高等数学历年测试题及完整答案

高等数学历年测试题及完整答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.y=3x^2+2x+1B.y=√xC.y=|x|D.y=x^3【答案】C【解析】绝对值函数y=|x|在x=0处不可导

2.极限limx→2x^2-4/x-2的值为（）A.2B.4C.0D.不存在【答案】B【解析】分子分母约去x-2得x+2，极限为

43.函数y=lnx+1在x=0处的微分dy为（）A.1B.0C.ln2D.1/2【答案】A【解析】dy=y|x=0dx=1dx=

14.下列级数中，收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞2^n【答案】B【解析】p-级数判别法，p=21收敛

5.函数y=xe^-x的极值点为（）A.x=0B.x=1C.x=-1D.x=2【答案】B【解析】y=e^-x-xe^-x=e^-x1-x，令y=0得x=

16.不定积分∫x^2+1dx的值为（）A.x^3/3+x+CB.x^2/2+x+CC.x^3/3+x^2+CD.x^2/2+C【答案】B【解析】∫x^2dx+x∫1dx=x^3/3+x+C

7.曲线y=x^3与y=3x相交的点的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】联立方程x^3=3x得xx^2-3=0，解得x=0,±√

38.函数y=2cos3x的周期为（）A.2πB.πC.2π/3D.π/3【答案】C【解析】周期T=2π/|ω|=2π/

39.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）A.fξ=0B.fξ=fb-fa/b-aC.fξ=∫[a,b]fxdxD.fξ=fb/fa【答案】B【解析】拉格朗日中值定理

10.下列向量中，与向量1,2,3平行的向量为（）A.2,4,6B.3,6,9C.-1,-2,-3D.1,3,5【答案】C【解析】平行向量方向相同或相反，只有-1,-2,-3与1,2,3方向相反【答案】A、B、C、E【解析】新闻素材来源包括采访录音、视频资料、官方文件和实地观察，个人观点不属于直接素材考查素材分类

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数fx=lnx+1在x=0处的导数f0为______【答案】

12.定积分∫[0,1]xe^xdx的值为______【答案】e-

13.级数∑n=1to∞1/2^n的前10项和为______【答案】1-1/

10244.曲线y=x^2与y=2-x^2的交点坐标为______【答案】1,1,-1,

15.函数y=2sin3x+1的振幅为______，周期为______【答案】2；2π/

36.若函数fx在[a,b]上连续，则根据微积分基本定理，∫[a,b]fxdx=fb-fa成立，这个定理称为______【答案】微积分基本定理

7.向量2,1,3与向量-1,2,-2的点积为______【答案】-

48.若函数fx在x=c处取得极值，且fc=0，则根据第二导数判别法，当fc0时，fx在x=c处取得______极值【答案】极小

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在a,b内必有界（）【答案】（×）【解析】反例fx=1/x在[1,2]上连续，但在0,1上无界

2.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞|a_n|也收敛（）【答案】（×）【解析】绝对收敛是条件收敛的充分条件，但不是必要条件

3.若函数fx在x=c处取得极值，且fc=0，则fx在x=c处必有拐点（）【答案】（×）【解析】二阶导数非零时才有拐点，若二阶导数为零需进一步判断

4.若向量a与向量b垂直，则它们的点积a·b=0（）【答案】（√）【解析】垂直向量的点积为

05.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在a,b内必有界（）【答案】（√）【解析】可积函数必有界

6.若函数fx在x=c处取得极大值，则fc必为0（）【答案】（√）【解析】极值点处导数为0（除尖点外）

7.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则a_n→0（n→∞）（）【答案】（√）【解析】收敛级数通项趋于

08.若向量a与向量b平行，则它们的向量积a×b必为0（）【答案】（×）【解析】零向量与任何向量平行，但非零平行向量的向量积为

09.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在a,b内必有驻点（）【答案】（×）【解析】反例fx=x在[0,1]上连续，但0,1内无驻点

10.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在a,b内必处处连续（）【答案】（×）【解析】可积函数不要求处处连续，只需有界且只有有限个不连续点

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述洛必达法则的适用条件【答案】洛必达法则适用于以下条件

（1）极限形式为0/0或∞/∞；

（2）分子分母在极限点附近均可导；

（3）分母导数不为0；

（4）极限limx→cfx/gx存在或为无穷大

2.简述定积分的几何意义【答案】定积分∫[a,b]fxdx的几何意义为曲线y=fx在x=a与x=b之间与x轴围成的曲边梯形的面积（若fx≥0），或对应区域的代数面积（若fx在[a,b]上有正有负）

3.简述级数收敛的必要条件【答案】级数∑n=1to∞a_n收敛的必要条件是通项a_n→0（n→∞）若通项不趋于0，则级数必发散

4.简述向量平行的条件【答案】向量a与向量b平行的条件是存在非零实数k，使得a=kb或两个向量的坐标成比例

5.简述函数取得极值的必要条件【答案】函数fx在x=c处取得极值的必要条件是fc=0或fc不存在驻点可能是极值点，但不是充分条件

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在[-1,4]上的单调区间和极值点【答案】

（1）求导fx=3x^2-6x=3xx-2；

（2）解方程fx=0得驻点x=0,2；

（3）列表分析|区间|-∞,0|0,2|2,4||------------|--------|--------|--------||fx符号|+|-|+||fx单调性|递增|递减|递增||极值点|无|极大0|极小4|

（4）结论单调递增区间-∞,0∪2,4单调递减区间0,2极大值点x=0，极大值f0=2极小值点x=2，极小值f2=

02.分析级数∑n=1to∞-1^n+1/n是否收敛，并说明理由【答案】

（1）判断交错级数通项a_n=1/n，满足a_n+1a_n（n1），且a_n→0（n→∞）；

（2）应用莱布尼茨判别法该级数收敛；

（3）进一步分析这是交错调和级数，条件收敛，非绝对收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知曲线y=xe^-x，求

（1）曲线在x=1处的切线方程；

（2）曲线在[0,3]上的最大值和最小值；

（3）曲线在[0,3]上的面积【答案】

（1）求切线方程y=e^-x-xe^-x=e^-x1-x；在x=1处，y=-e^-1，y=e^-1；切线方程y-e^-1=-e^-1x-1⇒y=-e^-1x+2e^-1

（2）求最值令y=0得x=1，f1=e^-1；端点值f0=1，f3=3e^-3；比较最大值f0=1，最小值f1=e^-1

（3）求面积∫[0,3]xe^-xdx=-xe^-x∣[0,3]+∫[0,3]e^-xdx=-3e^-3+e^0-[-e^-x∣[0,3]]=-3e^-3+1+e^-3-1=1-4e^-

32.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求

（1）函数的拐点；

（2）函数的渐近线；

（3）函数的图形特征（单调性、极值、凹凸性）【答案】

（1）求拐点二阶导数fx=6x-6；令fx=0得x=1；曲率变化fx在x=1两侧异号；拐点1,0

（2）求渐近线函数为多项式，无垂直渐近线；水平渐近线limx→±∞x^3-3x^2+2/x^3=1，y=1；斜渐近线无（因水平渐近线已确定）

（3）图形特征单调区间-∞,0递增，0,2递减，2,∞递增；极值x=0极大值2，x=2极小值0；凹凸性-∞,1凹下，1,∞凹上；拐点1,0；渐近线y=1---标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.A

4.B

5.B

6.B

7.C

8.C

9.B

10.C

二、多选题

1.A、B、C、E

三、填空题

1.

12.e-

13.1-1/

10244.1,1,-1,

15.2；2π/

36.微积分基本定理

7.-

48.极小

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

6.（√）

7.（√）

8.（×）

9.（×）

10.（×）

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

4.见解析

5.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。