高考三卷数学历年考试真题及详细解答

高考三卷数学历年考试真题及详细解答

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=lnx+1的定义域是（）（2分）A.-1,+∞B.-∞,+∞C.-∞,-1D.-1,-∞【答案】A【解析】函数fx=lnx+1中，x+10，即x-1，所以定义域为-1,+∞

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+a-1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1}C.{2}D.{1,2,3}【答案】C【解析】集合A={1,2}，B⊆A，B的可能取值为∅，{1}，{2}当B=∅时，Δ=a^2-4a-10，解得1a4；当B={1}时，Δ=0，解得a=2；当B={2}时，Δ=0，解得a=1（舍去）综上，a=

23.x1是x^21的（）（2分）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】x^21等价于x1或x-1，所以x1是x^21的充分不必要条件

4.已知向量a=1,k，b=k,1，若|a+b|=√10，则实数k的值为（）（2分）A.±3B.±2C.±1D.0【答案】B【解析】|a+b|=√1+k^2+1+k^2=√21+k^2=√10，解得k=±

25.已知函数fx=sinωx+φ的图像的一个最高点为π/4,1，且周期为π，则fx的表达式为（）（2分）A.sin2x+π/4B.sin2x-π/4C.sin4x+π/4D.sin4x-π/4【答案】A【解析】周期T=π，ω=2；最高点π/4,1，2π/4+φ=π/2，解得φ=π/4所以fx=sin2x+π/

46.已知点A1,2，B3,0，则向量AB的坐标为（）（2分）A.2,-2B.-2,2C.2,2D.-2,-2【答案】A【解析】向量AB=3-1,0-2=2,-

27.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_3=5，则S_5的值为（）（2分）A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】公差d=5-1/2=2，a_5=1+4×2=9，S_5=5/21+9=

258.已知直线l x+2y-1=0与圆C x^2+y^2-2x+4y-3=0的位置关系为（）（2分）A.相离B.相切C.相交D.包含【答案】C【解析】圆心C1,-2，半径r=√1^2+-2^2+3=√8圆心到直线的距离d=|1-4|/√5√8，所以相交

9.已知函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为（）（2分）A.eB.e^2C.1/eD.1/e^2【答案】A【解析】fx=e^x-a，f1=e-a=0，解得a=e

10.已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=√3，则点P到平面ABC的距离为（）（2分）A.1B.√2C.√3D.2【答案】C【解析】点P到平面ABC的距离即PA=√3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1上单调递增的是（）（4分）A.y=x^2B.y=lnx+1C.y=e^xD.y=1/x【答案】A、B、C【解析】y=x^2在0,1上单调递增；y=lnx+1在0,1上单调递增；y=e^x在0,1上单调递增；y=1/x在0,1上单调递减

2.已知函数fx是定义在R上的奇函数，且fx在0,+∞上单调递增，则下列结论正确的是（）（4分）A.f-1f1B.f0=0C.f-2f-1D.f1/2f-1/2【答案】A、B、D【解析】fx是奇函数，f-x=-fx，所以f-1=-f1，即f-1f1；f0=0；f-2=-f2，f-1=-f1，因为fx在0,+∞上单调递增，所以f2f1，即-f2-f1，所以f-2f-1；f1/2-f-1/2=f1/

23.已知函数fx=|x-a|+|x-b|，则下列结论正确的是（）（4分）A.fx的最小值为|a-b|B.fx在a,b上单调递减C.fx在R上单调递增D.fx的图像关于x=a和x=b对称【答案】A、D【解析】fx的最小值为|a-b|；fx在-∞,a上单调递减，在a,b上单调递增，在b,+∞上单调递增；fx的图像关于x=a+b/2对称，但不是关于x=a和x=b对称

4.已知函数fx=x^3-3x^2+2，则下列结论正确的是（）（4分）A.fx在-∞,0上单调递增B.fx在0,2上单调递减C.fx在2,+∞上单调递增D.fx有且仅有两个零点【答案】B、C【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0，解得x=0或x=2当x∈-∞,0时，fx0，fx单调递增；当x∈0,2时，fx0，fx单调递减；当x∈2,+∞时，fx0，fx单调递增；f0=2，f2=-2，所以fx有且仅有三个零点

5.已知函数fx=sinωx+cosωx，则下列结论正确的是（）（4分）A.fx的最小正周期为πB.fx的图像关于原点对称C.fx的图像关于直线x=π/4对称D.fx=√2sinωx+π/4【答案】A、C、D【解析】fx=√2sinωx+π/4，最小正周期为2π/ω，所以当ω=2时，最小正周期为π；fx是奇函数，图像关于原点对称；fx的图像关于直线x=π/4对称；fx=√2sinωx+π/4

三、填空题（每题4分，共32分）

1.已知函数fx=2^x-1，则f^-13的值为______（4分）【答案】2【解析】令2^x-1=3，解得x=2，所以f^-13=

22.已知集合A={1,2,3,4}，B={x|x^2-3x+2=0}，则A∪B的元素个数为______（4分）【答案】5【解析】B={1,2}，A∪B={1,2,3,4}，元素个数为

53.已知向量a=1,2，b=3,k，若a∥b，则实数k的值为______（4分）【答案】6【解析】a∥b，即1/k=2/3，解得k=

64.已知函数fx=sin2x+φ的图像的一个最高点为π/4,1，则φ的值为______（用π表示）（4分）【答案】π/4【解析】2π/4+φ=π/2，解得φ=π/

45.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，S_5=30，则数列的公差为______（4分）【答案】4【解析】S_5=5/22+2+4d=30，解得d=

46.已知圆C x^2+y^2-2x+4y-3=0，则圆心C的坐标为______（4分）【答案】1,-2【解析】圆心C1,-

27.已知函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为______（4分）【答案】e【解析】f1=e-a=0，解得a=e

8.已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=√3，则点P到平面ABC的距离为______（4分）【答案】√3【解析】点P到平面ABC的距离即PA=√3

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（×）【解析】如√2+1-√2=1，是有理数

2.若函数fx是偶函数，则fx的图像关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数fx=f-x，图像关于y轴对称

3.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx在a,b上存在最大值（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x在0,1上单调递增，但不存在最大值

4.若向量a=1,2，b=3,4，则a+b=4,6（）（2分）【答案】（√）【解析】a+b=1+3,2+4=4,

65.若函数fx=x^3-3x^2+2，则fx在x=2处取得极大值（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x^2-6x，f2=0，fx=6x-6，f2=60，所以fx在x=2处取得极小值

6.若函数fx=sinωx+cosωx，则fx的最小正周期为π（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=√2sinωx+π/4，最小正周期为2π/ω，当ω=2时，最小正周期为π

7.若函数fx是奇函数，则fx的图像关于原点对称（）（2分）【答案】（√）【解析】fx是奇函数，f-x=-fx，图像关于原点对称

8.若函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为e（）（2分）【答案】（√）【解析】f1=e-a=0，解得a=e

9.若函数fx=x^3-3x^2+2，则fx在x=0处取得极大值（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=3x^2-6x，f0=0，fx=6x-6，f0=-60，所以fx在x=0处取得极大值

10.若函数fx=sinωx+cosωx，则fx的图像关于直线x=π/4对称（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=√2sinωx+π/4，图像关于直线x=π/4对称

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=x^2-2x+3，求fx的最小值（4分）【答案】1【解析】fx=x-1^2+2，最小值为

22.已知向量a=1,2，b=3,4，求向量a+b的坐标（4分）【答案】4,6【解析】a+b=1+3,2+4=4,

63.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，S_5=30，求数列的公差（4分）【答案】4【解析】S_5=5/22+2+4d=30，解得d=

44.已知圆C x^2+y^2-2x+4y-3=0，求圆心C的坐标（4分）【答案】1,-2【解析】圆心C1,-

25.已知函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值，求实数a的值（4分）【答案】e【解析】f1=e-a=0，解得a=e

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=sinωx+cosωx，求fx的最小正周期，并证明fx是偶函数（10分）【答案】最小正周期为2π/ω；证明f-x=sin-ωx+cos-ωx=-sinωx+cosωx=-fx，所以fx是偶函数

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点，并判断极值的类型（10分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0，解得x=0或x=2fx=6x-6，f0=-60，所以x=0处取得极大值；f2=60，所以x=2处取得极小值

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间，并证明fx在-∞,+∞上存在唯一零点（25分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0，解得x=0或x=2当x∈-∞,0时，fx0，fx单调递增；当x∈0,2时，fx0，fx单调递减；当x∈2,+∞时，fx0，fx单调递增f0=2，f2=-2，所以fx在-∞,+∞上存在唯一零点

2.已知函数fx=sinωx+cosωx，求fx的最小正周期，并证明fx是偶函数，再求fx在[0,π]上的最大值和最小值（25分）【答案】fx=√2sinωx+π/4，最小正周期为2π/ω证明f-x=sin-ωx+cos-ωx=-sinωx+cosωx=-fx，所以fx是偶函数当ω=1时，fx=√2sinx+π/4，在[0,π]上，x+π/4∈[π/4,5π/4]，sinx+π/4在[π/4,π/2]上单调递增，在[π/2,3π/4]上单调递减，在[3π/4,5π/4]上单调递增所以fx在[0,π]上的最大值为√2，最小值为-√2---标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.A

4.B

5.A

6.A

7.B

8.C

9.A

10.C

二、多选题

1.A、B、C

2.A、B、D

3.A、D

4.B、C

5.A、C、D

三、填空题

1.

22.

53.

64.π/

45.

46.1,-

27.e

8.√3

四、判断题

1.×

2.√

3.×

4.√

5.√

6.√

7.√

8.√

9.×

10.√

五、简答题

1.

12.4,

63.

44.1,-

25.e

六、分析题

1.最小正周期为2π/ω；证明f-x=sin-ωx+cos-ωx=-sinωx+cosωx=-fx，所以fx是偶函数

2.fx=3x^2-6x，令fx=0，解得x=0或x=2fx=6x-6，f0=-60，所以x=0处取得极大值；f2=60，所以x=2处取得极小值

七、综合应用题

1.fx=3x^2-6x，令fx=0，解得x=0或x=2当x∈-∞,0时，fx0，fx单调递增；当x∈0,2时，fx0，fx单调递减；当x∈2,+∞时，fx0，fx单调递增f0=2，f2=-2，所以fx在-∞,+∞上存在唯一零点

2.fx=√2sinωx+π/4，最小正周期为2π/ω证明f-x=sin-ωx+cos-ωx=-sinωx+cosωx=-fx，所以fx是偶函数当ω=1时，fx=√2sinx+π/4，在[0,π]上，x+π/4∈[π/4,5π/4]，sinx+π/4在[π/4,π/2]上单调递增，在[π/2,3π/4]上单调递减，在[3π/4,5π/4]上单调递增所以fx在[0,π]上的最大值为√2，最小值为-√2。