p1时收敛，p=2时收敛，p=3时收敛故选C

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x→0时，极限limfx存在的是（）A.sinx/xB.x^2sin1/xC.e^x-1D.1/x^2【答案】A、B、C【解析】sinx/x在x→0时极限为1，x^2sin1/x在x→0时极限为0，e^x-1在x→0时极限为1，1/x^2在x→0时极限为无穷大故选A、B、C

2.下列说法中，正确的有（）A.函数在某区间上可导，则在该区间上一定连续B.函数在某点连续，则在该点一定可导C.函数在某点可导，则在该点的左右极限一定存在D.函数在某点可微，则在该点一定可导【答案】A、C、D【解析】可导必连续，可导的左右极限一定存在，可微必可导故选A、C、D

3.下列函数中，是奇函数的有（）A.fx=x^3B.fx=x^2C.fx=sinxD.fx=e^x【答案】A、C【解析】x^3和sinx是奇函数，x^2和e^x是偶函数故选A、C

4.下列说法中，正确的有（）A.函数在某区间上单调递增，则其导数在该区间上非负B.函数在某区间上单调递减，则其导数在该区间上非正C.函数在某点取得极值，则该点的导数为0D.函数在某点导数为0，则该点一定取得极值【答案】A、B、C【解析】单调递增导数非负，单调递减导数非正，极值点导数为0，但导数为0不一定为极值点故选A、B、C

5.下列级数中，收敛的有（）A.∑n=1→∞-1^n/nB.∑n=1→∞1/n^2C.∑n=1→∞1/nD.∑n=1→∞-1^n/n^2【答案】B、D【解析】交错调和级数条件收敛，p-级数当p1时收敛，p=2时收敛，p=1时发散故选B、D

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得______=fb-fa/b-a【答案】fξ【解析】根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a故填fξ

2.若函数y=x^2在[1,3]上的平均变化率是4，则______【答案】4【解析】平均变化率=f3-f1/3-1=9-1/2=4故填

43.若函数fx在x₀处可导，且fx₀=2，则函数y=fx在点x₀,fx₀处的切线斜率是______【答案】2【解析】切线斜率等于函数在该点的导数，故为2故填

24.若函数y=sinx在x=π/2处的导数是1，则______【答案】1【解析】sinx在x=π/2处的导数是cosπ/2=0，但题目给的是1，可能题目有误故填

15.若级数∑n=1→∞a_n收敛，则______【答案】a_n→0n→∞【解析】级数收敛的必要条件是通项趋于0故填a_n→0n→∞

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x₀处可导，则fx在x₀处一定连续（）【答案】（√）【解析】可导必连续故对

2.函数y=x^3在[0,1]上的平均变化率是3（）【答案】（×）【解析】平均变化率=1-0/1-0=1故错

3.若函数fx是偶函数，且f1=2，则f-1的值是-2（）【答案】（√）【解析】偶函数满足f-x=fx，故f-1=f1=2但题目说f-1=-2，矛盾故错

4.若函数y=sinx在区间[0,π]上是增函数（）【答案】（×）【解析】sinx在[0,π/2]上单调递增，在[π/2,π]上单调递减故错

5.若级数∑n=1→∞a_n收敛，则a_n^2也收敛（）【答案】（×）【解析】a_n收敛到0，但a_n^2不一定收敛例如a_n=1/n，∑1/n发散，但∑1/n^2收敛故错

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述函数在某点可导与连续的关系【答案】函数在某点可导，则在该点一定连续；但函数在某点连续，不一定在该点可导可导是连续的充分不必要条件

2.简述拉格朗日中值定理的内容【答案】若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导，则存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a

3.简述级数收敛的必要条件【答案】若级数∑n=1→∞a_n收敛，则其通项a_n必须趋于0（即a_n→0，当n→∞时）

4.简述函数在某点取得极值的条件【答案】函数在某点取得极值，该点的导数可能为0或导数不存在；若导数为0，还需判断该点是极大值点还是极小值点

5.简述函数的单调性与导数的关系【答案】函数在某区间上单调递增，则其导数在该区间上非负；函数在某区间上单调递减，则其导数在该区间上非正

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数y=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性和极值【答案】首先求导y=3x^2-6x=3xx-2令y=0，得x=0和x=2列表分析|x|-1|-1,0|0|0,2|2|2,3|3||----|-----|--------|----|-------|----|-------|----||y|+|+|0|-|0|+|+||y||↗|极大|↘|极小|↗||故在[-1,0]和[2,3]上单调递增，在[0,2]上单调递减极大值在x=0处为2，极小值在x=2处为

02.分析级数∑n=1→∞-1^n/n^2的敛散性【答案】这是一个交错级数，且通项a_n=1/n^2单调递减且趋于0根据莱布尼茨判别法，该级数收敛同时，∑1/n^2是p-级数，p=21，故收敛因此∑n=1→∞-1^n/n^2收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值【答案】首先求导fx=3x^2-6x=3xx-2令fx=0，得x=0和x=2计算端点和驻点的函数值f-1=-1^3-3-1^2+2=-1-3+2=-2f0=0^3-30^2+2=2f2=2^3-32^2+2=8-12+2=-2f3=3^3-33^2+2=27-27+2=2故最大值为2，最小值为-

22.已知函数fx=x^2-4x+5，求函数在区间[1,3]上的平均值【答案】函数在区间[a,b]上的平均值=1/b-a∫[a,b]fxdx计算∫[1,3]x^2-4x+5dx=[x^3/3-2x^2+5x]|[1,3]=27/3-18+15-1/3-2+5=9-18+15-1/3-2+5=6-1/3+3=6-10/3=8/3故平均值为1/3-18/3=4/3---标准答案

一、单选题

1.A

2.D

3.B

4.C

5.B

6.C

7.A

8.B

9.A

10.C

二、多选题

1.A、B、C

2.A、C、D

3.A、C

4.A、B、C

5.B、D

三、填空题

1.fξ

2.

43.

24.

15.a_n→0n→∞

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

4.见解析

5.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。