高等数学特定专题练习题及答案分析

高等数学特定专题练习题及答案分析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.设函数fx在点x0处可导，且fx0=-1，则当x→x0时，fx的极限是（）（2分）A.-1B.0C.x0D.不存在【答案】C【解析】fx在x0处可导，说明fx在x0处连续，所以当x→x0时，fx的极限为fx

02.函数y=lnx^2在区间0,1内是（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.无定义D.既不单调递增也不单调递减【答案】B【解析】y=lnx^2=2ln|x|，在0,1内x0，所以y=2lnx，其导数为2/x，在0,1内为正，函数单调递减

3.设fx是连续函数，且满足fx=∫_0^xftdt，则fx等于（）（2分）A.e^xB.e^x-1C.xe^xD.x【答案】D【解析】两边求导得fx=fx，解此微分方程得fx=Ce^x，由f0=∫_0^0ftdt=0，得C=0，故fx=0，但选项无0，所以题目可能存在问题

4.设z=fx,y在点x0,y0处可微，且fx0,y0=2，f_xx0,y0=1，f_yx0,y0=-1，则当x,y→x0,y0时，fx,y-fx0,y0约等于（）（2分）A.x-x0+-y-y0B.x-x0--y-y0C.f_xx0,y0x-x0+f_yx0,y0y-y0D.x-x0【答案】C【解析】由全微分定义，fx,y-fx0,y0≈f_xx0,y0x-x0+f_yx0,y0y-y

05.设级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，则下列级数中一定收敛的是（）（2分）A.∑_{n=1}^∞a_n+1B.∑_{n=1}^∞a_n^2C.∑_{n=1}^∞-1^na_nD.∑_{n=1}^∞a_n/n【答案】C【解析】由于原级数绝对收敛，故改变符号不影响收敛性

6.设函数fx在[a,b]上连续，且fx0，则∫_a^b√fxdx与∫_a^bfxdx的大小关系是（）（2分）A.前者大于后者B.前者小于后者C.两者相等D.无法确定【答案】B【解析】因为√xx对所有x0成立，所以√fxfx

7.设函数fx在[a,b]上连续，且fx≥0，则由y=fx，x=a，x=b及x轴所围成的图形的面积S等于（）（2分）A.∫_a^bfxdxB.∫_-b^afxdxC.∫_a^b|fx|dxD.∫_-b^-afxdx【答案】A【解析】由定积分的几何意义知，y=fx，x=a，x=b及x轴所围成的图形的面积S=∫_a^bfxdx

8.设fx是奇函数，且在[0,+∞上单调递增，则fx在-∞,0上（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.可能单调递增也可能单调递减D.不确定【答案】A【解析】奇函数关于原点对称，故在-∞,0上单调递增

9.设函数fx在点x0处取得极大值，且fx0存在，则fx0等于（）（2分）A.0B.1C.-1D.不存在【答案】A【解析】由费马定理知，可导函数在极值点处导数为

010.设函数fx在[a,b]上连续，且在a,b内可导，则根据拉格朗日中值定理，至少存在一点ξ∈a,b，使得（）（2分）A.fb-fa=fξb-aB.fb-fa=fξa-bC.fξ=0D.fξ=0【答案】A【解析】由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈a,b，使得fb-fa=fξb-a

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在-∞,+∞内可导的是（）（4分）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=ln|x|E.fx=sinx【答案】A、C、E【解析】fx=x^

2、fx=e^x和fx=sinx在整个实数域内都可导；fx=|x|在x=0处不可导；fx=ln|x|在x=0处无定义

2.下列级数中，收敛的是（）（4分）A.∑_{n=1}^∞1/nB.∑_{n=1}^∞-1^n/nC.∑_{n=1}^∞1/n^2D.∑_{n=1}^∞-1^n/n+1E.∑_{n=1}^∞1/n^3【答案】B、C、D、E【解析】p-级数∑_{n=1}^∞1/n^p收敛当且仅当p1；交错级数∑_{n=1}^∞-1^n/b_n收敛当且仅当b_n单调递减且b_n→

03.下列函数中，在x→0时是无穷小量的是（）（4分）A.fx=sinxB.fx=tanxC.fx=ln1+xD.fx=e^x-1E.fx=x^2【答案】A、B、C、D、E【解析】所有选项在x→0时都是无穷小量

4.下列说法中，正确的是（）（4分）A.若函数fx在[a,b]上连续，则∫_a^bfxdx存在B.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界C.若函数fx在[a,b]上单调，则fx在[a,b]上可积D.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必连续E.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必可积【答案】A、B、C、E【解析】根据定积分的定义和性质，以上说法均正确

5.下列说法中，正确的是（）（4分）A.若函数fx在点x0处可导，则fx在x0处必连续B.若函数fx在点x0处连续，则fx在x0处必可导C.若函数fx在点x0处可微，则fx在x0处必连续D.若函数fx在点x0处连续，则fx在x0处必可微E.若函数fx在点x0处可微，则fx在x0处必可导【答案】A、C、E【解析】可导必连续，可微必可导，但连续不一定可导，可导不一定可微

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数y=2x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率为k，则k=______（4分）【答案】1【解析】y=6x^2-6x，在x=1处，y=6-6=0，所以k=

02.若函数y=lnx+1在x=0处的二阶导数为y0，则y0=______（4分）【答案】2【解析】y=1/x+1，y=-1/x+1^2，在x=0处，y=-1/1^2=-

13.若函数y=e^x在x=1处的线性近似为y≈a+be^1，则a=______，b=______（4分）【答案】1，1【解析】y=e^x在x=0处的切线方程为y=1+1x-0，即y=x+1，所以a=1，b=

14.若级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，且a_n0，则级数∑_{n=1}^∞a_n^2收敛性为______（4分）【答案】收敛【解析】由正项级数比较判别法知，若a_n^2≤a_n，则∑_{n=1}^∞a_n^2收敛

5.若函数fx在[a,b]上连续，且在a,b内可导，则根据泰勒中值定理，至少存在一点ξ∈a,b，使得fb=fa+fξb-a______（4分）【答案】（×）【解析】泰勒中值定理应为fb=fa+fξb-a+fξb-a^2/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则∫_a^bfxdx存在（）（2分）【答案】（√）

2.若函数fx在点x0处可导，则fx在x0处必连续（）（2分）【答案】（√）

3.若函数fx在点x0处连续，则fx在x0处必可导（）（2分）【答案】（×）

4.若函数fx在点x0处可微，则fx在x0处必可导（）（2分）【答案】（√）

5.若函数fx在点x0处可导，则fx在x0处必可微（）（2分）【答案】（√）

五、简答题（每题4分，共12分）

1.什么是函数的导数？导数有什么几何意义和物理意义？（4分）【答案】函数fx在点x0处的导数定义为fx0=lim_{h→0}fx0+h-fx0/h几何意义是曲线y=fx在点x0,fx0处的切线斜率；物理意义是变速直线运动的速度

2.简述定积分的定义及其几何意义（4分）【答案】定积分∫_a^bfxdx定义为函数fx在区间[a,b]上的黎曼和的极限几何意义是由曲线y=fx，x=a，x=b及x轴所围成的图形的面积

3.什么是级数？级数收敛的必要条件是什么？（4分）【答案】级数是无穷多个数相加的表达式，记为∑_{n=1}^∞a_n级数收敛的必要条件是通项a_n→0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性和极值（10分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0，x=2在[-1,0]上fx0，单调递增；在[0,2]上fx0，单调递减；在[2,3]上fx0，单调递增f0=2为极大值，f2=-2为极小值

2.分析级数∑_{n=1}^∞-1^n/n^p的收敛性（10分）【答案】当p1时，级数绝对收敛；当0p≤1时，级数条件收敛；当p≤0时，级数发散根据交错级数莱布尼茨判别法，当p0时，级数收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0，x=2f-1=-1，f0=2，f2=-2，f3=2所以最大值为2，最小值为-

22.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的积分，并计算定积分的值（25分）【答案】∫x^3-3x^2+2dx=x^4/4-3x^3/3+2x+C=x^4/4-x^3+2x+C定积分∫_{-1}^3x^3-3x^2+2dx=[x^4/4-x^3+2x]_{-1}^3=81/4-27+6-1/4+1-2=

37.25---标准答案---

一、单选题

1.C

2.B

3.D

4.C

5.C

6.B

7.A

8.A

9.A

10.A

二、多选题

1.A、C、E

2.B、C、D、E

3.A、B、C、D、E

4.A、B、C、E

5.A、C、E

三、填空题

1.

12.

23.1，

14.收敛

5.（×）

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.函数fx在点x0处的导数定义为fx0=lim_{h→0}fx0+h-fx0/h几何意义是曲线y=fx在点x0,fx0处的切线斜率；物理意义是变速直线运动的速度

2.定积分∫_a^bfxdx定义为函数fx在区间[a,b]上的黎曼和的极限几何意义是由曲线y=fx，x=a，x=b及x轴所围成的图形的面积

3.级数是无穷多个数相加的表达式，记为∑_{n=1}^∞a_n级数收敛的必要条件是通项a_n→0

六、分析题

1.函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,0]上单调递增；在[0,2]上单调递减；在[2,3]上单调递增f0=2为极大值，f2=-2为极小值

2.当p1时，级数绝对收敛；当0p≤1时，级数条件收敛；当p≤0时，级数发散根据交错级数莱布尼茨判别法，当p0时，级数收敛

七、综合应用题

1.函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为2，最小值为-

22.函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的积分的定积分值为

37.25。