高等院校高等数学测试题及答案详解

高等院校高等数学测试题及答案详解

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.y=|x|B.y=x^2C.y=3x+2D.y=x^3【答案】A【解析】绝对值函数y=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.极限limx→2x^2-4/x-2的值为（）A.0B.2C.4D.不存在【答案】C【解析】分子分母同时约去x-2，得极限limx→2x+2=

43.函数y=lnx+1的定义域为（）A.-∞,-1B.-1,+∞C.-1,0D.0,+∞【答案】B【解析】对数函数的真数必须大于0，故x+10，解得x-

14.下列级数中，收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/n^2D.∑n=1to∞-1^n/n^2【答案】C【解析】p-级数中p=2时收敛，p=1时发散

5.曲线y=xe^-x的拐点为（）A.0,0B.1,1/eC.2,2/e^2D.不存在【答案】B【解析】二阶导数y=-x+1e^-x等于0时，x=1，代入得拐点1,1/e

6.向量a=1,2,3与向量b=4,5,6的向量积为（）A.1,2,3B.4,5,6C.-3,6,-3D.6,-3,-3【答案】C【解析】a×b=-3,6,-

37.函数y=2cos3x的最小正周期为（）A.2π/3B.2πC.3πD.π/3【答案】A【解析】周期T=2π/|ω|=2π/

38.矩阵A=|12|，B=|34|，则矩阵乘积AB为（）A.|56|B.|78|C.|68|D.|710|【答案】C【解析】AB=|13+2314+24|=|912|

9.空间直线L过点1,2,3，方向向量为1,1,1，则直线L的参数方程为（）A.x=1+t，y=2+t，z=3+tB.x=1-t，y=2-t，z=3-tC.x=1，y=2，z=3D.x=1，y=2+t，z=3+t【答案】A【解析】参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct

10.设z=fx,y，若∂z/∂x=2x，∂z/∂y=2y，且f1,1=5，则fx,y为（）A.x^2+y^2B.x^2+y^2+1C.2x^2+2y^2D.2x^2+2y^2+1【答案】D【解析】积分得fx,y=x^2+y^2+C，代入f1,1=5，得C=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是定积分的性质？（）A.∫[a,b]kdf=2k∫[a,b]dfB.∫[a,b]fxdx=∫[a,b]ftdtC.∫[a,b]fxdx=∫[a+c]-[b+c]fx+cdxD.∫[a,b]fxdx=∫[a,c]+∫[c,b]fxdx【答案】B、C、D【解析】性质B是换元积分的依据，性质C是平移性质，性质D是分段积分性质性质A错误，应是k∫[a,b]df

2.向量场F=x,y,z在点P1,1,1处的旋度∇×F为（）A.0,0,0B.1,1,1C.2,2,2D.-1,-1,-1【答案】A【解析】旋度∇×F=∂z/∂y-∂y/∂z，∂x/∂z-∂z/∂x，∂y/∂x-∂x/∂y，在各处均为

03.以下哪些函数在0,1上可积？（）A.y=1/xB.y=sin1/xC.y=1/x^2D.y=1/sqrtx【答案】B、D【解析】函数在开区间上可积的条件是除有限个点外连续或只有第一类间断点y=1/x在x=0处发散，y=1/x^2在x=0处发散

4.以下哪些是线性无关的向量组？（）A.1,0,0，0,1,0，0,0,1B.1,2,3，2,3,4，3,4,5C.1,1，1，1,0,0，0,1,0D.2,4,6，3,6,9，1,2,3【答案】A、C【解析】向量组A是单位向量组，线性无关向量组C是阶梯形向量组，线性无关向量组B中第三个向量是前两个向量的线性组合向量组D中所有向量成比例

5.以下哪些是微分方程的通解？（）A.y=e^x+CB.y=2sin3x+CC.y=lnx+CD.y=x^2+e^x【答案】A、B、C【解析】通解含有一个任意常数选项D含两个函数，不是通解

三、填空题（每题4分，共32分）

1.设函数fx=x^3-3x+2，则fx的极值点为______，______【答案】1，-1【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1，代入fx=6x，f1=-60，f-1=60，故x=1为极大值点，x=-1为极小值点

2.曲线y=1/1+x^2在区间[-1,1]上的弧长为______【答案】π【解析】弧长s=∫[-1,1]√1+y^2dx，y=-2x/1+x^2，代入计算得s=π

3.级数∑n=1to∞-1^n+1/n^p收敛当且仅当p______【答案】1【解析】交错级数收敛的莱布尼茨判别法要求绝对值单调递减且趋于0，p1时满足条件

4.设z=xy^2+x^2y，则∂^2z/∂x∂y在点1,1处的值为______【答案】6【解析】∂z/∂x=y^2+2xy，∂^2z/∂x∂y=2y+2x，代入1,1得

65.矩阵A=|123|，B=|1;2;3|，则矩阵乘积AB（或BA）可能的结果是______【答案】3×3矩阵或3×1矩阵【解析】矩阵乘法要求左矩阵列数等于右矩阵行数，故AB为3×3矩阵，BA为3×1矩阵

6.向量a=1,2,3在向量b=4,5,6上的投影长度为______【答案】√30/√77【解析】投影长度|a|cossubab/sub=|a||b|cossubab/sub=√30/√

777.函数y=2cos^2x/2-1的最小正周期为______【答案】4π【解析】周期T=2π/|ω|=4π

8.设z=fu,v，u=x^2-y^2，v=xy，则∂z/∂x在点1,1处的值为______【答案】-1【解析】链式法则∂z/∂x=∂z/∂u∂u/∂x+∂z/∂v∂v/∂x，代入1,1得-1

四、判断题（每题2分，共20分）

1.函数y=1/x在0,1上连续且可积（）【答案】（×）【解析】1/x在x=0处趋于无穷大，不可积

2.若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则fx在该区间上必有界（）【答案】（√）【解析】根据有界性定理，连续函数在闭区间上有界

3.向量场F=x,y,z/|F|在任何点处方向与F相同（）【答案】（√）【解析】向量场F的单位向量为F/|F|，故方向相同

4.线性方程组Ax=b的解集必是直线或平面（）【答案】（×）【解析】当A为0矩阵时，解集是整个空间

5.若函数fx,y在点P处偏导数存在，则fx,y在点P处必连续（）【答案】（×）【解析】偏导数存在不能保证连续性，如y=|x|在x=0处偏导数存在但不可导

6.矩阵A的秩rA等于其行向量组的秩（）【答案】（√）【解析】矩阵的秩等于其行向量组或列向量组的秩

7.若级数∑a_n收敛，则级数∑|a_n|必收敛（）【答案】（×）【解析】条件收敛的级数绝对值发散

8.若向量a与向量b垂直，则向量a×b=0（）【答案】（×）【解析】a×b=0要求a与b平行

9.微分方程y+y=0的通解为y=C_1sinx+C_2cosx（）【答案】（√）【解析】特征方程r^2+1=0的根为±i，通解为y=C_1sinx+C_2cosx

10.若函数fx在区间I上可导，则fx在区间I上必连续（）【答案】（√）【解析】可导必连续，这是导数的基本性质

五、简答题（每题5分，共20分）

1.简述定积分的几何意义【答案】定积分∫[a,b]fxdx表示函数fx在区间[a,b]上的曲边梯形的面积，当fx≥0时为正面积，fx≤0时为负面积

2.简述级数收敛的必要条件【答案】若级数∑a_n收敛，则必有lima_n=0若lima_n≠0或不存在，则级数必发散

3.简述向量场F=P,Q,R的旋度的物理意义【答案】向量场F的旋度∇×F表示向量场F的旋转程度，其方向为环量密度最大的方向，大小表示旋转的强弱

4.简述线性方程组有解的充要条件【答案】线性方程组Ax=b有解的充要条件是增广矩阵A|b的秩等于系数矩阵A的秩，即rA=rA|b

六、分析题（每题15分，共30分）

1.设函数fx在[a,b]上连续，证明fx在[a,b]上必有界【证明】用反证法假设fx在[a,b]上无界，则对任意M0，存在x_0∈[a,b]，使|fx_0|M取M=1，存在x_1∈[a,b]，|fx_1|1取M=2，存在x_2∈[a,b]，|fx_2|2，如此下去，得fx在[a,b]上无界这与fx在[a,b]上连续矛盾，故fx在[a,b]上必有界

2.设z=fu,v，u=x^2+y^2，v=xy，证明∂^2z/∂x^2+x∂^2z/∂x∂y=0【证明】用链式法则∂z/∂x=∂z/∂u∂u/∂x+∂z/∂v∂v/∂x=2x∂z/∂u+vy∂z/∂v，∂^2z/∂x^2=2∂z/∂u+4x^2∂^2z/∂u^2+2xy∂^2z/∂u∂v+v^2∂^2z/∂v^2，∂^2z/∂x∂y=2x∂^2z/∂u^2+2xv∂^2z/∂u∂v+2y∂z/∂v，代入得原式成立

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知曲线y=lnx与直线y=x相交于点P1,1，求曲线y=lnx在点P处的曲率半径【解】先求导数y=1/x，y=-1/x^2曲率半径R=|1+y^2|^3/2/|y|=1+1/x^2^3/2/|-1/x^2|=x^2+x^-2^3/2代入x=1，得R=

22.已知矩阵A=|123|，B=|12;34;56|，求矩阵方程AX=B的解【解】增广矩阵为A|B=|123||12;34;56|，用行初等变换化为行阶梯形|123||12;0-2;00|，再化为行最简形|101||10;01;00|，故解为x=1-t,t，即X=|1-t;t|。