高等数学（下）第十二章模拟试题及答案

高等数学（下）第十二章模拟试题及答案

一、单选题（每题1分，共15分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=sinx【答案】A【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为其导数在x=0处左右极限不相等

2.函数fx=x^3-3x+2的驻点为（）A.x=0B.x=1C.x=-1D.x=2【答案】B【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，解得x=±1，其中x=1为驻点

3.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均变化率为（）A.eB.1C.e-1D.1/e【答案】C【解析】平均变化率=e^1-e^0/1-0=e-

14.若函数fx在点x0处取得极值，且fx0存在，则fx0必为（）A.0B.1C.-1D.任意值【答案】A【解析】根据极值点必要条件，可导函数的极值点处导数为

05.函数fx=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,4]上的最大值和最小值分别为（）A.最大值10，最小值1B.最大值10，最小值0C.最大值8，最小值0D.最大值8，最小值1【答案】A【解析】fx=3x^2-12x+9，令fx=0得x=1,3f0=1,f1=5,f3=1,f4=10最大值为10，最小值为

16.曲线y=x^3-3x^2+2在点1,0处的切线方程为（）A.y=-2x+2B.y=2x-2C.y=-x+1D.y=x-1【答案】A【解析】fx=3x^2-6x，f1=-2，切线方程为y-0=-2x-1，即y=-2x+

27.函数fx=lnx+1在区间[0,1]上的积分值为（）A.ln2B.ln3C.ln2-1D.ln3-1【答案】A【解析】∫[0,1]lnx+1dx=xlnx+1-x|_[0,1]=1ln2-1-0ln1+0=ln

28.若函数fx在区间[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）A.fξ=fb-fa/b-aB.fξ=fb-fa/b-aC.fξ=fb-faD.fξ=fb-fa【答案】B【解析】根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈a,b，使fξ=fb-fa/b-a

9.函数fx=x^2e^x在x→-∞时的极限为（）A.0B.+∞C.-∞D.1【答案】A【解析】x^2e^x中e^x→0比x^2增长快，极限为

010.函数fx=x^2lnx的定义域为（）A.-∞,0∪0,+∞B.[0,+∞C.-∞,0∪[0,+∞D.-1,1【答案】A【解析】lnx需x0，且x≠0，故定义域为-∞,0∪0,+∞

11.若函数fx在点x0处取得极小值，且fx0存在，则fx0必为（）A.0B.0C.0D.任意值【答案】B【解析】根据极值第二充分条件，极小值点处二阶导数必为正

12.函数fx=√1-x^2在区间[-1,1]上的积分值为（）A.πB.π/2C.π/4D.2π【答案】B【解析】∫[-1,1]√1-x^2dx为半圆面积，积分值为π/

213.若函数fx在区间[a,b]上单调递增，则在a,b内必有（）A.fx0B.fx0C.fx=0D.fx不存在【答案】A【解析】连续单调递增函数的导数处处非负，且至少存在一点导数大于

014.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的拐点为（）A.-1,2B.1,-2C.-1,-2D.0,0【答案】D【解析】fx=6x，令fx=0得x=0，f0=0，拐点为0,

015.函数fx=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的泰勒展开式中x^2项的系数为（）A.0B.3C.-3D.9【答案】A【解析】f3=0，故x^2项系数为0

二、多选题（每题3分，共15分）

1.下列函数中，在x=0处可导的有（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=sinxE.fx=1/x【答案】A、C、D【解析】fx=x^2,e^x,sinx在x=0处可导；|x|在x=0处不可导；1/x在x=0处无定义

2.下列说法正确的有（）A.函数在极值点处导数必为0B.函数在拐点处二阶导数必为0C.函数在驻点处导数为0D.函数在驻点处可能取得极值E.函数在拐点处曲线凹凸性改变【答案】C、D、E【解析】A错，导数不存在也可能取极值；B错，拐点处二阶导数为0或不存在；C对，驻点处导数为0；D对，驻点可能是极值点；E对，拐点处凹凸性改变

3.下列函数中，在区间[0,1]上满足罗尔定理条件的有（）A.fx=x^2-1B.fx=sinxC.fx=e^xD.fx=x^3-xE.fx=|x|【答案】B、D【解析】罗尔定理条件fx在闭区间[a,b]连续，开区间a,b可导，且fa=fbB、D满足条件

4.下列极限计算正确的有（）A.limx→0sinx/x=1B.limx→∞x^2/e^x=0C.limx→01-cosx/x^2=1/2D.limx→1x^3-1/x-1=3E.limx→0ln1+x/x=1【答案】A、B、C、E【解析】D错，应为3，计算过程正确但结果有误

5.下列说法正确的有（）A.函数在区间[a,b]上连续，则在该区间上必有界B.函数在区间a,b内可导，且取得最大值，则该点必为驻点C.函数在拐点处二阶导数为0D.函数在极值点处二阶导数为0E.函数的极值点与拐点重合【答案】A、C【解析】B错，极值点也可能是端点；D错，极值点处二阶导数为0或不存在；E错，极值点与拐点一般不重合

三、填空题（每题3分，共15分）

1.函数fx=x^3-3x在x=1处的曲率为______（4分）【答案】3√2/2【解析】fx=6x，f1=6，f1=-2，曲率k=|fx/[1+fx^2]|^3/2=|6/[1+-2^2]|^3/2=3√2/

22.函数fx=e^xsinx在x=0处的三阶麦克劳林展开式为______（4分）【答案】x+x^2/2+x^3/6【解析】f0=0，f0=1，f0=0，f0=2，三阶展开式为f0+f0x+f0x^2+f0x^3/6=x+x^2/2+x^3/

63.函数fx=x^2lnx在x=1处的泰勒展开式中x^3项的系数为______（4分）【答案】-1/6【解析】fx=2lnx+3/x，f1=3，系数f1/3!=3/6=1/2，但需注意负号，实际为-1/

64.函数fx=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,3]上的积分中值定理中的ξ为______（4分）【答案】2【解析】f0=1,f3=1，∫[0,3]fxdx=0，fξ=0，fx=x^3-6x^2+9x+1，fx=3x^2-12x+9，令fξ=0得x=

25.函数fx=x^2lnx在x=1处的曲率为______（3分）【答案】1/2【解析】fx=2lnx+1/x，f1=1，f1=0，曲率k=|fx/[1+fx^2]|^3/2=|1/1|^3/2=1/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数在区间[a,b]上连续，则在该区间上必有界（）【答案】（√）【解析】根据有界性定理，连续函数在闭区间上必有界

2.函数在极值点处导数必为0或导数不存在（）【答案】（√）【解析】可导函数的极值点处导数为0，不可导点也可能是极值点

3.函数在拐点处二阶导数必为0或不存在（）【答案】（×）【解析】拐点处二阶导数为0或不存在，但需曲线凹凸性改变，如y=x^3在x=0处

4.函数在驻点处必取得极值（）【答案】（×）【解析】驻点可能是拐点或非极值点，如y=x^3在x=0处

5.函数的极大值一定比极小值大（）【答案】（×）【解析】极大值可能小于极小值，如y=-x^3在x=0处极大值为0，小于极小值

五、简答题（每题4分，共12分）

1.比较函数fx=x^3-3x与gx=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的单调性和极值（4分）【答案】fx=x^3-3x，fx=3x^2-3=3x+1x-1，单调增区间-∞,-1,1,+∞，单调减区间-1,1f-1=2，f1=-2，极大值2，极小值-2gx=x^3-3x+2，gx=fx，单调性和极值点与fx相同，但极值分别为g-1=0，g1=

02.证明不等式e^x1+x在x0时成立（4分）【答案】令fx=e^x-1-x，f0=0，fx=e^x-10x0，fx在0,+∞单调增，fxf0=0，即e^x1+x

3.解释拉格朗日中值定理的几何意义（4分）【答案】几何意义连续可导函数在区间[a,b]上的图形可以找到一条切线，其斜率与曲线两端点连线的斜率相同即存在点ξ∈a,b，使fξ=fb-fa/b-a

六、分析题（每题6分，共12分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,4]上的单调性、极值、凹凸性和拐点（6分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，单调增-∞,0,2,+∞，单调减0,2f0=2，f2=-2，极大值2，极小值-2fx=6x-6=6x-1，凹下-∞,1，凹上1,+∞，拐点1,

02.分析函数fx=e^xsinx在区间[-π,π]上的性质（6分）【答案】fx在[-π,π]连续可导，f-π=fπ=0，f0=0fx=e^xsinx+e^xcosx=e^xsinx+cosx，f0=1，fπ/4=√2e^π/40fx在[-π,0]单调减，[0,π]单调增，极大值fπ=e^πsinπ+e^πcosπ=-e^π

七、综合应用题（每题10分，共20分）

1.求函数fx=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,4]上的最大值、最小值，并画出函数图形的示意图（10分）【答案】fx=3x^2-12x+9=3x-1^2，驻点x=1，f1=5端点f0=1，f4=8最大值8，最小值1函数图形示意图```y|8---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+x||6---+5|||4---+|||||2---+|||||0---+-----------+----------+---+---+---+---+---+---+01234```

2.证明不等式ln1+xx/2x0（10分）【答案】令gx=ln1+x-x/2，g0=0，gx=1/1+x-1/2=1-x/2+2x，gx00x1，gx0x1gx在0,1单调增，1,+∞单调减，gxg0=0，即ln1+xx/2。