高等数学e1考卷及答案分享

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一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.y=|x|B.y=x^2C.y=3x+1D.y=x^3【答案】A【解析】绝对值函数y=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.极限limx→2x^2-4/x-2的值为（）A.0B.2C.4D.不存在【答案】C【解析】通过分子有理化得到limx→2x+2=

43.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均变化率为（）A.eB.e-1C.1D.loge【答案】B【解析】平均变化率为f1-f0/1-0=e-

14.曲线y=lnx在点1,e处的切线斜率为（）A.1B.eC.1/eD.e^2【答案】C【解析】y=1/x，在x=1处斜率为1/e

5.函数y=2sin3x+π/6的最小正周期为（）A.2πB.πC.2π/3D.π/3【答案】C【解析】周期T=2π/|ω|=2π/

36.级数∑n=1to∞1/2^n的和为（）A.1/2B.1C.2D.∞【答案】B【解析】等比级数求和公式得到1/1-1/2=

17.向量i×j的模长为（）A.1B.0C.iD.j【答案】A【解析】i×j=k，模长为

18.曲面z=√x^2+y^2在点1,1,√2处的切平面方程为（）A.x+y+z=2B.x-y+z=√2C.x+y-z=√2D.x-y-z=√2【答案】C【解析】法向量为1,1,-1，切平面方程为x+y-z=√

29.设fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ等于（）A.fa+fb/2B.faC.fbD.0【答案】A【解析】应用介值定理

10.函数y=arctanx在x=0处的二阶导数为（）A.1B.0C.1/2D.无穷大【答案】B【解析】y=1/1+x^2，y=-2x/1+x^2^2，x=0时y=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在定义域内处处可导的有（）A.y=x^3B.y=1/xC.y=|x|D.y=e^xE.y=lnx【答案】A、D、E【解析】y=1/x在x=0不可导，y=|x|在x=0不可导

2.关于函数fx=x^3-3x，下列说法正确的有（）A.在x=1处取得极大值B.在x=-1处取得极小值C.曲线关于原点对称D.在-∞,∞上单调递增E.拐点为0,0【答案】A、B、C、E【解析】fx=3x^2-3，fx=6x，分析导数符号变化和对称性

3.下列级数中，收敛的有（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞1/2^nE.∑n=1to∞1/sqrtn【答案】B、C、D【解析】p-级数判别法，交错级数判别法，等比级数

4.向量场F=x,y,z在点1,1,1处的旋度为（）A.1,1,1B.0,0,0C.-1,-1,-1D.2,2,2E.1,0,0【答案】B【解析】∇×F=0,0,

05.下列命题中，正确的有（）A.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界B.若函数fx在[a,b]上可导，则fx在[a,b]上连续C.若级数∑a_n收敛，则∑|a_n|必收敛D.若函数fx在[a,b]上单调递增，则fx在[a,b]上必有最大值E.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最小值【答案】A、B、D、E【解析】根据连续性、可导性、级数收敛性、单调性性质

三、填空题（每题4分，共32分）

1.极限limx→0sinx/x=______【答案】1【解析】标准极限公式

2.函数y=x^2在区间[1,2]上的积分中值定理的值为______【答案】9/4【解析】1+2/2=

1.5，

1.5^2=9/

43.级数∑n=1to∞1/3^n的前n项和S_n的表达式为______【答案】3/3^n-1【解析】等比级数求和公式

4.向量1,2,3与2,-1,1的向量积为______【答案】-5,5,5【解析】行列式计算

5.曲面x^2+y^2+z^2=4在点1,1,√2处的法向量为______【答案】1,1,√2【解析】梯度向量

6.函数fx=x^3-3x在x=2处的泰勒展开式的一阶项为______【答案】-3【解析】fx=3x^2-3，f2=-

37.曲线y=xe^x在x=0处的曲率为______【答案】1【解析】曲率公式k=y0+y0^2/1+y0^2^3/

28.设函数fx在[a,b]上连续，且fx≥0，则∫[a,b]√fxdx的几何意义为______【答案】曲边梯形面积【解析】积分的几何意义

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若函数fx在x=0处可导，则fx在x=0处必连续（）【答案】（√）【解析】可导必连续

2.若级数∑a_n发散，则级数∑|a_n|必发散（）【答案】（√）【解析】绝对值级数收敛性

3.若向量F=Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在区域Ω内为保守场，则∇×F=0（）【答案】（√）【解析】保守场性质

4.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值（）【答案】（√）【解析】最值定理

5.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界（）【答案】（√）【解析】可积性要求有界

五、简答题（每题5分，共20分）

1.简述罗尔定理的条件和结论【答案】条件函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导，且fa=fb结论存在ξ∈a,b，使得fξ=

02.简述定积分的几何意义【答案】定积分∫[a,b]fxdx表示函数fx在区间[a,b]上的曲边梯形面积，当fx≥0时为正面积，fx≤0时为负面积

3.简述级数收敛的必要条件【答案】级数∑a_n收敛的必要条件是lima_n=

04.简述向量场的旋度的物理意义【答案】向量场的旋度表示该向量场在一点的旋转程度，物理上与流体旋转、电磁场等密切相关

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性、极值和凹凸性【答案】fx=3x^2-6x，fx=6x-6令fx=0得x=0,2，f0=-60，极大值f0=2；f2=60，极小值f2=-2在-∞,0上fx0单调增，0,2上fx0单调减，2,∞上fx0单调增在-∞,1上fx0凹，1,∞上fx0凸

2.分析级数∑n=1to∞n/n+1^2的收敛性【答案】应用比较判别法，n/n+1^21/n^2，而∑1/n^2收敛，故原级数收敛或应用比值判别法，limn→∞n+1/n+2=1，收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx在[0,1]上连续，且满足f0=1，f1=2，证明存在ξ∈0,1，使得fξ=3ξ【答案】构造函数Fx=fx-3x，F0=1，F1=2-3=-1，F0F10由零点定理，存在ξ∈0,1，使得Fξ=0，即fξ=3ξ

2.计算二重积分∬[D]x^2+y^2dxdy，其中D为圆域x^2+y^2≤1【答案】采用极坐标，x=rcosθ，y=rsinθ，dxdy=rdrdθ∬[D]x^2+y^2dxdy=∫[0,2π]∫[0,1]r^2·rdrdθ=∫[0,2π]1/4dθ=π/2---完整标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.B

4.C

5.C

6.B

7.A

8.C

9.A

10.B

二、多选题

1.A、D、E

2.A、B、C、E

3.B、C、D

4.B

5.A、B、D、E

三、填空题

1.

12.9/

43.3/3^n-

14.-5,5,

55.1,1,√

26.-

37.

18.曲边梯形面积

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

4.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.见答案

2.见答案。