高等数学课堂考题全解与答案呈现

高等数学课堂考题全解与答案呈现

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.y=3x^2+2x+1B.y=|x|C.y=2sinxD.y=e^x【答案】B【解析】绝对值函数在x=0处不可导

2.极限limx→2x^2-4/x-2的值为（）（2分）A.0B.2C.4D.不存在【答案】C【解析】分子分母因式分解约去x-2后得到x+2，极限为

43.函数fx=lnx+1在区间-1,0内的导数fx（）（2分）A.大于0B.小于0C.等于0D.不存在【答案】A【解析】对数函数在定义域内导数大于

04.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞-1^n/n+1C.∑n=1to∞2^n/n!D.∑n=1to∞1/sqrtn【答案】C【解析】指数级数比阶乘级数收敛更快

5.函数fx=xe^-x的极值点为（）（2分）A.x=1B.x=-1C.x=0D.无极值点【答案】A【解析】fx=e^-x1-x，令fx=0得x=

16.曲线y=lnx^2在点1,0处的曲率为（）（2分）A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】k=|y|/|1+y^2|，经计算得k=

47.下列微分方程中，线性微分方程是（）（2分）A.y+3y+2y=lnxB.y-4y=x^2C.y=y^2D.y=y^2+1【答案】B【解析】B项为常系数线性非齐次方程

8.函数fx=∫from0toxt^2dt的导数为（）（2分）A.x^2B.x^3/3C.2xD.2x^2【答案】A【解析】根据微积分基本定理，导数为被积函数

9.设向量a=1,2,3，b=1,-1,2，则向量a·b的值为（）（2分）A.3B.5C.7D.9【答案】B【解析】a·b=1×1+2×-1+3×2=

510.函数fx=√1-x^2的定义域为（）（2分）A.-∞,∞B.-1,1C.[-1,1]D.-1,1【答案】C【解析】根号下表达式需大于等于0，解得x∈[-1,1]

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是函数fx在x=x0处可导的必要条件？（）A.fx0存在B.fx在x0处连续C.fx0存在D极限limh→0[fx0+h-fx0]/h存在【答案】B、D【解析】可导必连续，可导的等价定义是极限存在

2.关于定积分的性质，下列说法正确的有？（）A.∫fromatobkdx=kb-aB.∫fromatobfxdx=∫fromatocfxdx+∫fromctobfxdxC.若fx≥0，则∫fromatobfxdx≥0D.若fx单调增，则∫fromatobfxdx≤∫fromatobgxdx【答案】A、B、C【解析】D项中fx与gx大小不确定

3.以下向量组中，线性无关的有？（）A.1,0,0B.0,1,0C.0,0,1D.1,1,1【答案】A、B、C【解析】单位向量组线性无关，D项系数和为

14.关于微分方程y=-2y，下列说法正确的有？（）A.通解为y=Ce^-2xB.特解为y=2e^-2xC.是线性齐次方程D.特征方程为r=-2【答案】A、C、D【解析】特解形式不完整，需给定初始条件

5.以下命题正确的有？（）A.若级数∑a_n收敛，则∑|a_n|收敛B.若函数fx在[a,b]上连续，则必在[a,b]上可积C.若向量组a1,a2,...,an线性无关，则其中任一向量均不可由其他向量线性表出D.若函数fx在x=x0处可导，则fx在x=x0处必连续【答案】B、C、D【解析】A项反例为交错级数

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若函数fx=x^3-3x+1，则f1的值为______（4分）【答案】-1【解析】fx=3x^2-3，f1=3-3=

02.级数∑n=1to∞-1^n+1/n的收敛类型为______（4分）【答案】条件收敛【解析】交错级数满足Leibniz判别法，但绝对值级数发散

3.若向量a=1,2,3，b=2,-1,1，则向量a×b的模长为______（4分）【答案】√30【解析】|a×b|=|a||b|sinθ=√14×√6=√

304.曲线y=x^3在点1,1处的法线方程为______（4分）【答案】y=-1/3x+4/3【解析】y=x^3=3x^2，切线斜率为3，法线斜率为-1/

35.若函数fx=e^2x，则fxdx=______dx（4分）【答案】1/2e^2x【解析】不定积分结果为1/2e^2x+C

6.函数fx=x^2在区间[0,1]上的平均值为______（4分）【答案】1/3【解析】1/2×[f1^2-f0^2]/1-0=1/

37.设函数fx在x=0处连续，且limx→0fx/x=2，则f0______=2（4分）【答案】0【解析】由连续性f0=limx→0fx=

08.向量空间R^3的一个基可以是______、______、______（4分）【答案】1,0,

0、0,1,

0、0,0,1【解析】标准正交基

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）【解析】闭区间连续函数必有界

2.若向量a与b共线，则必有λ使得a=λb（）（2分）【答案】（√）【解析】共线向量定义

3.若级数∑a_n收敛，则必有limn→∞a_n=0（）（2分）【答案】（√）【解析】收敛级数的必要条件

4.若函数fx在x=x0处可导，则fx在x=x0处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

5.若向量组a1,a2,...,an的秩为n，则该向量组线性无关（）（2分）【答案】（√）【解析】秩等于向量个数时线性无关

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述导数的几何意义（5分）【答案】导数的几何意义是曲线在某点切线的斜率设函数y=fx在点x0,y0处可导，则fx0表示曲线y=fx在点x0,y0处的切线斜率通过导数可以确定曲线的上升下降趋势及拐点位置

2.简述线性无关向量组的定义（5分）【答案】向量组a1,a2,...,an称为线性无关，当且仅当对于任意不全为0的常数k1,k2,...,kn，都有k1a1+k2a2+...+knan≠0等价地，若方程k1a1+k2a2+...+knan=0仅有零解k1=k2=...=kn=0，则称该向量组线性无关

3.简述定积分的物理意义（5分）【答案】定积分的物理意义体现在多个方面

①变速直线运动中，∫fromatobvtdt表示位移；

②变力做功问题中，∫fromatobFxdx表示功；

③曲线围成面积问题中，∫fromatobfxdx表示面积本质上是黎曼和的极限，用于计算连续变化的总量

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性与极值（10分）【答案】

（1）求导fx=3x^2-6x=3xx-2

（2）驻点令fx=0得x=0,2

（3）单调性当x∈-∞,0时，fx0，单调递增当x∈0,2时，fx0，单调递减当x∈2,∞时，fx0，单调递增

（4）极值f0=2为极大值f2=-2为极小值

（5）端点值f-1=-4f3=-12综上，极大值为2，极小值为-

22.分析级数∑n=1to∞n^2/n^3+1的收敛性（10分）【答案】

（1）比较法考虑级数∑b_n，其中b_n=n^2/n^3+1n^2/n^3=1/n

（2）调和级数已知∑n=1to∞1/n发散

（3）极限比较法limn→∞[n^2/n^3+1]/1/n=limn→∞n^3/n^3+1=1由于极限为非零有限值，原级数与调和级数敛散性相同

（4）结论原级数发散

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx在[0,1]上连续，且满足fx=∫from0toxt·ftdt，求fx的表达式（25分）【答案】

（1）两边求导fx=x·fx

（2）分离变量fx/fx=x

（3）积分ln|fx|=x^2/2+C

（4）初始条件f0=∫from0to0t·ftdt=0所以C=0

（5）解得fx=Ce^x^2/2

（6）确定C由f0=0得C=0

（7）最终解fx=0注若假设fx≠0，则解为fx=Ce^x^2/2，但与f0=0矛盾，所以fx≡

02.设向量组a1=1,1,1，a2=1,2,3，a3=1,3,λ，

（1）求该向量组的秩；

（2）当λ取何值时，该向量组线性相关？

（3）当λ=5时，求向量a4=1,4,5在该向量组下的线性表示（25分）【答案】

（1）求秩构造矩阵A=a1,a2,a3=11112313λ行简化-r2+r1→r2-r3+r1→r311101202λ-1-r3+2r2→r311101200λ-5当λ≠5时，秩为3；当λ=5时，秩为2

（2）线性相关条件向量组线性相关当且仅当秩小于向量个数，即λ=5时线性相关

（3）线性表示λ=5时，方程x1a1+x2a2+x3a3=a4有解即x1+x2+x3=1x1+2x2+3x3=4x1+3x2+5x3=5解得x1=-1，x2=2，x3=2所以a4=-a1+2a2+2a3

八、标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.A

4.C

5.A

6.C

7.B

8.A

9.B

10.C

二、多选题

1.B、D

2.A、B、C

3.A、B、C

4.A、C、D

5.B、C、D

三、填空题

1.-

12.条件收敛

3.√

304.y=-1/3x+4/

35.1/2e^2x

6.1/

37.

08.1,0,

0、0,1,

0、0,0,1

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.√

5.√

五、简答题略

六、分析题略

七、综合应用题略

八、标准答案略。