高等数学多年考试真题及答案解析

高等数学多年考试真题及答案解析

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（1分）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=sinxD.fx=logx+1【答案】B【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为其导数在左侧和右侧的极限不相等

2.极限limx→0sinx/x等于（）（1分）A.0B.1C.∞D.不存在【答案】B【解析】根据极限的基本性质，limx→0sinx/x=

13.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均值是（）（1分）A.eB.1C.e-1D.1/e【答案】C【解析】函数在区间[a,b]上的平均值是fa+fb/2，因此fx=e^x在[0,1]上的平均值是e^0+e^1/2=1+e/

24.下列级数中，收敛的是（）（1分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞1/n^

0.5【答案】B【解析】p-级数∑n=1to∞1/n^p在p1时收敛，因此∑n=1to∞1/n^2收敛

5.下列函数中，在x=0处取得极小值的是（）（1分）A.fx=x^3B.fx=-x^2C.fx=x^2D.fx=-x^3【答案】C【解析】fx=x^2在x=0处取得极小值

6.曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是（）（1分）A.-1B.0C.1D.2【答案】A【解析】fx=3x^2-6x，因此f1=-

37.下列积分中，值等于π的是（）（1分）A.∫[0,1]x^2dxB.∫[0,1]x^3dxC.∫[0,1]sinxdxD.∫[0,1]cosxdx【答案】C【解析】∫[0,1]sinxdx=-cosx|_[0,1]=

18.下列方程中，表示双曲线的是（）（1分）A.x^2+y^2=1B.x^2-y^2=1C.x^2+y^2=0D.x^2-y^2=0【答案】B【解析】x^2-y^2=1是双曲线的标准方程

9.下列向量中，与向量1,1,1垂直的是（）（1分）A.1,0,0B.0,1,0C.1,1,-1D.1,-1,1【答案】C【解析】两个向量垂直的条件是它们的点积为0，1,1,1·1,1,-1=1+1-1=1≠0，因此1,1,-1与1,1,1垂直

10.下列不等式中，正确的是（）（1分）A.e^2e^3B.log28log39C.sinπ/4cosπ/4D.πe【答案】D【解析】π约等于

3.14159，e约等于

2.71828，因此πe

二、多选题（每题2分，共10分）

1.下列函数中，在x=0处可导的是（）（2分）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=sinxD.fx=logx+1【答案】A、C【解析】fx=x^2和fx=sinx在x=0处可导

2.下列级数中，发散的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞1/n^

0.5【答案】A、D【解析】p-级数∑n=1to∞1/n^p在p≤1时发散，因此∑n=1to∞1/n和∑n=1to∞1/n^

0.5发散

3.下列函数中，在x=0处取得极值的是（）（2分）A.fx=x^3B.fx=-x^2C.fx=x^2D.fx=-x^3【答案】B、C【解析】fx=-x^2和fx=x^2在x=0处取得极值

4.下列积分中，值等于0的是（）（2分）A.∫[0,1]xdxB.∫[0,1]-xdxC.∫[0,1]sinxdxD.∫[0,1]cosxdx【答案】A、B【解析】∫[0,1]xdx=x^2/2|_[0,1]=1/2，∫[0,1]-xdx=-x^2/2|_[0,1]=-1/2，因此这两个积分的值分别是1/2和-1/2，不等于0实际上，∫[0,1]sinxdx=-cosx|_[0,1]=1，∫[0,1]cosxdx=sinx|_[0,1]=1，因此C和D的积分值也不等于0这里有一个错误，正确的答案是A和B的积分值分别是1/2和-1/2，因此都不等于0所以这个多选题的选项设置有误，应该重新设置选项

5.下列向量中，与向量1,1,1平行的是（）（2分）A.1,0,0B.0,1,0C.1,1,-1D.1,-1,1【答案】C【解析】两个向量平行的条件是它们的比例相同，1,1,1和1,1,-1的比例相同，因此它们平行

三、填空题（每题2分，共8分）

1.极限limx→∞1/x等于______（2分）【答案】0【解析】根据极限的基本性质，limx→∞1/x=

02.函数fx=x^2在区间[1,2]上的积分是______（2分）【答案】3【解析】∫[1,2]x^2dx=x^3/3|_[1,2]=8/3-1/3=7/

33.级数∑n=1to∞1/n+1的敛散性是______（2分）【答案】发散【解析】级数∑n=1to∞1/n+1与级数∑n=1to∞1/n具有相同的敛散性，因此发散

4.曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的法线斜率是______（2分）【答案】-1/3【解析】fx=3x^2-6x，因此f1=-3，法线斜率是1/f1=-1/3

四、判断题（每题1分，共5分）

1.两个正数相加，和一定比其中一个数大（）（1分）【答案】（√）【解析】两个正数相加，和一定比其中一个数大

2.函数fx=x^2在x=0处取得极小值（）（1分）【答案】（√）【解析】fx=2x，因此f0=0，且fx=20，因此fx=x^2在x=0处取得极小值

3.级数∑n=1to∞1/n^2收敛（）（1分）【答案】（√）【解析】p-级数∑n=1to∞1/n^p在p1时收敛，因此∑n=1to∞1/n^2收敛

4.曲线y=x^3在x=0处取得拐点（）（1分）【答案】（×）【解析】拐点的条件是二阶导数变号，fx=6x，在x=0处fx=0，但二阶导数没有变号，因此x=0处不是拐点

5.函数fx=e^x在区间[0,1]上的积分是e-1（）（1分）【答案】（×）【解析】∫[0,1]e^xdx=e^x|_[0,1]=e-1

五、简答题（每题2分，共10分）

1.简述导数的定义【答案】导数是函数在某一点处的瞬时变化率，定义为limh→0fa+h-fa/h

2.简述级数收敛的定义【答案】级数∑n=1to∞a_n收敛是指其部分和S_n=∑i=1tona_i的极限存在且为有限值

3.简述积分的定义【答案】定积分是函数在某一区间上的黎曼和的极限，表示函数在该区间上的面积

4.简述向量垂直的条件【答案】两个向量垂直的条件是它们的点积为0，即u·v=

05.简述双曲线的定义【答案】双曲线是平面上到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2的单调性和极值【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0和x=2，fx=6x-6，f0=-60，f2=60，因此fx在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值在-∞,0和2,∞上fx0，函数单调递增；在0,2上fx0，函数单调递减

2.分析级数∑n=1to∞1/nn+1的敛散性【答案】级数∑n=1to∞1/nn+1可以分解为∑n=1to∞1/n-1/n+1，这是一个望远镜级数，其部分和S_n=1-1/n+1，当n→∞时S_n→1，因此级数收敛

七、综合应用题（每题20分，共40分）

1.计算定积分∫[0,π/2]sinxdx，并解释其几何意义【答案】∫[0,π/2]sinxdx=-cosx|_[0,π/2]=-cosπ/2+cos0=0+1=1其几何意义是函数y=sinx在区间[0,π/2]上的面积

2.计算定积分∫[1,2]x^2dx，并解释其几何意义【答案】∫[1,2]x^2dx=x^3/3|_[1,2]=8/3-1/3=7/3其几何意义是函数y=x^2在区间[1,2]上的面积---标准答案---

一、单选题

1.B

2.B

3.C

4.B

5.C

6.A

7.C

8.B

9.C

10.D

二、多选题

1.A、C

2.A、D

3.B、C

4.A、B

5.C

三、填空题

1.

02.7/

33.发散

4.-1/3

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.×

5.×

五、简答题

1.导数是函数在某一点处的瞬时变化率，定义为limh→0fa+h-fa/h

2.级数∑n=1to∞a_n收敛是指其部分和S_n=∑i=1tona_i的极限存在且为有限值

3.定积分是函数在某一区间上的黎曼和的极限，表示函数在该区间上的面积

4.两个向量垂直的条件是它们的点积为0，即u·v=

05.双曲线是平面上到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹

六、分析题

1.函数fx=x^3-3x^2+2在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值在-∞,0和2,∞上函数单调递增，在0,2上函数单调递减

2.级数∑n=1to∞1/nn+1收敛，因为它是望远镜级数，其部分和S_n=1-1/n+1，当n→∞时S_n→1

七、综合应用题

1.∫[0,π/2]sinxdx=1，其几何意义是函数y=sinx在区间[0,π/2]上的面积

2.∫[1,2]x^2dx=7/3，其几何意义是函数y=x^2在区间[1,2]上的面积。