龙东十校数学试题及答案

龙东十校数学试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点在x轴上，则下列结论正确的是（）（2分）A.a0,b^2-4ac0B.a0,b^2-4ac0C.a0,b^2-4ac=0D.a0,b^2-4ac=0【答案】C【解析】函数图象开口向上说明a0，顶点在x轴上说明△=b^2-4ac=0，故选C

2.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则tanC的值为（）（2分）A.√3/3B.√2C.2√2D.√3【答案】A【解析】∠C=180°-45°-60°=75°，tanC=tan45°+30°=tan45°+tan30°/1-tan45°tan30°=1+√3/3/1-1×√3/3=√3/

33.若样本数据为5,7,9,x,12的众数为9，则样本平均数为（）（2分）A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】样本众数为9，说明x=9，样本平均数=5+7+9+9+12/5=

104.抛掷两枚均匀的骰子，记事件A为“两枚骰子点数之和为6”，则事件A发生的概率为（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.5/18【答案】A【解析】两枚骰子点数之和为6的基本事件有1,

5、2,

4、3,

3、4,

2、5,1，共5种，概率为5/36但题目表述为“两枚骰子点数之和为6”，故概率为1/

65.已知点A1,2，点B3,0，则点A关于直线y=x的对称点B的坐标为（）（2分）A.0,1B.2,1C.2,0D.0,2【答案】B【解析】点B是点A关于直线y=x的对称点，则B的坐标为2,

16.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_3=8，则a_5的值为（）（2分）A.16B.24C.32D.64【答案】C【解析】由a_3=a_1q^2得8=2q^2，解得q=2，故a_5=a_1q^4=2×2^4=

327.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为

38.若直线l:ax+3y-5=0与直线2x-y+4=0平行，则a的值为（）（2分）A.-6B.-3C.3D.6【答案】A【解析】两直线平行，斜率相等，即-a/3=2，解得a=-

69.在直角坐标系中，圆C:x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标为（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆心坐标为-b/2a,-c/2a，即4/2,-6/2=2,-

310.已知集合A={x|x^2-3x+20},B={x|x1}，则集合A∩B为（）（2分）A.1,2B.2,∞C.1,2∪2,∞D.∅【答案】B【解析】A={x|x1或x2}，B={x|x1}，则A∩B=2,∞

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的有（）（4分）A.y=2x+1B.y=1/xC.y=x^2D.y=√x【答案】A、D【解析】y=2x+1和y=√x在其定义域内是增函数

2.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC的唯一解的有（）（4分）A.∠A=60°,a=5,b=4B.a=3,b=4,c=5C.∠B=45°,∠C=75°,c=6D.∠C=90°,a=3,b=4【答案】A、B、C、D【解析】所有选项都能确定△ABC的唯一解

3.下列命题中，真命题的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则√a√bC.若a^2b^2，则abD.若ab0，则1/a1/b【答案】D【解析】只有D是真命题

4.函数fx=sinx+π/6的图像可由函数gx=sinx的图像经过下列变换得到（）（4分）A.向左平移π/6个单位B.向右平移π/6个单位C.向左平移π/3个单位D.向右平移π/3个单位【答案】C【解析】fx=sinx+π/6可由gx=sinx向左平移π/3个单位得到

5.下列不等式成立的有（）（4分）A.log_23log_24B.1/2^-31/2^-2C.arcsin1/2arcsin1/3D.tanπ/4tanπ/6【答案】B、C、D【解析】B、C、D中的不等式成立

三、填空题（每空2分，共16分）

1.若方程x^2+px+q=0的两根分别为-1和3，则p=______，q=______（4分）【答案】-2；-3【解析】由韦达定理得p=--1+3=-2，q=-1×3=-

32.在△ABC中，若a=3，b=5，C=60°，则c=______（4分）【答案】4【解析】由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+25-2×3×5×1/2=16，故c=

43.若函数fx=ax^2+bx+1在x=1时取得极值，且f1=-3，则a=______，b=______（4分）【答案】-4；6【解析】fx=2ax+b，由f1=0得2a+b=0，由f1=-3得a+b+1=-3，解得a=-4，b=

64.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，a_2+a_4=8，则a_3=______（4分）【答案】6【解析】由a_1+a_5=2a_3=10得a_3=5，由a_2+a_4=2a_3=8得a_3=4，矛盾重新计算由a_1+a_5=2a_3=10得a_3=5，由a_2+a_4=2a_3=8得a_3=4，矛盾重新设a_1=a，d，则a+4d=10，a+3d=8，解得a=14，d=-2，a_3=a+2d=14-4=10

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例当a=-2，b=-1时，ab但a^2b^2不成立

2.函数y=sin2x的周期为π（）（2分）【答案】（×）【解析】函数y=sin2x的周期为π/

23.若A⊆B，则PA⊆PB（）（2分）【答案】（√）【解析】若A⊆B，则A的所有子集都是B的子集，故PA⊆PB

4.若直线l与圆C相切，则直线l与圆C有且只有一个公共点（）（2分）【答案】（√）【解析】直线与圆相切定义为有且只有一个公共点

5.若fx是偶函数，则fx的图像关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】这是偶函数的定义性质

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间（4分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2当x0时，fx0，fx单调递增；当0x2时，fx0，fx单调递减；当x2时，fx0，fx单调递增故fx在-∞,0和2,∞上单调递增，在0,2上单调递减

2.在△ABC中，若a=2，b=√7，c=3，求cosB的值（4分）【答案】由余弦定理得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=2^2+3^2-√7^2/2×2×3=4+9-7/12=6/12=1/

23.求不等式|x-1|+|x+2|4的解集（4分）【答案】当x-2时，原不等式为-x-1-x+24，即-2x-14，解得x-5/2；当-2≤x≤1时，原不等式为-x-1+x+24，即34，无解；当x1时，原不等式为x-1+x+24，即2x+14，解得x3/2故解集为-∞,-5/2∪3/2,∞

4.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求a_n的通项公式（4分）【答案】由a_n+1=2a_n+1得a_n+1+1=2a_n+1，令b_n=a_n+1，则b_n=2b_n，b_1=a_1+1=2故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，b_n=2×2^n-1=2^n故a_n=b_n-1=2^n-

15.在直角坐标系中，求过点A1,2且与直线l:3x-4y+5=0平行的直线方程（4分）【答案】所求直线与l平行，故斜率相同，即斜率为3/4设所求直线方程为3x-4y+m=0，代入点A1,2得3×1-4×2+m=0，解得m=5故所求直线方程为3x-4y+5=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，证明fx在-∞,1上单调递增，在1,∞上单调递减（10分）【答案】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1当x1时，x-1^20，fx0，故fx单调递增；当x1时，x-1^20，fx0，但fx的最小值为-10，故fx0，故fx单调递减故fx在-∞,1上单调递增，在1,∞上单调递减

2.在△ABC中，若a=3，b=5，C=120°，求△ABC的面积（10分）【答案】由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2abcosC=3^2+5^2-2×3×5×-1/2=49，故c=7由正弦定理得sinA=a/sinA=sinC/sinC，即sinA=3/7×√3/2，解得sinA=3√3/14故△ABC的面积S=1/2absinC=1/2×3×5×√3/2=15√3/4

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+3n，求a_n的通项公式（25分）【答案】由a_n+1=2a_n+3n得a_n+1-3n=2a_n+3n-1，令b_n=a_n+3n，则b_n=2b_n-6，b_1=a_1+3=4故{b_n}是首项为4，公比为2的等比数列，b_n=4×2^n-1=2^n+1故a_n=b_n-3n=2^n+1-3n

2.在直角坐标系中，已知圆C:x^2+y^2-4x+6y-3=0，直线l:ax+by+c=0，若直线l与圆C相切，且直线l过点A1,2，求a、b、c的值（25分）【答案】圆C的圆心为2,-3，半径为√2^2+-3^2+3=√13直线l过点A1,2，代入得a×1+b×2+c=0，即a+2b+c=0直线l与圆C相切，故圆心到直线l的距离等于半径，即|2a-3b+c|/√a^2+b^2=√13联立方程组a+2b+c=0|2a-3b+c|/√a^2+b^2=√13解得a=-3，b=2，c=1---标准答案页

一、单选题

1.C

2.A

3.C

4.A

5.B

6.C

7.C

8.A

9.C

10.B

二、多选题

1.A、D

2.A、B、C、D

3.D

4.C

5.B、C、D

三、填空题

1.-2；-

32.

43.-4；

64.6

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.答fx在-∞,0和2,∞上单调递增，在0,2上单调递减

2.答cosB=1/

23.答解集为-∞,-5/2∪3/2,∞

4.答a_n=2^n-

15.答3x-4y+5=0

六、分析题

1.答见解析

2.答见解析

七、综合应用题

1.答见解析

2.答见解析。