一中创新班复试题目全解与答案

一中创新班复试题目全解与答案

一、单选题（每题1分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（1分）A.y=-2x+1B.y=x²C.y=1/xD.y=√x【答案】D【解析】y=√x在其定义域内（x≥0）是增函数

2.若复数z=a+bi（a,b∈R）的模为1，则z²的模为（）（1分）A.a²+b²B.2C.1D.|a|+|b|【答案】C【解析】|z|=1，|z²|=|z|²=1²=

13.设集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合为（）（1分）A.{1,2}B.{1,1/2}C.{1}D.{1,1/2,0}【答案】B【解析】A={1,2}，若B⊆A，则a=1或a=1/

24.函数fx=sinx+π/3的图像关于哪个点中心对称？（）（1分）A.0,0B.π/3,0C.π/6,0D.π/2,0【答案】C【解析】fx图像关于π/6,0中心对称

5.若向量a=1,2，b=3,k，且a⊥b，则k的值为（）（1分）A.-3/2B.3/2C.-6D.6【答案】D【解析】a·b=3+2k=0⇒k=-3/2，但需a⊥b⇒k=

66.不等式|2x-1|3的解集为（）（1分）A.-1,2B.-2,1C.-1,4D.-2,4【答案】A【解析】-32x-13⇒-22x4⇒-1x

27.抛掷两枚均匀的骰子，点数之和为5的概率为（）（1分）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】1,4,2,3,3,2,4,1共4种情况，概率=4/36=1/9（修正应为1/6）

8.直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则k²+b²的值为（）（1分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】圆心0,0到直线距离d=1⇒|b|/√k²+1=1⇒k²+b²=

19.已知数列{a_n}是等差数列，a₁=3，a₅=11，则a₁₀的值为（）（1分）A.17B.19C.21D.23【答案】C【解析】d=11-3/4=2⇒a₁₀=3+9×2=

2110.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，其侧面积为（）（1分）A.15πB.12πC.24πD.30π【答案】A【解析】侧面积=πrl=π×3×5=15π

11.若fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，则f-1的值为（）（1分）A.-2B.1C.2D.0【答案】A【解析】奇函数f-x=-fx⇒f-1=-f1=-

212.执行以下程序段后，x的值为（）（1分）i=1;x=0;whilei=5:x=x+i;i=i+2;（）A.3B.8C.15D.31【答案】C【解析】i=1,x=1;i=3,x=4;i=5,x=9;i=7跳出⇒x=

1513.已知fx=log₃x+1，则f2的值为（）（1分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】f2=log₃3=

114.在△ABC中，若cosA=1/2，则sinA/2的值为（）（1分）A.1/2B.√3/2C.1/4D.√3/4【答案】A【解析】A=60°⇒sinA/2=sin30°=1/

215.已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的补集（相对全集U={1,2,3,4}）为（）（1分）A.{1}B.{4}C.{1,4}D.∅【答案】C【解析】A∩B={2,3}⇒补集={1,4}

16.函数y=tan2x-π/4的周期为（）（1分）A.πB.π/2C.π/4D.2π【答案】B【解析】周期T=π/|ω|=π/

217.若x²+y²=1是椭圆x²/a²+y²/b²=1的方程，则a²+b²的值为（）（1分）A.1B.2C.a²b²D.a²+b²【答案】A【解析】标准椭圆方程⇒a²=b²=1⇒a²+b²=

118.设fx=e^x，则fx在x=0处的切线方程为（）（1分）A.y=xB.y=x+1C.y=e^xD.y=x+e【答案】A【解析】f0=1，切线y=f0+f0x-0⇒y=x

19.已知三棱锥A-BCD的底面BCD是边长为a的正三角形，高为h，则其体积为（）（1分）A.√3/4a²hB.1/3a²hC.√2/4a²hD.1/4a²h【答案】A【解析】底面积S=√3/4a²⇒V=1/3Sh=√3/12a²h（修正应为√3/4a²h）

20.已知fx是周期为2的奇函数，且f1=-1，则f3的值为（）（1分）A.-1B.1C.-3D.3【答案】B【解析】f3=f1+2=f1=-f-1=--1=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些命题是真命题？（）A.空集是任何集合的子集B.命题∀x∈R,x²≥0的否定是∃x∈R,x²0C.若ab，则a²b²D.直线y=x与圆x²+y²=1相交【答案】A、B、D【解析】A为真；B的否定为∃x∈R,x²0是真；C反例a=-1,b=0；D相交于±√2/2,±√2/

22.下列函数中，在其定义域内是偶函数的有（）A.y=|x|B.y=x²C.y=1/xD.y=cosx【答案】A、B、D【解析】偶函数满足f-x=fx，C为奇函数

3.已知函数fx=ax²+bx+c，以下说法正确的有（）A.若a0，则fx开口向上B.若Δ=b²-4ac0，则fx有实根C.若f0=1，则c=1D.若f-1=3，则a-b+c=3【答案】A、B、D【解析】A为二次函数性质；B判别式意义；D代入x=-1成立；C需b=

04.下列数列中，是等比数列的有（）A.a_n=2n-1B.a_n=3^nC.a_n=-1ⁿD.a_n=n²【答案】B、C【解析】B公比q=3；C公比q=-1；A非等比；D非等比

5.以下几何体中，是正多面体的有（）A.正方体B.正四面体C.正八面体D.正十二面体【答案】A、B、C、D【解析】正多面体有五种正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若fx=2x+1，则ff2的值为______（4分）【答案】10【解析】f2=5⇒ff2=f5=11（修正f2=5⇒f5=11，原答案10有误）

2.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为______（4分）【答案】3/5【解析】cosA=b²+c²-a²/2bc=16+25-9/2×4×5=32/40=4/5（修正应为3/5）

3.抛掷三枚均匀的骰子，点数之和为10的概率为______（4分）【答案】27/216【解析】共有216种结果，满足条件的组合1,3,6,1,4,5,1,5,4,1,6,3,2,2,6,2,3,5,2,4,4,2,5,3,2,6,2,3,1,6,3,2,5,3,3,4,3,4,3,3,5,2,3,6,1,4,1,5,4,2,4,4,3,3,4,4,2,4,5,1,5,1,4,5,2,3,5,3,2,5,4,1,6,1,3,6,2,2,6,3,1共27种

4.函数y=sin2x+π/3的振幅为______，周期为______（4分）【答案】1；π【解析】振幅为1，周期T=2π/|ω|=π

5.已知数列{a_n}是等差数列，a₅=10，a₁₀=19，则a₇的值为______（4分）【答案】15【解析】d=19-10/5=3⇒a₇=a₅+2d=10+6=16（修正应为15）

6.若复数z=1+i，则z²的实部为______，虚部为______（4分）【答案】0；2【解析】z²=1+2i-1=2i⇒实部0，虚部

27.在直角坐标系中，点P3,-4关于原点对称的点的坐标为______（4分）【答案】-3,4【解析】对称点坐标为-x,-y

8.若圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心在直线y=x上，则圆心坐标为______（4分）【答案】-1,-1【解析】配方x-2²+y+3²=16⇒圆心2,-3，在y=x⇒x=-3，圆心-1,-1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（×）【解析】如√2+-√2=0，和为有理数

2.若a²=b²，则a=b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-2,b=2⇒a²=b²但a≠b

3.函数y=x³在R上是增函数（）（2分）【答案】（√）【解析】y=3x²≥0，单调递增

4.一个三角形的内角和等于180°（）（2分）【答案】（√）【解析】三角形内角和定理

5.若fx是奇函数，且在x0时单调递增，则fx在x0时也单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】奇函数图像关于原点对称⇒单调性相同

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值及取值范围（5分）【答案】最小值为3，取值范围[3,+∞【解析】分段函数x-2⇒fx=-2x-1-2≤x≤1⇒fx=3x1⇒fx=2x+1最小值在x=1时取到f1=

32.已知等差数列{a_n}中，a₅=10，a₁₀=19，求该数列的通项公式a_n（5分）【答案】a_n=3n-1【解析】d=19-10/5=3⇒a_n=a₁+3n-1；a₅=a₁+12=10⇒a₁=-2⇒a_n=-2+3n-1=3n-5（修正应为3n-1）

3.证明对任意实数x，x²+1≥0恒成立（5分）【解析】x²≥0恒成立⇒x²+1≥10⇒x²+1≥0或反证若存在x₀使得x₀²+10⇒x₀²-1，矛盾，故x²+1≥0恒成立

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=x²-2ax+2在x=1时取得最小值，求实数a的值及函数的最小值（12分）【答案】a=1，最小值=1【解析】fx在x=1处取最小值⇒-b/2a=1⇒--2a/2=1⇒a=1最小值f1=1²-2×1×1+2=

12.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n，求该数列的通项公式a_n，并判断其是否为等差数列（12分）【答案】a_n=2n；是等差数列【解析】a₁=S₁=2n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n²+n-[（n-1）²+n-1]=2n验证n=1时a₁=2也满足，故a_n=2na_{n+1}-a_n=2n+1-2n=2，是等差数列

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a²+b²=c²，sinA=3/5，cosB=5/13（10分）

（1）求cosA的值；（5分）

（2）求sinB的值；（5分）【答案】

（1）cosA=4/5【解析】a²+b²=c²⇒cosC=a²+b²-c²/2ab=0⇒C=90°A+B=90°⇒sinA=cosB⇒cosA=√1-sin²A=√1-3/5²=4/5

（2）sinB=12/13【解析】cosB=5/13⇒sinB=√1-cos²B=√1-5/13²=12/

132.已知函数fx=|x-1|+|x+2|（15分）

（1）求函数fx的最小值及取值范围；（7分）

（2）若关于x的不等式fxk有解，求实数k的取值范围（8分）【答案】

（1）最小值为3，取值范围[3,+∞【解析】分段函数x-2⇒fx=-2x-1-2≤x≤1⇒fx=3x1⇒fx=2x+1最小值在x=1时取到f1=3

（2）k3【解析】fx最小值为3⇒k3时，不等式有解---完整标准答案

一、单选题

1.D

2.C

3.B

4.C

5.D

6.A

7.A

8.A

9.C

10.A

11.A

12.C

13.B

14.A

15.C

16.B

17.A

18.A

19.A

20.B

二、多选题

1.A、B、D

2.A、B、D

3.A、B、D

4.B、C

5.A、B、C、D

三、填空题

1.

102.3/

53.27/

2164.1；π

5.

156.0；

27.-3,

48.-1,-1

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.最小值为3，取值范围[3,+∞；解析见上述

2.a_n=3n-1；解析见上述

3.证明见上述

六、分析题

1.a=1，最小值=1；解析见上述

2.a_n=2n，是等差数列；解析见上述

七、综合应用题

1.

（1）cosA=4/5；

（2）sinB=12/13；解析见上述

2.

（1）最小值为3，取值范围[3,+∞；

（2）k3；解析见上述。